2024年普通高等學(xué)校招生“梯期杯”統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生“梯期杯”統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.集合Af=Jx<-1-1sin(^x)<11,N=[y\y=x2—2%},則MN=

兀71

4」一1,萬]B.[-1,0)C.[-1,0]D.[0,-]

2.若直線y=(Q-4)x+〃與圓/+/_16相切，貝！=

4368

A.4B.—C.4或一

1515

3.已知向量a=(2,-3),b=(l,-l),若a與b的夾角為a,貝(Jsin2a=

555

A.—B.——C.——

262613

4.若函數(shù)/(x)=sin2x-sinx+單調(diào)遞增，貝!Ja的取值范圍為

3333

A.[—3,+oo)B.[一■—,+oo)C.+8)D.[3,+oo)

iolo

5.如圖，概念型超音速客機"7號”平行于地面進行超低空飛行，在沖破音障的一瞬間形成了音爆云

(飛行器超高速飛行時形成的形狀像是一個以物體為中心軸、向四周均勻擴散的圓錐狀云團)，該

圓錐狀云團的底面。。與地面垂直，高為“米，音爆云與地面接觸位置形成的曲線為已石的離心率

為e,右上距離飛機尾部最近的點到音爆云底面的距離為上貝/77號”的飛行高度為

1(H—h)B"+1(H-h)C”e2-—D.y/e2+1(H-h)

e

試卷第1頁(共12頁)

6.一個旅行團計劃前往某個國家旅游，該國有A,B,C2E,EG,”共8個景點供游客選擇。團隊決定

按照以下要求進行安排：首先選擇3個不同的景點作為主要景點，然后在剩下的景點中選擇2個不同

的作為備選景點。其中A、3景點不能作為主要景點，C景點不能作為備選景點，則不同安排的方式

共有

A.80種B.90種C.160種D180種

7.定義：國表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1,[-3.1]=-4,已知數(shù)列｛*｝滿足%=1,

an=log2(n+1),數(shù)列｛%｝=[許]的前〃項和為'，若S"<2024,貝M的最大值為

A.254B.314C.320D.510

8.設(shè)銳角△A3C的面積為S,若2s=b2,貝ijtan3+：tanAtanC的最小值為

91625

A.3B.-C.—D.—

499

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。

9.已知復(fù)數(shù)z為方程z?+2z+2=0的一個根，貝人的可能取值有

A.l-iB.-l+iCA+iD.-l-i

10.已知隨機事件4B滿足P(A|8)=P(AR),貝伊(43)<「(48)的充分條件是

A.P(B|A)<P(A|fi)B.P(AB)<P(AB)

C.P(A|B)>P(A|5)D.P(A\B)<P(A)

11.平行六面體ABC。-ApBiGA中，外接球半徑為4,點P滿足不=力兩，貝IJ

A.AC]=BD]

B.DP+名尸>8

C若2=1,則。P?當(dāng)月的最大值為32

D.若丸=2,貝!IsinN%。。>sinzAjPD

12.已知數(shù)列｛即｝滿足％+i=an+sin%,則下列說法中錯誤的是

A.數(shù)列｛冊｝為遞增數(shù)列

B.對V〃zGN*,都有%計1>am>“加-1

a2a

C.若正整數(shù)機滿足%+1+am_x<2am,則為+2+m<m+l

D.當(dāng)西豐5｛keZ)時，存在的與正整數(shù)加使得口加+i+am_x=2am

試卷第2頁(共12頁)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一個數(shù)字序列的每一項都是前兩項的和，若該序列的第一項是1,第二項是3.則該序列的第五

項為.

14.若函數(shù)/(x)=|，+2八在區(qū)間上的最大值為6,貝必=.

15.甲、乙、丙三人按照“甲最先扔、乙之后扔、丙最后扔”的順序依次輪流扔骰子。若第一個扔出3

的人獲勝，則丙獲勝的概率為.

X2V2

16.已知雙曲線C:=1(?>0,Z?>0)的左，右焦點分別為尸1，F(xiàn),左頂點為A,點P在C的右

a-b-2

支上，且恒有2/PA尸2=NPF24過點P的直線4平分過0(。為坐標(biāo)原點)作平行于"交

直線P為于點N,.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

當(dāng)代高中生因課程壓力大，需要面對繁重的學(xué)習(xí)任務(wù)，應(yīng)對社交壓力和家庭期望，這些壓力

導(dǎo)致他們出現(xiàn)焦慮、抑郁、失眠等心理問題，長期的課程壓力和心理壓力會導(dǎo)致高中生的身

體機能逐漸減弱，下圖為某校對在校某一班的學(xué)生視力和體能的調(diào)查報表：

視力分布

體能'視力

極差較差正常較好

極差1011

較差021b

體能分布

正常28101

較好0a15

4

由于部分?jǐn)?shù)據(jù)的丟失，僅知道該班共計40位學(xué)生，且學(xué)生體能在正常及以上的概率為亍

(1)求b的值；

(2)從40名學(xué)生中抽取3名學(xué)生；

⑺求至少有一名學(xué)生視力或體能較好的概率；

(?)若這3名學(xué)生中視力或體能正常及以上的學(xué)生人數(shù)為求隨機變量r的數(shù)學(xué)期望.

試卷第3頁(共12頁)

18.(12分)

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,dc,AAC與。。相切于點C,B在。。上，AB的延

o

長線與。。交于。點.

(1)若。。的半徑為1,BD=6求。；

(2)若c=2,當(dāng)b最大時，求NBOC.

19.(12分)

已知數(shù)列｛冊｝的各項均為正數(shù)且=2,2an+xan+(n+2)端=na-+l.

(1)求%;

(2)求數(shù)列｛2%｝的前〃項和%

20.（12分）

在棱臺A3C—中，△A&G為邊長為1的正三角形，且AB_LAAi，點P、。分別為&G、

B1G的中點，點M滿足MB=B]M.

(1)求二面角Ai-A3-G的正弦值的最大值；

(2)若AC=2A3i，求平面A&G與平面P。加夾角的取值范圍.

試卷第4頁(共12頁)

21.(12分)

拋物線E：y=-％2+機與x軸負(fù)半軸交于點A,與x軸正半軸交于點。，點3在E上，且點3在x軸上方.

(1)若加=1,點3在A與。之間運動，求館明+招。|的最大值；

兀

(2)若點C在拋物線上且在x軸上方，ABAD+2ACAD=-,過3作AC的垂線交E于點“，證明：

A,B、M,C不可能四點共圓.

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)=(a-x)eax+x+。有且僅有兩個零點看,％2(占<%2)?

(1)求a的取值范圍；

ex1

(2)設(shè)g(x)=------若gCq)+g(%2)>-----------，求。的取值范圍.

2(1+X)1+

試卷第5頁(共12頁)

2024年普通高等學(xué)校招生“梯期杯”統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試題參考答案

選擇題

題號123456789101112

答案ACCCCCBCBDBCABDABC

填空題

題號13141516

7於525

§或一§

答案11914

一427+。

17.(1)依題：——=------,a=5,又40=〃+/?+33,b=2.

540

379

(2)(i)記事件A為“至少有一名視力或體能較好的學(xué)生”，則P(A)=1--^=---

Ro494

Cl-C51

(ii)4的所有可能取值為0,1,2,3,A=0)=-2―21=——,

C409oo0

Cj-111Cl-Cl，999Cl-C?777

尸4=1)=337=----------p(j=2)=337=----------p(j=3)=337=一

q09880004940Qo988

.?工的分布列為：

0123

1111999777

P

988098804940988

1111999777111

E(己)—0x+1X+2x+3X-.

98809880494098840

試卷第6頁（共12頁）

OB2+BD2-0D2_V3

18.(1)記。C交3。于“，當(dāng)/在線段C。上時，cosZOBD=

20B■BD一~

7171717171JI

Z.OBD=—,又NCMA=--ZA=—,Z.MOB=---------=—,

623366

0B11

：.MO=MB=—,MC=r-0M=I-,Ab=、3MC=-1;

V3

當(dāng)M在線段C。延長線上時，OM=空=工,CM=CO+OM=-^-+l,

“3V3V3

AC=V3CM=V3+1；綜上：b=^±l.

(2)由幾何關(guān)系得：AC2=ABAD,即。2=2AO,當(dāng)。取最大值時，AO取最大值，即A、B、

冗71

D、。共線時，2.C0B=--ACOA=

19.(1);2冊+i冊+(〃+2)*=〃端+1，A(an4-an+i)[nan+i-(n+2)(2n]=0,Van,an+i>0,

冊+1_〃+2

ann

aaan+1nn—1543

an.味1.an-2432

an-\an-2an-3a3a2a\n—1n—2n—3321

(n+l)n

-------,又%=2,/.a=n(n+1).

%n

(2)令瓦=2〃4="5+l).2〃，則

s九=,2]+。2,2?+。3?23d—+an_2?2〃-？+an_1-2〃-1+%.2",

25n=%,2?+g,2?+%?24+…+61n_2,2"-1?2"+?2"+】,

作差得

a2n-1

一Sn=2%—an?2"+i+(做-i)02+(%-。2)?2,+…+(an_x—an_2)-2+(an-,2",

令4T=(即一即_1)?2九=幾?2"1,設(shè)。前〃項和為圖,則

=2?23+3?24+4?26+???+(〃-2).2"+n-2n+1,

2圖_1=2?24+3?25+4?26+…+(〃-2)?2〃+(〃-1)?2計1+n-2n+2,

兩式作差得

一%=2-23+24+25+-+2n+2計1-n-2n+2=(1-n)-2n+2,

=(n-1)-2"+2=&+d2+…+d鹿

n+1

???-Sn=2%-an?2"i+(〃-1)?2計2=(_〃2+〃_2)?2+4,

.?.J=0?_〃+2)?2〃+i-4.

試卷第7頁(共12頁)

20.(1)作A"_LAB且HU面ABC,作AG_L面43。且G在面ABC上方，以(AH.A8.AG)為一組

基底建立空間直角坐標(biāo)系，又M為BBi中點、,PQ=AA^,而="褐，設(shè)4（0,0,0）,3（0力,0）,

x2+y2=lAAjp=1，由棱臺?△ABC

A(x,0,z),

zR0

AiBiAICIAIBI

設(shè)岔=箕=號="(讓(。/)〃1,+8)),設(shè)G(i,z),

2222

m—xnm+z4-n=|AQ|=1992

'C(一^‘7'°)'：

m2=x?H-----——1,幾2=1-------,z?=1-%?,"2>0,Z?>0,X?￡[一,1),

4N4N-L4

又罰=(x,0,z),AB=(0A0),AQ=(m,n,z),設(shè)面ABA1的法向量為7,面ABg的法向量為

―>

d].A4=0d，y?A一B-0，取d1=(z,0,一尤)

d?,由“->

di-AB=Qd??AG=0d2=(-z,0,m)

記二面角4-AB—G為a,cosacos<di，d2>

7]一12+%2―；

z+mx

=⑶,

cos<d2>

7於+%2也2+m2

(2)AC2=-^-(m2—2mx4-n24-x2)=AB2=x2+k2b2+z2=1+k2b2,

k2k2

.?.京=4+4/。2,J__4>0,：.k&(0,1),kb=J-1+擊,記為"J-1++,

依題意：XX=(x,t,z),=(m-x,n-t,0),~PQIIXB.AB=(0,/J,0),QMI/'BC^

BQ=(m,n-b,z),設(shè)面AB[G與面P?！钡姆ㄏ蛄繛槎?，工,

’->(—>——>T——>

6/3?AB^=0-PQ=-AB=0

=0'd4-OM=Q

=(z(t-n),z(m-x),xn-tm),d4=(-z,0,m),設(shè)面A5￡與面PQM的夾角為“，

—>13

|COSPI=ICOS<6?3,，又〃——by2",

試卷第8頁（共12頁）

|(1-n2)t-^n\1

cos夕=,一一，記s=I(]—n-)t~—n\,

(1—“2)(2_/“(]_/2)4-2(1-”2)一

2s2an

codp=--------rG[—~-,1),當(dāng)t=-----^時，k=0,當(dāng)I"|一,cos夕—1,

避?3-4,Q0+22(1-n2)

D丁44

,..71

|cos0|G[0,1),sinp￡[0,1),二?夕。(0,—].

21.(1)A(-l,0),2(1,0),設(shè)8(和,17江其中和G(-1,1),

\AB\+\BD\=,(9+1)2+(行一1)2+,(利—1)+(君—I/

郎(x)=J(x+1)2+(，-1)2+N(x_1)2+(r-1)2,xG(-1,1),易副(X)=/(-%),

</,(%)<+1)2+(x—1)2+2(/—1)2=y/2.V2x4-2x2+4,當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等,

令t=x\tV(0,1),g(t)=2產(chǎn)一2/+4,貝ijg⑺<g(0)=g(l)=4,/(x)<V2-71(0)=272,

那么|AB|+18。|的最大值為272.

(2)A(—，機,0),設(shè)3(工1，加一x；),C(x2,m—xf),Af(x3,m—x1),

/.kAB=y/m-xx,kAC=y/m-x2,kMC=-x2-x3,AC1BM,：.kACkMB=-1,

(%2+%3)(/機-町)=1，,**NBAD+2NCAZ)=—,/.I^AB=-----,

一722kAe

m

：.2(\/m-xi)(y/m—x2)=xf—27mx?+m—1,又「?⑸+'3)(V—%2)=1

mxxxx

%2+12%3+Vl-V^3~l2一m=0，=X2+%3,止匕時=kMC,

若A,B,M,C共圓，根據(jù)圓周角定理NBACuNBMC,由倒角公式tan/BAC=卜：)J,

tanzBMC=~~因為凝B=鐮0?熱c=-1，tanzBAC=---~~,

1+^MB^MC1+kf4CkAC

tan^BMC=1+%,又NBAC=NBMC,：.tan^BAC=如一=1,

^MC—kAC1+^AB^AC

兀兀冗

：.ABAC=又NBA。+2NCAO=—，ACAD="AC="4。矛盾，A,B,M,

424

C不可能四點共圓.

試卷第9頁（共12頁）

22.(1)a=0,/(x)=0,/(x)有無數(shù)個零點；。,0時，/(x)=(a-x)eax+x+a,

2

2ax2ax,z

f'(x)=(—ax+a4-l)e+1,f"(x)=a(a—2—ax)e,/(x0)=0,則和=a-----,

a>0時，/'(x)在(-8,*0)上單調(diào)遞增，在(尤0,+8)上單調(diào)遞減;a<0時,/'(尤)在(-8,和)上單

調(diào)遞增，在(q,+8)上單調(diào)遞減；又fa。)=+1>0,a>0時，若x<—1，

a

貝曠(x)>a2eax+1>0,若x>a,貝/。)<l-eax<0,：.3^G(班,a)使彳&'(%)=0,

/(X)在(一8,%)上單調(diào)遞增，在(4,+8)上單調(diào)遞減；于(a)=2a>0,令A(yù)(x)=ex-x-1,

Ar(x)=ex-l,當(dāng)了上。時，Ar(x)>0,A(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時，4(x)<0,A(x)單調(diào)遞減，

xa(a+2)2

：.e>x+1,f(a+2)=—2(e—a-1)<—2((z+a)<0,3x2G(a,a+2),

21

f(-a)=2ae-a>0,f(-a-2)=2[(a+l)-?(?+2)-1]<2(----------1)<0,

ea+1

AG(-a-2,-(2),「./(%)有兩個零點；二.avO時，若1>-'，貝曠(x)>公4％+1>。，

a

若x<a,則f(x)V1-4%V0,???G(凡和)使得f(%)=0,/(x)在(一8,乙)上單調(diào)遞增，

在(與,+co)上單調(diào)遞減，/(0)=2。V0,-2)>0,/(2一〃)>0,

3x1E(a-2,0),x2E(0,2-a),「./(x)有兩個零點；綜上：aG(-oo,0)U(0,+oo).

?jX]—a

(2)考慮證：%1+%2=0，;(a+占+a=0,e~ax1=--------,

—+Q

[a—i)+a—=0,叼=?(-1)，+%2=0，

1_

g(x，+§(—%1)----------20,丁X],—1,(a+l)e"+a—1/0,

1-bx1

令/Z(Q)=&+L+〃-i,"(a)=1-—>1-"+】>0,/z(a)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

eaeaea

V"(0)=o,且ar0,；.h(a)R0,占r-1,原式即二、+1\9>0(x<0

2(1+%)2(1-x)1-bx2

+a00%i+tz

且x,—1);又e^x]=--------(x?—a2>0),即尸(%i)=—In(---------)=0,

Xi—ax1—a

Xi+a.XA—aX]—a,

考慮證右—ln(—-----)=0,貝！]一〃修一111(--------)=0：§\iax1+ln(--------)=0,與

xx—aM+〃刈+a

+a”,

ax-ln(------)=0等價，得證；

xX]_a

2

只需。>0：x<-a(x：-a?>°),廠'(修)=a(—------+1)>0,/(巧)在(一8,一。)上單調(diào)遞

xxf—a1

增，又。足夠大時，蟲可取到足夠小，故只需分析片上界的存在性(修〈?；蛐蕖?。)，

試卷第10頁（共12頁）

ca,,c+Q

ac-ln(-------)>0對成立，記為H(a)=ac-ln(--------),

c—ac—a

2。C?—a2-2Coo

則H(0)=0,H'(a)=c=C(-----------)=-------(c--a1-2),<0,

(c4-a)(c—a)c2—a2-c2—屋C2-(72

若。2一2<0,則H'(a)?0,/.H(a)>H(0)=0,符合題意，，c?42,c而〃=一退,

若。2—2>0,則a￡(0,，°2一2),:.H\a)<G,孤G(05。2—2)使得”(修)<0矛盾,

：.c>-\[10X]W-又1X=-V時，記G(a)=--ln(---------),

-a-y2

/-2v/2>-2y/2a2

GX?)=-V2--^-=-V2(l+——)=>0,且G(0)=0,即。=0,

又a,0,；.修<—V；若b>0,貝口—bx1<0,分離參數(shù)得匕>(」7)max，即b?!；

x22

下證：62g符合題意，1—b/wi—g/vo,

exe~x1exe~x(1—x)ex+(1+x)e~x

----------1---------------------->----------1----------=-------------------------

2(1+x)2(1-x)1-bx22(1+x)2(1-x)2(1—N)

記上式為②式，由上可得：N(x)=(l—x)e，+(l+x)eT=0(x)+2,