2023年北師大版初中數(shù)學(xué)九年級下冊知識點匯總

北師大版初中數(shù)學(xué)九年級（下冊）知識點匯總

第一章直角三角形邊的關(guān)系

※一.正切：

定義:在R/4ABC中，銳角NA的I對邊與鄰邊的I比叫做NA時正切，記作tanA,即

ZA的對邊

tanA=

ZA的鄰邊

①tanA是一種完整日勺符號，它表達(dá)NA的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“N”;

②tanA沒有單位，它表達(dá)一種比值，即直角三角形中NA的對邊與鄰邊日勺比;

③tanA不表達(dá)“tan"乘以“A"；

④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中,NA是銳角的正切；

⑤tanA日勺值越大，梯子越陡,NA越大；NA越大，梯子越陡，tanA日勺值越

大。

※二.歪落：

定義:在RtAA3C中，銳角NA時對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,

ZA的對邊

即sinA=

斜邊

※三.余弦:

定義：在放△ABC中，銳角NA的鄰邊與斜邊日勺比叫做NA日勺余弦，記作co

ZA的鄰邊

sA,即cosA-

斜邊

※余切:

定義：在心△ABC中，銳角NA日勺鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記作cot

ZA的鄰邊

A,即cotA=

ZA的對邊

※一種銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、

正切。

（一般我們稱正弦、余弦互為余

0°30045°60090°

函數(shù)。同樣，也稱正切、余切

1

sina0正且1

2VT

互為余函數(shù),可以概括為：一

V3i

cosa1立0

2

種銳角日勺二角函數(shù)等于它日勺

V3

tana——

0~Ti<3

余角日勺余函數(shù)）用等式體現(xiàn)：

cota——且

i—0

若NA為銳角，則

①sinA=cos(90°-ZA)；cosA=sin(90°-ZA)

②tanA=cot(90°-ZA);cotA=tan(90°-ZA)

X當(dāng)從低處觀測高處的目的時,視線與水平線

所成的銳角稱為仲第

※當(dāng)從高處觀測低處的目的時，視線與水平線所成

的銳角稱為便隼

※運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出,（1）當(dāng)

角度在0°?90°間變化時，正弦值、正切值伴隨角度的增大（或減?。┒龃笪p?。挥?/p>

弦值、余切值伴隨角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?。（2）OWsinaWl,

1=

※同角的三角函數(shù)間的關(guān)系:

翻號氣&C空型；強(qiáng)a=3

cosasna;

平方關(guān)系:sin，a+g$*Q=1.

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直

角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

◎在AABC中，NC為直角，NA、NB、NC所對日勺邊分別為a、b、c,則有

(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

(2)兩銳角的J關(guān)系：NA+NB=90°;

(3)邊與角之間日勺關(guān)系：

.Aa人ba人b

sinA=—,cosA=—,tanA=—,cotA=—;

ccba

.nba「ba

sinB=—,cosB=—,tanB=—,cotB=—;

ccab

(4)面積公式:SA==gc/zc(hC為C邊上的I高)；

(5)直角三角形日勺內(nèi)切圓半徑r="丁

(6)直角三角形的外接圓半徑R=1c

2

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下:

已知條件解法

兩條邊兩條直角邊a和bC=+b5,

tgA=；,B=90。-A

b

一條直角邊a和斜邊cb=-a2sinA=—,

c

B=90°-A

一條邊和一a

一條直角邊a和銳角AB=90°-A,c=-

個銳角sinA

b=a*ctgA

斜邊c和銳角AB=90--A>a=c■smA>

b=c■cosA

X如圖2,坡面與水平面的夾角叫做城用（或叫做城7）。用字母i表達(dá)，即

i=—=tanA

I

◎從某點日勺指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目日勺方向日勺水平角,叫做方像用。如圖3,0A、

OB、0C的方位角分別為45°、135°、225°。

◎指北或指南方向線與目日勺方向線所成口勺不不小于90°日勺水平角，叫做方向

耳。如圖4,0A、OB、OC、0D日勺方向角分別是;北偏東30°,南偏東45°

（東南方向）、南偏西為60°,北偏西60°。

第二章二次函數(shù)

※二次函數(shù)的概念：形如y=a/+bx+c（a、、b、是常數(shù)，aw0）的函數(shù)，叫做x時三次

用藜。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。y=以2（°力0）是二次函數(shù)的特例，此時

常數(shù)b=c=0.

※在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,

并確定自變量的取值范圍。

※二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點在原點有關(guān)y軸對稱的曲線，這條曲線叫做觸物繾。

描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化狀況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線

與x軸的交點等方面來描述。

①函數(shù)日勺定義域是全體實數(shù);

②拋物線日勺頂點在（0,0）,對稱軸是y軸（或稱直線x=0）o

③當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)a<0時，拋物線開口

向下，并且向下方無限伸展。

④函數(shù)日勺增減性:

當(dāng)〉時卜40時,y隨x增大而減小;

、&'[xNO時,y隨x增大而增大B、當(dāng)a<0時

x<0時,y隨x增大而增大；

x>0時,y隨x增大而減小.

⑤當(dāng)laI越大，拋物線開口越小；當(dāng)la|越小，拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值：當(dāng)a>0,且x=0時函數(shù)有最小值，最小值是0;當(dāng)a<0,且x=0時函數(shù)

有最大值，最大值是0.

※二次函數(shù)y^ax2+c的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線

※二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象是認(rèn)為％=一'對稱軸,頂點在（-b,4七E.）

la2a4a

的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）

XIal日勺越大，拋物線日勺開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）

速度越快；lai日勺越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y軸，y隨x增

長（或下降）速度越慢。

※二次函數(shù)y=aF+c日勺圖象中,a日勺符號決定拋物線日勺開口方向,⑸決定拋物線

時開口程度大小，c決定拋物線日勺頂點位置，即拋物線位置的高下。

※二次函數(shù)y=ax2+fcc+c日勺圖象與y=ax?的圖象日勺關(guān)系：

y=a/+bx+c的圖象可以由y=ax?的圖象平移得到，其環(huán)節(jié)如下:

h

①將y=ax2+Zzx+c配方成y=a(x-h)2+k的J形式；(其中h二-一,k

la

4ac-b2、

=----------)；

4a

②把拋物線y=2向右(h>0)或向左(h<0)平移lh|個單位，得到y(tǒng)=a(x-h)20^

圖象；

③再把拋物線y=a(x-")2向上(k>0)或向下(kVO)平移IkI個單位，便得到

y=a(x-hy+%日勺圖象。

※二次函數(shù)y=4/+bx+o日勺性質(zhì)：

二次函數(shù)y^ax2+bx+c配方成y=心+2)2+色二￡則拋物線的

2a4a

①對稱軸：x=--②頂點坐標(biāo)：(上,

2a2a

4ac—b2)

4〃

③增減性：若a>0,則當(dāng)x〈__L時,y隨x日勺增大而減??；當(dāng)x〉_2時,y隨

2a........2a

X的I增大而增大。

若a<0,則當(dāng)x<-色時,y隨X時增大而增大；當(dāng)X〉__L時，

2a........2a

y隨x的J增大而減小。

④最值:若a>0,則當(dāng)x=—_L時，y最小=小士；若a〈0,則當(dāng)x=__L

2a4。2a

2

n_L4ac-b

時最大;F-

※畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的I圖象:

我們可以運(yùn)用它與函數(shù)丁=〃/日勺關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采

用簡化了的描點法--五點法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)日勺圖象，其環(huán)節(jié)如下:

①先找出頂點（_2,4…2）,畫出對稱軸x=-_L；

2〃4a2a

②找出圖象上有關(guān)直線x=_±對稱的四個點（如與坐標(biāo)的交點等）；

2a

③把上述五點連成光滑的曲線。

口二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a（x-h）2+k日勺形式求

得，也可以借助圖象觀測。

口處理最大（?。┲祮栴}日勺基本思緒是：

①理解問題；

②分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；

③用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)它們之間的關(guān)系；

④做數(shù)學(xué)求解；

⑤檢查成果日勺合理性、拓展性等。

2

※二次函數(shù)y=ax+bx+c圖象（拋物線）與x軸日勺兩個交點的I橫坐標(biāo)Xi,x2

是對應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0的I兩個實數(shù)根

※拋物線與x軸日勺交點狀況可以由對應(yīng)日勺一元二次方程日勺根日勺鑒別式鑒定：

/—4ac>0<===>拋物線與x軸有2個交點；

b2-4ac=0<===〉拋物線與x軸有1個交點；

b--4ac<0<===>拋物線與x軸有0個交點（無交點）；

※當(dāng)/—4ac>0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A、B,則這兩個點之間日勺距

離：

22

IAB1=1Xi+x21=J(12-X))=+x2)-4XJ%2

化簡后即為:IA81='宙—（/_4砒〉0）--------這就是拋物線與x軸的

IaI

兩交點之間日勺距離公式。

第三章圓

一.車輪為何做成圓形

※匕圓的定義：

描述性定義:在一種平面內(nèi)，線段OA繞它固定日勺一種端點。旋轉(zhuǎn)一周,另一種

端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成日勺圓形叫做網(wǎng);固定日勺端點O叫做網(wǎng)少;

線段OA叫做半管；以點O為圓心日勺圓，記作。O,讀作“圓O”

集合性定義:圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長日勺點日勺集合。其中定點叫做網(wǎng)

心，定長叫做網(wǎng)吧半彳至，圓心定圓的I位置，半徑定圓的I大小，圓

心和半徑確定日勺圓叫做足同。

對圓日勺定義日勺理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是

半徑（即定長）。

派2.點與圓日勺位置關(guān)系及其數(shù)量特性：

假如圓日勺半徑為r,點到圓心日勺距離為d,則

①點在圓上<===>d=r;

②點在圓內(nèi)<===〉d<r;

③點在圓外<===>d>r.

其中點在圓上的數(shù)量特性是重點,它可用來證明若干個點共圓，措施就是證

明這幾種點與一種定點、日勺距離相等。

二.圓時對稱性：

X1.與圓有關(guān)日勺概念：

①弦和直徑：

弦:連接圓上任意兩點的線段叫做攀。

直徑:通過圓心的弦叫做稟號。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

弧:圓上任意兩點間的部分叫做回弧,簡稱弧，用符號…表達(dá)，以CD為端點的

一f

弧記為“CD”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。

半圓:直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做學(xué)用。

優(yōu)弧:不小于半圓的弧叫做優(yōu)即。

劣弧:不不小于半圓的弧叫做為時。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表達(dá)。）

③弓形:弦及所對的弧構(gòu)成的圖形叫做號形。

④同心圓:圓心相似，半徑不等的I兩個圓叫做同心胃。

⑤等圓：可以完全重疊的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等弧:在同圓或等圓中，可以互相重疊的弧叫做等典。

⑦圓心角：頂點在圓心的I角叫做屋I《饞.

⑧弦心距：從圓心到弦的距離叫做承心、卑.

X2.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

X3.垂徑定理:垂直于弦日勺直徑平分這條弦，并且平分弦所對日勺兩條弧。

推論:平分弦（不是直徑）日勺直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

闡明:根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一種圓和一條直線來說，假如具有：

①過圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧。

上述五個條件中日勺任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。

※業(yè)定理:在同圓或等圓中，相等日勺圓心角所對日勺弧相等、所對日勺弦相等、所對

日勺弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦日勺弦心

距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)日勺其他各組量都分別相等.

三.圓周角和圓心角的關(guān)系：

XI.1°日勺弧的概念：把頂點在圓心日勺周角等提成360份時，每一份的角都是

1°日勺圓心角，對應(yīng)日勺整個圓也被等提成360份，每一份同

樣的弧叫1?；?

X2.圓心角日勺度數(shù)和它所對日勺弧日勺度數(shù)相等.

一、

這里指日勺是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成NA0AB

B=，這是錯誤日勺.

X3.圓周角的定義：

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.

※“圓周角定理:

一條弧所對日勺圓周角等于它所對的圓心角的二分之一.

※推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所

對的弧也相等；

※推論2：半圓或直徑所對日勺圓周角是直角；90°日勺圓周角所對日勺弦是直徑；

※四.確定圓的條件：

※上理解確定一種圓必須日勺具有兩個條件：

圓心和半徑，圓心決定圓時位置，半徑?jīng)Q定圓日勺大小.

通過一點可以作無數(shù)個圓，通過兩點也可以作無數(shù)個圓，其圓心在這個兩

點線段日勺垂直平分線上.

X2.通過三點作圓要分兩種狀況：

(1)通過同一直線上日勺三點不能作圓.

(2)通過不在同一直線上的三點，能且僅能作一種圓.

※定理：不在同一直線上日勺三個點確定一種圓.

X3.三角形日勺外接圓、三角形日勺外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：通過一種三角形三個頂點時圓叫做

這個三角形的外接圓，這個三角形叫做圓日勺內(nèi)接三角形.

(2)三角形日勺外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形日勺外心.

(3)三角形日勺外心日勺性質(zhì):三角形外心到三頂點日勺距離相等.

五.直線與圓日勺位置關(guān)系

※上直線和圓相交、相切相離日勺定義：

⑴相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓日勺割線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切

線，惟一日勺公共點做切點.

(3)相離：直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.

X2.直線與圓日勺位置關(guān)系日勺數(shù)量特性：

設(shè)。。日勺半徑為r,圓心。到直線日勺距離為d；

@d<r<===>直線L和。0相交.

②d=r<===>直線L和。O相切.

③d>r<===>直線L和。O相離.

X3.切線日勺總鑒定定理：

通過半徑日勺外端并且垂直于這個條半徑日勺直線是圓日勺切線.

※業(yè)切線的性質(zhì)定理：

圓時切線垂直于過切點日勺半徑.

※推論1通過圓心且垂直于切線日勺直線必通過切點.

※推論2通過切點且垂直于切線的直線必通過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間日勺關(guān)系，可得如下結(jié)論：

假如一條直線具有下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.

①垂直于切線；②過切點；③過圓心.

X5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形日勺概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓日勺圓心叫做三角形日勺內(nèi)

心，這個三角形叫做圓的外切三角形.

X6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

(1)三角形日勺內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要日勺輔助線：連接內(nèi)心和三角形日勺頂點，該線平分三角形日勺

這個內(nèi)角.

六.圓和圓的位置關(guān)系.

※上外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.

(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一種圓的外部時,叫做這兩個圓外離.

(2)外切：兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一種圓的

外部時，叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.

(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交.

(4)內(nèi)切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一種圓上時都在另一種圓的內(nèi)

部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.

(5)內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，并且一種圓上時點都在另一種圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)含.

兩圓同心是兩圓內(nèi)的I一種特例.

X2.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與鑒定：

(1)兩圓外離<===>d>R+r

(2)兩圓外切<===>d=R+r

(3)兩圓相交<===>R-r<d<R+r(R》r)

(4)兩圓內(nèi)切<===>d=R-r(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(R>r)

X3.相切兩圓的性質(zhì)：

假如兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.

※北相交兩圓的J性質(zhì)：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

七.弧長及扇形的I面積

※:1.圓周長公式：

圓周長C=2?lR（R表達(dá)圓時半徑）

X2.弧長公式：

弧長/=吧（R表達(dá)圓的半徑，n表達(dá)弧所對的圓心角的度數(shù)）

180

X3.扇形定義：

一條弧和通過這條弧的端點的兩條半徑所構(gòu)成的圖形叫做扇形.

※4弓形定義：

由弦及其所對的弧構(gòu)成的圖形叫做弓形.

弓形弧日勺中點到弦的距離叫做弓形高.

X5.圓日勺面積公式.

圓的J面積S=兀尺之（R表達(dá)圓的J半徑）

X6.扇形的I面積公式：

扇形的面積S扇形=嗎-（R表達(dá)圓的半徑，n表達(dá)弧所對的圓心角日勺度數(shù)）

360

（1）當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，S弓形=S扇形一S三角形

（2）當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，S弓形=S扇形+S三角形

（3）當(dāng)弓形所含日勺弧是半圓時，S弓形=；必2=s扇形

八.圓錐日勺有關(guān)概念：

XL圓錐可以看作是一種直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條

直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.

X2.圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算：

圓錐的側(cè)面展開圖是一種扇形，這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面

圓的I周長、圓心是圓錐的I頂點.

假如設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長（扇形半徑）是1,底面圓周長（扇形弧長）為c,

那么它的側(cè)面積是：

S/Kill——cl——■2兀—兀r/

側(cè)22

2

S表-S側(cè)+S底面=nrl+nr=nr（r+/）

0九.與圓有關(guān)的輔助線

1.如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線.

2.如圓中有直徑日勺條件，可作出直徑上的圓周角.

3.如一種圓有切線的條件，常作過切點的半徑（或直徑）為輔助線.

4.若條件交代了某點是切點時，連結(jié)圓心和切點是最常用的輔助線.

0十.圓內(nèi)接四邊形

若四邊形的四個頂點都在同一種圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做這個

四邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特性：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ);

②圓內(nèi)接四邊形任意一種外角等于它的內(nèi)錯角.

※十一.北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理

1.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩

條切線的夾角。

如圖6,：PA,PB分別切。。于A、B

；.PA=PB,P0平分/APB

2.弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

推論:假如兩個弦切角所夾的弧相等,那么這兩個弦切角也相等。

如圖7,CD切。O于C,貝!],ZACD=ZB

3.和圓有關(guān)的比例線段：

①相交弦定理:圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點提成的兩條線段長的積相等；

②推論:假如弦與直徑垂直相交,那么弦的二分之一是它分直徑所成的兩條線段的比例中

如圖8,AP?PB=CP?PD

如圖9,若CD1AB于PAB為。O直徑，則CP2=AP-PB

4.切割線定理

①切割線定理，從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線

段長的比例中項;