2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷16

2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷16

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.己知集合A={-l,0,l,2},B={X|X2<1},則AI8=(上)

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.命題“\/xe[0,+co).x3+x20”的否定是(▲)

A.VXG(0,+OO).X3+x<0B,VxW(YO,0)J?+xi()

C.3xG[0,-K?).x3+x<0D.3xG[0,+oo).x3+x>0

1-i

3.設(shè)z=--+2i,則|z|=(A)

l+i

A.0B.-C.1D.V2

2

4.已知等差數(shù)列{6}前.9項(xiàng)的和為27,q()=8,則4Go=(▲)

A.100B.98C.99D.97

5.若非零向量“、b滿足W=M且(2+8)，力，則”與b的夾角為(▲)

n兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

6.函數(shù)/(x)=cosx/n(Jl+x2-x)(-2<x<2)的圖象大致為(▲)

11

A.4J:B.'G匕彳

T-1

lyV

11

C.八/：D.V

-i-i

7.己知函數(shù)/(x)=er—e*(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若a=0.7《5,b=log050.7,c=log()75,

則(▲)

A.f(b)<f(a)<f(c)B./(c)</(/?)</(?)△

c./(c)<f(a)</(Z?)D,/(?)</(/?)</(c)

8.2020年新型冠狀病毒肺炎蔓延全國，作為主要戰(zhàn)場(chǎng)的武漢，僅用了十余天就建成了“小湯山''模式

的火神山醫(yī)院和雷神山醫(yī)院，再次體現(xiàn)了中國速度.隨著疫情發(fā)展，某地也需要參照“小湯山”模式建

設(shè)臨時(shí)醫(yī)院，其占地是一個(gè)正方形和四個(gè)以正方形的邊為底邊、腰長為400m的等腰三角形組成的

圖形(如圖所示)，為使占地面積最大，則等腰三角形的底角為(▲)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.給出下列命題，其中正確命題為(▲)

A.若樣本數(shù)據(jù)X1,x2,為0的方差為2,則數(shù)據(jù)2%-1,2x2-l,2玉0-1的方差為4；

B.回歸方程為9=0.6—0.45x時(shí)，變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系；

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N?,/),P(X<4)=0.64,則P(2<X<3)=0.07；

D.相關(guān)指數(shù)露來刻畫回歸的效果，代值越大，說明模型的擬合效果越好

10.下面的命題正確的有(▲)

A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線

B單位向量都相等

c.若滿足且a與b同向，則

D.“若A、B、C、。是不共線的四點(diǎn)，則屈=比”="四邊形428是平行四邊形”.

11.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是(▲)

v-v

A.>=2/+4%B.y=x+sin(-x)C.y=log2|x|D.y-2+2

12.已知/(力=28525+石5m25—1(g>0)的最小正周期為萬，則下列說法正確的有

/xTC

A.at=2B.函數(shù)/(x)在0,—上為增函數(shù)

6

C.直線x要是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對(duì)稱軸

D.點(diǎn)(2萬,0］是函數(shù)y=/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，其中第16題第1空2分，第2空3分，共20分.

13.（1-犬）（］+X）1。的展開式中，丫5的系數(shù)是▲

14.設(shè)曲線丁=產(chǎn)在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線y=L（x>0）上的點(diǎn)P處的切線垂直,

則點(diǎn)〃的坐標(biāo)為▲.

15.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)

和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如

圖，在矩形ABC。中，A/WC滿足“勾3股4弦5"，且?1B=3,E為AO上一

點(diǎn)，3￡，4。.若8啟=/1氏4+〃5。，則〃的值為▲.

16.已知長方體ABC。-AGGA的頂點(diǎn)都在球。的表面上，且4c=然=2,則球。的表面積為

若4G與5。所成的角為60°,則A。與BC所成角的余弦值為▲

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

在平面四邊形ABC。中，ZADC=90.NA=45，4?=2，BD=5.

⑴求cos/AOB；（2）若。。=2夜，求BC.

▲▲▲

18.（本小題滿分10分）

已知等差數(shù)列｛4｝滿足4=3,%=5.

求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列出｝滿足2=%々"I求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S.；

IAJ

▲▲▲

19.（本小題滿分10分）

第23屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市學(xué)校放寒假,

寒假結(jié)束后，某校工會(huì)對(duì)全校教職工在冬季奧運(yùn)會(huì)期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時(shí)間作了一次調(diào)查，得

到如下頻數(shù)分布表：

收看時(shí)間（單位：小時(shí)）[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)

收看人數(shù)143016282012

（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“體育達(dá)人”，否則定義為“非體育

達(dá)人”，請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全2x2列聯(lián)表:

女合計(jì)

體育達(dá)人40

非體育達(dá)人30

合計(jì)

并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān)；

（2）在全?！绑w育達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達(dá)人”中選取2名作冬奧

會(huì)知識(shí)講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率。

附表及公式：

PgNk。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

▲▲▲

20.（本小題滿分12分）

77

如圖1,在直角梯形/BCD中，AD//BC，NBAD=—,AB=BC=1，AD=2,E是/。的

2

中點(diǎn)，。是AC與座的交點(diǎn).將A48E沿班折起到的位置，如圖2.

（1）證明：C0_L平面A0C；

（2）若平面平面8C0E,求平面48c與平面4c。夾角的余弦值.

▲▲▲

21.（本小題滿分14分）

為評(píng)估設(shè)備例生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備”生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件作為樣本,

測(cè)量其直徑后，整理得到下表:

直徑/mm5859616263646566676869707173合計(jì)

個(gè)數(shù)11356193318442121100

經(jīng)計(jì)算，樣本直徑的平均值“=65,標(biāo)準(zhǔn)差。=2.2,以頻率值作為概率的估計(jì)值.

(1)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X,并根據(jù)以下

不等式進(jìn)行評(píng)判(P表示相應(yīng)事件的概率)：①+<7)>0.6826；②尸(//-20<XW"+

2a)>0.9544;③P(/L3<7<XW〃+3o)20.9974.評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)

為甲；若僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部都不滿足，則等

級(jí)為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級(jí).

(2)將直徑小于等于〃一2?；蛑睆酱笥凇?2。的零件認(rèn)為是次品.

①從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取2件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)F的數(shù)學(xué)期望E(V)；

②從樣本中隨機(jī)抽取2件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)Z的概率分布列和數(shù)學(xué)期望￡(Z).

▲▲▲

22.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)f(x)=\nx-^x2+(a-l)x,a>0S.f(x)的導(dǎo)函數(shù)為/''(x).

(1)求函數(shù)/(x)的極大值；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)玉,馬，求。的取值范圍。

▲▲▲

2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷16

答案

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={-1,0,1,2},B={X|X2<1},則AB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】因?yàn)锳={-1,0,1,2},B={x|V融}={x|_i8?1},

所以AB={-1,0,1).故選A.

2.命題“Vxe[O,Xo).x3+xNO”的否定是()

A.VXG(0,+OO).X3+x<0B.Vxe(^?,0).x3+x>0

C,玉?[0,+QO).%3+x<0D,3xG[0,+OO).X3+x>0

【答案】C

【解析】把量詞"V"改為“m”，把結(jié)論否定，故選C.

1-i

3.設(shè)z=——+2i,貝U|z|=()

1+i

A.0B.—C.1D..^2

【答案】C

【解析】z="^+2i=整+2i=i，所以目=1,故選C.

4.(原)已知等差數(shù)列{4}前9項(xiàng)的和為27,0,0=8,則/0=()

A.100B.98C.99D.97

【答案】B

【解析】解：設(shè)型力的公差為d,

?.?等差數(shù)列{aj前9項(xiàng)的和為27,

叢=『=啜=9as.

?.9與=27，a5-3?

又=8=西+(10—5)d=3+5d，

?**d=1，

**?DIQQ=+95d=98.

故選B.

5.若非零向量a、/,滿足=M且（2a+@U,則。與〃的夾角為（）

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D?—

6336

【答案】C

【解析】設(shè)“與/，的夾角為。，

由已知得:（2?+b）_L。，（2a+b^b=0,則2〉.力+力;。，

Q“=W，...2cose+l=0,cos6=-g,解得6=g.

故選：C

6.函數(shù)/（x）=cosx/n（Jl+x2-x）（-2<x<2）的圖象大致為（）

【答案】B

【解析】因?yàn)?(一x)=cos(-x)」n(Jl+x?+x)=cosx/n，-/---------=一/(1)，所以/(x)是

''VVl+x2-X)

奇函數(shù)，故排除A、C；

因?yàn)?(x)=cosxln(Jl+x2-x)=cosxln-?==lT—,所以當(dāng)0<x<四時(shí)，cosx>0,

')Jl+V+x2

心方」?—<0,所以f(x)<0,故排除D.

Vl+x-+x

故選：B.

7.已知函數(shù)一"(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若a=0.7&,b=log()50.7,c=log075,

則()

A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)

C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(a)<f(b)<f(c)

【答案】D

【解析】因?yàn)閍=0.7~°s>1,0<〃<l,c<0>a>b>c

又/(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，故于(a)</(/?)</(c).

故選:D

8.2020年新型冠狀病毒肺炎蔓延全國，作為主要戰(zhàn)場(chǎng)的武漢，僅用了十余天就建成了“小湯山”模式

的火神山醫(yī)院和雷神山醫(yī)院，再次體現(xiàn)了中國速度.隨著疫情發(fā)展，某地也需要參照“小湯山”模式建

設(shè)臨時(shí)醫(yī)院，其占地是一個(gè)正方形和四個(gè)以正方形的邊為底邊、腰長為400m的等腰三角形組成的

圖形(如圖所示)，為使占地面積最大，則等腰三角形的底角為()

【答案】D

【解析】：設(shè)底角為a,由三角形的面積公式可得4個(gè)等腰三角形的面積和為

4x工x800cosax400sina=320000sin2a，

2

由余弦定理可得正方形邊長為800cosa,

故正方形面積為(800cosa)2=640000cos2a=320000(1+cos2a),

所以所求占地面積為320000(1+cos2a+sin2a)=320000]立sin(2a+-)+1],

4

所以當(dāng)2二+7上T=上7T，即。=上TT時(shí)，占地面積最大，此時(shí)底角為T一T,

4288

故選D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.給出下列命題，其中正確命題為()

A.若樣本數(shù)據(jù)X1,x2,的方差為2，則數(shù)據(jù)為一1,2X2-1....2/-1的方差為4；

B.回歸方程為m=0.6-0.45x時(shí)，變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系；

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NG,4),P(X<4)=0.64,則P(2<X<3)=007；

D.相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，心值越大，說明模型的擬合效果越好

【答案】BD

【解析】A.若樣本數(shù)據(jù)否，x2,/的方差為2,則數(shù)據(jù)2玉—1,2X2-1,2斗0-1的方

差為2?x2=8,故A錯(cuò)誤；

B.回歸方程為9=0.6-0.45x,可知刃=-0.45<()，則變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，B正

確；

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,(T2),P(X<4)=0.64,

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性P(3<X《4)=0.64-0.5=0.14,所以P(2?XW3)=0.14,，C錯(cuò)誤；

D.相關(guān)指數(shù)配來刻畫回歸的效果，心值越大，

說明模型的擬合效果越好，因此D正確.

故選：BD

10.(原)下面的命題正確的有()

A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線

B單位向量都相等

C.若ab滿足Ial>Ib|且a與b同向，則a?;

D.“若A、B、C、力是不共線的四點(diǎn)，則露=求"="四邊形ABCD是平行四邊形”.

【答案】AD

【解析】A因?yàn)榉较蛳喾吹膬蓚€(gè)非零向量必定平行,所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線,故A是

對(duì)的；

B.單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B是錯(cuò)的，

C.向量是有方向的量,不能比較大小，故C錯(cuò)誤，

D.B=成，即模相等且方向相同，即平行四邊形對(duì)邊平行且相等.故D正確.

11.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增的是（）

3XX

A.y=2x+4xB.y=x+sin（-x）C.y=log2|x|D.y=2+2~

【答案】AB

【解析】由奇函數(shù)定義可知，A、B、D均為奇函數(shù)，C為偶函數(shù)，所以排除C；

對(duì)于選項(xiàng)A,y=6/+4>0,所以y=2d+4x在（0,1）上單調(diào)遞增；

對(duì)于選項(xiàng)B,>■=1-cosx>0,所以y=x+sin（-x）在（0,1）上單調(diào)遞增；

對(duì)于選項(xiàng)D,y=2"+2T是偶函數(shù)，所以錯(cuò)誤。

故選：AB

12.已知/（x）=2cos2w+Gsin25_l?>0）的最小正周期為萬，則下列說法正確的有

A.co=2B.函數(shù)/（x）在0,^上為增函數(shù)

C.直線尤=?要是函數(shù)y=/（x）圖象的一條對(duì)稱軸

D.點(diǎn)萬,0）是函數(shù)y=/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心.

【答案】BD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，其中第16題第1空2分，第2空3分，共

20分.

13.（1一/）（］+幻|。的展開式中，的系數(shù)是.

【答案】207

【解析】由題可知：常數(shù)1和(1+"°的五次項(xiàng)可以構(gòu)成五次項(xiàng)，-/和。+“。的2次項(xiàng)

52

構(gòu)成5次項(xiàng)，故C,>=252/,C：Qx=45,所以/的系數(shù)是252-45=207

14.(原)設(shè)曲線y=e*在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=L(x〉O)上的點(diǎn)P處的切線垂直，則點(diǎn)P

X

的坐標(biāo)為.

【答案】(1,1)

1

【解析】：y'=e\曲線y=e”在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率ki=e°=l.設(shè)P(m,n),y=I(x>0)的導(dǎo)

111

數(shù)為y'=-?(x>0),曲線y=《(x>0)在點(diǎn)P處的切線斜率kz=—濯(m>0),因?yàn)閮汕芯€垂直，所以

kik2=—1,所以m=l,n=l,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).

15.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾

3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABC。中，AA6C滿足

“勾3股4弦5"，且AB=3,E為AD上一點(diǎn),BE工AC.若BE=2BA+〃BC,則丸+〃的值

為.

【答案】三

16

【解析】由題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?5=3,BC=4,則4(0,3),3(0,0),C(4,0).

設(shè)E(a,3),則AC=(4,—3),BE=(a,3),

因?yàn)?ELAC，所以AC-BE=4a_9=0,

解得。=；9

4

由8E=/13A+〃3C,得仁,3）=4（0,3）+〃（4,0）,

9

44--Z=1,

所

得

以425

49>所以2+〃=—

3=3u.--16

16

16.己知長方體ABC。-44aA的頂點(diǎn)都在球。的表面上，且4：=例=2,則球。的表面積為

.若4G與8。所成的角為60。,則4。與BC1所成角的余弦值為.

31

【答案】8兀二或上

57

【解析】空1：如圖，在長方體ABCO—4片GA中，因?yàn)锳C=AA=2,所以AC=20.因?yàn)锳C

為球。的一條直徑，所以球。的半徑7?=亞，所以球。的表面積為4?；?=8".

空2：

因?yàn)锳G與8。所成的角為60°,AG〃AC,所以ZBEC=60?；?EC=120。，

若NBEC=60。，則BC=1.因?yàn)镃G=A41=2，所以="TT=6.

又B.CHA.D,所以NBFC為AQ與BQ所成的角（或補(bǔ)角）.在ABFC中，BF=FC=^=叵,

22

BC=1.

BF2+CF2-BC23

由余弦定理可得cosNBFC=

2BFCF2、35

若NBEC=120。，所以有

BC=VBE2+CE2-2BECE-cos120°=^l2+12-2-1-1-（-1）=G,

則BF=FC.[BC?+CC：g，

131

同理可求得cosZBFC=-,所以4。與BG所成的余弦角為一或,.

31

故答案為：8兀；—或一

57

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本題10分）在平面四邊形ABCZ）中，NADC=90，NA=45，AB=2,BD=5.

(l)^<cosZADB；(2)若DC=2V2，求BC.

BDAB

【解析】（1）在△A8D中，由正弦定理得

sinNAsinZADB

52

由題設(shè)知,，所以sin/AO8=J3分

sin45°sinZADB5

由題設(shè)知，ZADB<90°,所以COSNADB=Q1—*=W~

?5分

(2)由題設(shè)及(1)知，cosZBDC=sinZADB=—?7分

5

在△BCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BDDCcos4BDC

jy

25+8-2x5x272x^=-=25.9分

所以8C=5.-----------------------10分

18.原（本題10分）已知等差數(shù)列｛4｝滿足q=3,4=5.

求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式;

設(shè)數(shù)列也｝滿足勿=。屋3"一|,求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和S.；

14]

fa=3[4=3

【解析】：(1)依題得《，「，解得《「------------2分

[a2=+a=51d=2

.二an=q+(〃-l)d=3+(〃-1)x2=2〃+1-----------------4分

(2)bn=an-3"-'=(2“+l).3"T,

.-.S?=3+5-3+7-32++(2〃+l>3"T①

3S?=3-3+5-32+7-33++(2n-l)-3n-1+(2?+l)-3"②

2,,_|z,

兩式相減得：-25,,=3+2-3+2-3++2-3-(2w+l)-3-------------6分

=3+2,_（2n+1）.3"=3+3（3"T—D-（2n+l）.3"

=-2n-3"------------------------------------------------9

分

51t=n?3".-----------------------------------------------10

分

19.（本題10分）第23屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間

正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會(huì)對(duì)全校教職工在冬季奧運(yùn)會(huì)期間每天收看比賽轉(zhuǎn)

播的時(shí)間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：

收看時(shí)間（單位：小時(shí)）[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)

收看人數(shù)143016282012

（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“體育達(dá)人”，否則定義為“非體育

達(dá)人”，請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全2x2列聯(lián)表：

3女合計(jì)

體育達(dá)人40

非體育達(dá)人30

合計(jì)

并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān);

（2）在全?！绑w育達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達(dá)人”中選取2名作冬奧

會(huì)知識(shí)講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率。

附表及公式：

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

仁2_n(ad-bc)2

(a+份(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】(1)由題意得下表：

男女合計(jì)

體育達(dá)人402060

非體育達(dá)人303060

合計(jì)7050120

..................................................2分

，，明而漸跳出120-（1200—600『

k2的觀測(cè)值為--------------->—=—>2706---------------------------4分

70x50x60x607

所以有90%的把握認(rèn)為該校教職工是“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān).-------------5分

（2）由題意知抽取的6名“體育達(dá)人”中有4名男職工，2名女職工，-------------7分

記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為時(shí)間A

r'C'8

尸⑷F=------------------------------------------------------------9分

答：抽取的這兩人恰好是一男一女的概率為百.-----------------10分

TT

20.（本題12分）如圖1，在直角梯形Z8C。中，AD//BC,NBAD=—,AB=BC=\，AD=2,

2

E是/。的中點(diǎn)，。是AC與BE的交點(diǎn).將△，座沿折起到AABE的位置，如圖2.

EA1(A)

D

圖1圖2

(i)證明：。。_1平面4。。：

(2)若平面48E，平面8CDE,求平面48c與平面4。。夾角的余弦值.

【解析】

(1)在圖1的直角梯形/BCD中，ADHBC中,因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AO的中點(diǎn),

所以AE'JBC,

連接C,E,則四邊形A8CE是菱形，

7T

又因?yàn)?"￡>=—,所以四邊形A8CE是正方形。--------------2分

2

所以BE_LAC.即在圖2中，BE1OA,,BELOC.............3分

又因?yàn)?D〃8c且3C=1,49=2，E是AD的中點(diǎn)

所以BC^ED

所以四邊形BCDE是平行四邊形。

從而CD//BE---------------------------------------5分

所以CO^OA，CDLOC.

又因?yàn)閱猽面Aoc,ocu面Aoc,OACoc=o

所以CDJ.平面A0C.----------------------6分

(2)由已知，平面ABEL平面BCOE,又由(I)知，BE10At,BE1OC.

jr

所以N40C為二面角4-BE-C的平面角，所以NAOC='.---------7分

如圖，以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

PQi-2o<X0i+2c）=P（60.6<XW69.4）=0.94<0.9544,----------------------2分

尸儀一3o<XW〃+3cr)=P(58.4<XW71.6)=0.98<0.9974,---------------------3分

因?yàn)樵O(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個(gè)不等式，故其性能等級(jí)為丙.-------4分

(2)易知樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.

3

①由題意可知y?仇2,50),6分

3