高考數(shù)學人教B版一輪復習測評9-5橢圓

核心素養(yǎng)測評五十橢圓(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2019·北京高考)已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,則 ()A.a2=2b2 B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b【解析】選B.離心率平方e2=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即4(a2b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的一個焦點是x2+y26x+8=0的圓心,且短軸長為8,則橢圓的左頂點為 ()A.(3,0) B.(4,0)C.(10,0) D.(5,0)【解析】選D.因為圓的標準方程為(x3)2+y2=1,所以圓心坐標為(3,0),所以c=3,又b=4,所以a=QUOTE=5,因為橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓的左頂點為(5,0).3.已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,橢圓上一點P到兩焦點距離之和為12,則橢圓短軸長為 ()A.8 B.6 C.5 D.4【解析】選A.橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率e=QUOTE=QUOTE,橢圓上一點P到兩焦點距離之和為12,即2a=12,可得a=6,c=2QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=4,則橢圓短軸長為2b=8.4.(多選)(2020·青島模擬)已知橢圓C的中心為坐標原點,焦點F1,F2在y軸上,短軸長等于2,離心率為QUOTE,過焦點F1作y軸的垂線交橢圓C于P、Q兩點,則下列說法正確的是 ()A.橢圓C的方程為QUOTE+x2=1B.橢圓C的方程為QUOTE+y2=1C.|PQ|=QUOTED.△PF2Q的周長為4QUOTE【解析】選ACD.由已知得,2b=2,b=1,QUOTE=QUOTE,又a2=b2+c2,解得a2=3.所以橢圓方程為x2+QUOTE=1.如圖:所以|PQ|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,△PF2Q的周長為4a=4QUOTE.5.已知點P(x1,y1)是橢圓QUOTE+QUOTE=1上一點,F1,F2是左、右焦點,若∠F1PF2取最大值時,則△PF1F2的面積是 ()A.QUOTE B.12C.16(2+QUOTE) D.16(2QUOTE)【解析】選B.因為橢圓方程QUOTE+QUOTE=1,所以a=5,b=4,c=QUOTE=3,因此,橢圓的焦點坐標為F1(3,0),F2(3,0),根據(jù)橢圓的性質可知,當點P與短軸端點重合時,∠F1PF2取最大值,則此時△PF1F2的面積S=2×QUOTE×3×4=12.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2020·南陽模擬)已知O為坐標原點,F為橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右焦點,過點F且傾斜角為120°的直線與橢圓C交于第一象限一點P,若△POF為正三角形,則橢圓C的離心率為__________.

【解析】因為|OF|=c,△POF為正三角形,所以|PO|=c,則點P的坐標為QUOTE,故有QUOTE整理得e48e2+4=0,解得e2=42QUOTE,所以e=QUOTE=QUOTE1.答案:QUOTE17.以橢圓C:QUOTE+QUOTE=1在x軸上的頂點和焦點分別為焦點和頂點的雙曲線方程為________;該雙曲線的漸近線方程為________.

【解析】橢圓C:QUOTE+QUOTE=1在x軸上的頂點為(±QUOTE,0),焦點為(±1,0),設雙曲線的方程為QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0),可得a=1,c=QUOTE,b=2,可得x2QUOTE=1.雙曲線的漸近線方程為:y=±2x.答案:x2QUOTE=1y=±2x8.點M是橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)上的點,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F,圓M與y軸相交于P,Q,若△PQM是鈍角三角形,則橢圓離心率的取值范圍是________. 導學號

【解析】不妨設圓M與橢圓相切于左焦點F,設M(c,yM),由圓的性質可知:|MF|=|MQ|=|MP|=|yM|,則QUOTE=QUOTEc2,即|PQ|2=4QUOTE-4c2,由△MPQ為鈍角三角形,即∠PMQ為鈍角,則cos∠PMQ=QUOTE=QUOTE<0,所以2c2QUOTE<0.又因為M(c,yM)在橢圓上,代入化簡得QUOTE=QUOTE,故2c2QUOTE<0,化簡得QUOTE4QUOTE+1>0,即e44e2+1>0,解得e2<2QUOTE或e2>2+QUOTE,又e∈(0,1),所以e2<2QUOTE,故0<e<QUOTE,即離心率的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率e=QUOTE,且橢圓C經過點(2,QUOTE). 導學號(1)求橢圓C的標準方程.(2)過點P(2,1)作直線l與該橢圓相交于A,B兩點,若線段AB恰被點P所平分,求直線l的方程.【解析】(1)由題意得QUOTE解得a2=8,b2=6,所以橢圓C的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)由題意點P在橢圓內部,設A(x1,y1),B(x2,y2),則QUOTE兩式相減,得QUOTE+QUOTE=0,AB的中點為P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得QUOTE+QUOTE=0,得kAB=QUOTE=QUOTE.所以直線l的方程為y1=QUOTE(x2),即3x+2y8=0.10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓E:QUOTE+y2=1上位于x軸上方兩點,且x1+x2=2. 導學號(1)若y1+y2=1,求線段AB的垂直平分線的方程.(2)求直線AB在y軸上截距的最小值.【解析】(1)設AB的中點為M,則M1,QUOTE,由QUOTE得QUOTE+(y1y2)(y1+y2)=0,所以QUOTE(x1x2)+(y1y2)=0?QUOTE=QUOTE,即kAB=QUOTE,所以線段AB的垂直平分線的斜率為QUOTE,所以線段AB的垂直平分線的方程為yQUOTE=QUOTE(x1),即9x2y8=0.(2)由題意知AB斜率存在,設直線AB:y=kx+m.由QUOTE得(1+9k2)x2+18kmx+9m29=0,x1+x2=QUOTE=2,即9k2+9km+1=0,①因為A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓E:QUOTE+y2=1上位于x軸上方兩點,所以k<0,m>0,②Δ=(18km)24(1+9k2)(9m2即9k2m2+1>0,③結合①②得m=(k)+QUOTE≥QUOTE,當且僅當k=QUOTE時,取等號,此時,k=QUOTE,m=QUOTE滿足③.所以直線AB在y軸上截距的最小值為QUOTE.(15分鐘35分)1.(5分)(2020·濟南模擬)已知兩圓C1:(x4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,動圓在圓C1內部且和圓C1相內切,和圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為 ()A.QUOTEQUOTE=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTEQUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1【解析】選D.設圓M的半徑為r,則|MC1|+|MC2|=(13r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的軌跡是以C1,C2為焦點的橢圓,且2a=16,2c故所求的軌跡方程為QUOTE+QUOTE=1.2.(5分)(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為導學號()A.QUOTE+y2=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1【解析】選B.如圖,由已知可設QUOTE=n,則QUOTE=2n,QUOTE=QUOTE=3n,由橢圓的定義有2a=QUOTE+QUOTE=4n,所以QUOTE=2aQUOTE=2n.在△AF1B中,由余弦定理推論得cos∠F1AB=QUOTE=QUOTE.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n222n·2n·QUOTE=4,解得n=QUOTE.所以2a=4n=2QUOTE,所以a=QUOTE,所以b2=a2c2=31=2,所以所求橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1.3.(5分)已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右焦點為F,直線l:2xy=0交橢圓C于A,B兩點,且|AF|+|BF|=6,若點F到直線l的距離不小于2,則橢圓C的離心率e的取值范圍是 導學號()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設F1是橢圓的左焦點,由于直線l:2xy=0過原點,因此A,B兩點關于原點對稱,所以四邊形AF1BF是平行四邊形,所以|BF1|+|BF|=|AF|+|BF|=6,即2a=6,a=3,點F(c,0)到直線l的距離d=QUOTE≥2,所以c≥QUOTE,又c<a,即QUOTE≤c<3,所以e=QUOTE=QUOTE∈QUOTE.4.(10分)已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,點M(2,1)在橢圓C上. 導學號(1)求橢圓C的方程.(2)直線l平行于OM,且與橢圓C交于A,B兩個不同的點.若∠AOB為鈍角,求直線l在y軸上的截距m的取值范圍.【解析】(1)依題意有QUOTE解得QUOTE所以所求橢圓C的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)由直線l平行于OM,得直線l的斜率k=kOM=QUOTE,又l在y軸上的截距為m,所以l的方程為y=QUOTEx+m.由QUOTE得x2+2mx+2m2因為直線l與橢圓C交于A,B兩個不同的點,所以Δ=(2m)24(2m2解得2<m<2.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2m,x1x2=2m2又∠AOB為鈍角等價于·<0且m≠0,則·=x1x2+y1y2=x1x2+QUOTE=QUOTEx1x2+QUOTE(x1+x2)+m2<0,將x1+x2=2m,x1x2=2m2化簡整理得m2<2,即QUOTE<m<QUOTE,故m的取值范圍為(QUOTE,0)∪(0,QUOTE).5.(10分)(2020·武漢模擬)如圖,已知橢圓Γ:QUOTE+QUOTE=1左、右焦點分別為F1,F2,分別過F1,F2作兩條平行直線AB,CD交橢圓Γ于點A,B,C,D. 導學號(1)求證:|AB|=|CD|.(2)求四邊形ABCD面積的最大值.【解析】(1)設直線AB的方程為x=my1,A(x1,y1),B(x2,y2),將x=my1代入QUOTE+QUOTE=1,整理得(3m2+4)y26my9=0,所以y1+y2=QUOTE,y1y2=QUOTE.設C(x3,y3),D(x4,y4),因為AB∥CD,所以CD的方程為x=my+1,代入QUOTE+QUOTE=1,整理得(3m2+4)y2所以y3+y4=QUOTE,y3y4=QUOTE.所以y1+y2=(y3+y4),y1y2=y3y4,所以|y1y2|=|y3y4|,因為|AB|=QUOTE|y1y2|,|CD|=QUOTE|y3y4|,所以|AB|=|CD|.(2)由(1)知四邊形ABCD是平行四邊形,所以S?ABCD=4S△AOB,S△AOB=QUOTE·|OF1|·|y1y2|,所以S?ABCD=2·|y1y2|=2QUOTE=24QUOTE=24QUOTE,設t=1+m2,f(t)=9t+QUOTE+6(t≥1),則f′(t)=9QUOTE=QUOTE>0,所以f(t)在[1,+∞)上遞增,f(t)min=f(1)=16,故m=0時,四邊形ABCD面積取最大值6.1.設點P為橢圓C:QUOTE+QUOTE=1上一點,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點,且△PF1F2的重心為點G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,則△G