高等數學-習題及答案 孫忠民 第2章 導數與微分及其應用

第2章導數與微分及其應用

【能力訓練2.1】

(基礎題)

一'根據定義求下列函數的導數

⑴y=3x+2;(2)f(x尸dx

答案：(1)3

(2)l/2(x)A(-l/2)2

二'求雙曲段上在點J,2)處的切線方程

所r以切線方程為：y-2=-4(x-l/2)

即4x+y-4=0法線方程為：y-2=l/4(x-l/2)

即2x-8y+15=0

三'在拋物線y=x2上哪一點處的切線分別有如下性質：

⑴平行于x軸;

(2)平行于直線y=4x;

(3)平行于拋物線上兩點(x?y,).(x2,y2)的連線

答案：

(1)..切線平行于。，軸，

(均)=2工0=0

(?R)=0

「?/=0

.,?切點為(0.0)

綜上所述，結論是：點(0.。)的切線具有性質平行于

。，軸.

(2)略

(3)略

(應用題)

一'求曲線y=ln(1+x)在(0,0)處的切線方程，把兩者的圖像畫在同一坐標系上,

并觀察圖形之間的關系。

f(x)=ln(x+l)

則：

f(x)=l/(x+l)

切線斜率是：k=f(0)=I

切點是(0,0)

則切線方程是：

X—y=0

二'以初速度V。豎直上拋的物體，其上升高度S與時間的關系是：s=

求⑴該物體運動的速度；

⑵該物體達到最高點的時刻。

答案：

解⑴乂。=(。=冷/

(2)令v(0=0,即e-gt=0,得［二竺，這就是物體達到最高點的時刻.

g

三'郭晶晶是我國著名跳水運動員，當她從10m跳臺跳下后，入水時的速度有多

大？

［喀解:顆同g12得:t=律下梁=V2s,

到達水面是的速度v=gt=10V^m/s

故答案為:退10逅m/s

【能力訓練2.2】

(基礎題)

一'求下列函數的導數:

100-5

(l)y=A：;⑵y=V?;(3)y=x;(4)y=

答案：略

二'求下列函數的導數：

(i)y=(2)y=exsinx

x—1

(3)y=xlnx+loge;?)y=m

心1nx

(5)y=xsinxhu;(6)y=--

答案：略

三'求下列函數在給定點的導數值:

(l)y=6ex-3tanx+5,求川廣。;

(2)/(%)=仁),求廣(4).

答案：略

四、求下列函數的導數：

⑴y=(2x+5)4;(2)y=V1+ln2x

(3)y=arccos(ex);(4)y=sinzx;

(5)y=Inlnx;(6)y=(arcsinx)2.

答案：略

五、求下列初等函數的導數：

⑴y=Vl+x;(2)y=sin2x?sin(，);

1+x

(3)y=arctan-----;(4)y=arcsinV1+x.

I-x

答案：略

(應用題)

一、求曲線y=cosx在點P(0,1)處的切線方程

y'(0)=0,故法線方程為x=0

二'將一只球從橋上拋向空中，秒后球相對于地面的高度為y(單位:

2

m),y=f(4)=-5t+15t+12o

求⑴橋距地面的高度；

⑵球在［0,1］秒內的平均速度；

⑶球在t=1秒時的瞬時速度；

⑷在什么時刻，球達到最大高度？

⑴12米;(2)10米/秒；(3)5米/秒；⑷苧米,潛

【解析】

⑴因為當，。時，"0)=12,

所以橋的高度為12米；

(2)小球在0到I秒這段時間的平均速度是

⑼=22-12=10(米/秒)；

1-U

(3)求導得*(t)=-10t+15,

根據導數的幾何意義得，小球在，I秒時的瞬時速

度是⑴=-10+15=5(米/秒)；

(4)因為八(,)=—5產+15,+12=—5,

93

+T

所以當仁理，h⑴有最大值為苧，

所以當，，秒時，小球達到最大高度是苧米.

三'［疾病傳播］某城市正在遭受一場瘟疫，通過研究發(fā)現，第t天感染該疾病的

人數為p(t)=120t2丑3(的單位：天；0WtW40).試求該疾病在t=10天，t=20

天，t=40天時的傳播速度。

答案：略

四'［游戲銷售］當推出一種新的電子游戲程序時，短期內其銷售量會迅速增加，

然后開始下降，銷售量s與時間t之間的函數關系：t的單位為月。

n?luu

⑴求s'⑴；

⑵求s(5)和sY5),并解釋其意義。

,(/)=2002+100)-200/.2/=20000-200/?

答案:⑴02+ioo)?。+1()0/

5(5)==8

(2)52+100(個)，

20000-200-5215000

.v(5)=-7--------r：—=--------=0.96

(52+時15625(個/天)

s(5)表示第5月末的銷售量；、'(5)表示第5月末的銷售速度。

五、［水流速度］設一圓柱形水箱內裝有1000L水，它可以在底端將水抽干，分時

水箱中剩余水的體積為

v<ri1000U-W60,

求水箱中水流出的速度，它的單位是什么？

答案：略

六'［電壓的變化率］一個固定電阻為32,可變電阻為R的電路中的電壓由下式給

出一竺V

a

求在R=7Q時電壓關于可變電阻R的變化率。

P，=6（/?+3）-（6H+25）=-Jr（7）=--=-0.07

答案：伊+3）2（A+3）20+3）

七、［利潤］—U盤生產商發(fā)現，生產x百個U盤的利潤為P(x)=400(15-x)(x-2)

兀。

⑴求P’(X)。

⑵求使P(x)=o時的x值，并說明此時企業(yè)利潤的意義。

答案：略

八、［拋錨船只的運動］一艘拋錨的船只在海中隨海浪上、下擺動，它與海平面的

距離y(單位：米)與時間：(單位：分)的函數關系為y=5+sin(2nt)。

⑴楙表示什么意思？

⑵求t=5分時船體上下擺動的速度；

⑶船只的運動有何規(guī)律？

答案：略

九、［彈簧的運動］彈簧在振動時受到摩擦力和阻力的影響，其運動方程可以用指

數函數和正弦函數的乘積來表示，設這個彈簧上一點的運動方程為

5代)=26飛汨2口1：(5的單位：厘米，的單位:秒)，求tS時彈簧的振動速度。

較空?略

“,【能力訓練2.3】

(基礎題)

一'求由下列方程所確定的隱函數y=y(x)的導數也。

dr

(l)y3-+2x=5;(2)到一Iny=3;

(3)y=xy2,+xe\(4)xcosy=sin(x+y).

答案：略

二、利用對數求導法，求下列函數的導數:

G(2x-1)2y/x+1

⑴>叱(2)j=---------,“--------

(x+2)3^n

答案：略

三、求由下列參數方程所確定的函數的導數:

X=1-Z2,x=3e-r

⑴⑵

y="巴y=2er.

答案：略

四、求橢圓，=3°8°1>0加>0,0為參數)在0=；處的切線與法線方程。

y.tnmff

答案：略

五、設質點做直線運動，其運動規(guī)律，勺水):為常數)，求質點在時刻t=1

時的速度和加速度°

【解析】V=7T.4/6。=[(-，3),4”42]/18

(應用題)

一'一質點以每秒50m的發(fā)射速度垂直射向空中，t秒后達到的高度為s=50t-5t

2(m),假設在此運動過程中重力為唯一的作用力，試求：

⑴該質點能達到的最大高度；

⑵該質點離地面120m時的速度是多少？

⑶何時質點重新落回地面？

答案：略

二、求函數(x2+y2)3=64x2y2在指定點(2,3.07)和(2,0.56)處的切線斜率。

答案：略

【能力訓練2.4】

(基礎題)

一、利用洛必達法則求下列函數極限:

.....sin5x

⑴聶丁;⑵理M

“、，?1-COSJC2W+--y/a-x

(4)hm---------------------(a>0);

x-*ox

心..Inx

(5)hm——;⑹鄴白-二1)?

XT+8x

答案：略

二'求下列函數的單調區(qū)間：

(l)y=xex;(2)y=1(x3-3x).

答案：(D

解y,c'=<」(I+i)?

令y>0?得_r>—】s

華》」V0,杼*V-】.

因此.3=7/的色調遂埔區(qū)間為(一l.+s).

單調遞或區(qū)間為(一“,一】).

(2)略

三'求下列函數的極值：

(1)y=x2+2xT;(2)y=x-ex

答案：(1)1(2)-1

(應用題)

一、［人口增長］中國的人口總數P(以10億為單位)在1993-1995年間可近似地

用方程P=1.15X(1.014)，來計算，其中年(從1993年計)，根據這一方程，說明

中國人口總數在這段時間是增長還是減少？

答案：增加

二、［最小淋雨量］人在雨中行走，速度不同可能導致淋雨量有很大不同，即淋雨

量是人行走速度的函數，記淋雨量為y,行走速度為x,并設它們之間有以下函數

關系y=x3-6x2+9x+4,求淋雨量最小時的行走速度。

答案：增加

三'［快餐店的最大利潤］某快餐店每月銷售漢堡包的單位價格P與需求量x的關

系由p(x)=嘿薩確定，又設生產x個漢堡包的成本為

乙UUUU

C(x)=5000+0.56x(0WxW50000),

問當產量是多少時，快餐店獲得最大利潤？

答案：增加

四'［廣告策略］某一新產品問世后，公司會為推銷這一新產品而花費大量的廣告

費，但隨產品在市場上被認可，廣告的作用會越來越小，何時減小甚至取消廣告

產品的銷售高峰一最暢銷時間，設某產品在時刻t的銷量由

1+1Qg-3t

給出，試問該產品何時最為暢銷？

答案：增加

五'［廠房設計］某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋，現有存磚只夠砌20m長的墻

壁，問應圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？

答案：設一邊為X,一邊為YX+2Y=20求XY最大植即(20-2Y)Y的最大植當Y=5時

有最大植所以長10米，寬5米可修最大面積的小屋。

六'［運輸路線的選擇］鐵路線上AB的距離為100km,工廠C距A處為20km,AC垂

直于AB,現要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每千

米貨運費之比為3:5,問D選在何處，才能使從B到C的運費最少？

設|DA|二x(千米),鐵路噸千米運費為3a,公路噸千米運費為5a,從B到C的總運費為y,則依題意,囪=3a(10。-工)+5a，400+3

x6(0,100).^y=at,則用+3工=5,400+72⑴?平方，眄得16;?-6tH+10000-t2=o由

A=36產-4x16(10000-t2)》0.司t|>8O.-.t>0.t>80.將t=80代入方程(1),解幅X=15,這曲最小，y最小.即當D

點選在距A點15千米處時，茗運費最省.

據題設知,單位距離的公路運費大于鐵路運費，又知+\DC\W\BA\+\AC\.因此只苞點D選在線段BA上某一適當位置,才能使總運

費最省若iSD點距A點x千米,從B到C的總運費為y,建立y與頒函數,則通過用趣/=/(工)的最小值，可確定點D的位H.

七、［成本最低］某廠商每天生產X單位產品，其每天的成本包括：

(1)固定成本12000元；

⑵單位產品的成本12元；

⑶訂貨成本竽元

請寫出每天生Fx單位產品的總成本，并求每天產量為多少時總成本最低。

答案：略

八'［最大利潤］某淘寶店主以每條100元的價格購進一批牛仔褲，設此牛仔褲的

需求函數為Q=400-p,其中p為售，問銷售價定為多少時，才能獲得最大利潤？

由題意，每件商品的銷售利潤為(pT00)元，

那么Q件的銷售利潤為

y=Q(p-l00)=(400-2p)(p-100),

即y=-2p2+600p-40000,

對其右邊進行配方得y=-2(p-150)2+5000,

...當p=150時，y有最大值,最大值y=5000

.?.當每件商品的銷售價定為150元時，

有最大利潤為5000元。

九、［最大利潤］某廠生產某種產品q個單位時，銷售收入為R(q)=8Jq,成本函

數為C(q)=O.25q2+1,求使利潤達到最大時的產量q。

答案：略

【能力訓練2.5】

(基礎題)

一、求函數y=2x?+lnx的二階導數

【解析】(l);y=2z2+inz,

1—1

/.y，=4一HH—,y=4---7.

X

二'求指數函數y=e'的n階導數

y=ex,則

y1=ex.

y"=e'，

嚴)=巴

:.y=/的n階

x

/)=e-

由函數的解析式及整計算公式，求出函數的f.二階，三階贅，

再歸納得出的數的n階導數.

三'求下列函數的凹凸區(qū)間及拐點：

(1)7=3^-?;(2)y=~2~\⑶y=ln(l+/).

+1

答案：略

四'當a,b為何值時，點(1,3)是曲線y=ax3+bx2的拐點？

點(1,3)在曲淺y=ax3+bx2上，故a+b=3.又y=3ax2+2bx,y"=6ax+2b,應有y"|=6a+26=0.解得》=一素。=,，即

Il—1zZ

y-=-9x+9.顯然，當x<1時，y->0;當x>1時，y”<0.點(1,3)為曲線拐點.

五、求曲線y=x2-4x+3在頂點處的曲率及曲率半徑.

答案：略

(應用題)

一'［子彈的加速度］一子彈射向正上方，子彈與地面的距離s(單位：m)與時間

(單位：s)的關系為s=670t-4.9t2，求子彈的加速度。

V=s'(t)=670-9.8t=V(t)

a=v‘t=-9.8m/s2

所以子彈的加速度是-9.8m/s2

二'［物體運動的加速度］一個物體附在豎直彈簧的下面，已知它的位移為

y=Asir)3t,其中A為振動的振幅，3為角頻率，求物體的速度和加速度。

物體的速度樂「學&則人

29aa?a

.加速度為“國裳U.上！*-

a?“a??a

It.J

三'［廣告效應］IBM公司用二階導數來評估不同廣告戰(zhàn)的相關業(yè)績.假設所有的

廣告都能提高銷量，如果在一次新的廣告戰(zhàn)中，銷售量關于時間的曲線為凹的，

這表明IBM公司的經營情況如何?為什么?若曲線為凸的呢？

答案：略

【能力訓練2.6】

(基礎題)

一、求下列函數的微分：

(l)y=+2Vx;(2)y=xsin2x;

x

(3)y=InVx2-1;(4)y=表3t

答案：略

二、計算下列函數值的近似值(精確到0.0001):

(l)j=sin3O°30';(2)4997

答案：略

三'計算下列各式的近似值(精確到0.0001