高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講必備 第24講 空間向量及其應(yīng)用（講義）

第24講空間向量及其應(yīng)用

學(xué)校姓名班級

一、知識梳理

名稱定義

空間向量空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量

相等向量大小相等、方向相同的向量

相反向量大小相等、方向相反的向量

共線向量如果兩個非零向量的方向相同或者相反,則稱這兩個向量平行(或

(或平行向量)共線)

空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在

共面向量

同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面

(1)共線向量定理：如果aWO且b〃a,則存在唯一的實(shí)數(shù)4,使得6=4a

(2)共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，則向量a,b,c共面的充要條件是，存在

唯一的實(shí)數(shù)對(x，y),使c=xa+y6.

由共面向量定理可得判斷空間中四點(diǎn)是否共面的方法：如果4,B,61三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)。

在平面4如內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(x,y),使瀛=.荔+彘

(3)空間向量基本定理：如果空間中的三個向量a,b,c不共面，那么對空間中的任意一

個向量P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,Z),使得0=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}稱為

空間向量的一組基底.

(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)0,作應(yīng)=a,應(yīng)=6,則

N/仍叫做向量a與6的夾角，記作(a,b),其范圍是［0,叮］,若⑸6〉=/■，則稱

a與6互相垂直，記作a丄，.

(2)兩向量的數(shù)量積：非零向量處力的數(shù)量積a-b=|all引cos〈搖6〉.

(1)結(jié)合律：Qa)?b=入(a?扮；

(2)交換律：a?b=b?a；

(3)分配律：(a+A),c=a,c+b,c.

設(shè)a=(x,yi,Zi),b=(^2,72,z2).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a?bx\Xt+y\y2+Z\Z2

共線

b=入￡R)x2=y2=Z2=/zi

垂直a?b=O(a^OtbWO)xiX2+yiy2+ziZ2=0

模\a\、/言+二+-

.,,XlX2+a%+ziZ2

夾角

(a,b)(aWO,bWO)COS\3fb)122I2/2丄2I2

YM十必+zy也十先十0

（1）直線的方向向量：如果,是空間中的一條直線，r是空間中的一個非零向量，且表示「

的有向線段所在的直線與/平行或重合，則稱v為直線/的一個方向向量.

（2）平面的法向量：如果。是空間中的一個平面，/J是空間的一個非零向量，且表示A的

有向線段所在的直線與平面a垂直，則稱〃為平面a的一個法向量,此時也稱〃與平面

a垂直，記作〃丄a.

位置關(guān)系向量表示

直線九厶的方向向量分別為h//12V\//上=力=4V2

Ki,V1厶丄一V\丄吃=所??=0

直線/的方向向量為z平面a1//avd_77<=>p?〃=0

的法向量為Z?/丄av//〃=〃=4v

平面a,￡的法向量分別為a//Pn\//n^n\—4m

Z71,Th。丄￡n\丄?m=0

常用結(jié)論

A,B,。三點(diǎn)共線的充要條件是：而=矛兩族（其中才+了=1）,。為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

P,A,B,。四點(diǎn)共面的充要條件是：旗^9+y兩+z應(yīng)'（其中x+y+z=l）,。為空間任

意一點(diǎn).

二、考點(diǎn)和典型例題

1、空間向量的運(yùn)算及共線、共而定理

【典例1T】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知向量。=（2〃+1,3,m—1）,h=（2,m,

一加，且W/。，則實(shí)數(shù)加的值等于（）

33

A.-B.-2C.OD.一或一2

22

【典例1-2]（2021?河北?滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）a=（l,-l,3）,b=（-l,4,-2）,c=（l,5,x）,

若“，6c三向量共面，則實(shí)數(shù)'=（）

A.3B.2C.15D.5

【典例1-3】（2020?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)x,"R,向量&=（須1,1）,1=（1,y,l）,

c=（2,T,2）且a丄方，bI/c>則1"+。|=（）

A.2&B.VioC.3D.4

【典例1-4】（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）若｛〃/,c｝構(gòu)成空間的一個基底，則下

列向量共面的是（）

A.a+h+c,a-b,2h+cB.a-h,a-c,b-c

C.a+2b,a-2b,a+cD.a-2b,6b-3a,-c

【典例1-5】（2022?湖南?高三階段練習(xí)）若直線/的方向向量m=（x,-1,2）,平面a的

法向量〃=（-2,-2,4）,且直線/丄平面a,則實(shí)數(shù)x的值是.

2、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

【典例2-1]（2022?河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））正四面體A-BC3的棱長為4,空

間中的動點(diǎn)戶滿足|PB+PC[=2&,則Ap.po的取值范圍為（）

A.[4-2百,4+2岀]B.[72,372]

C.[4-372,4-72]D.[-14,2]

【典例2-2]（2022?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正四

棱臺A88-A8C。的上、下底面邊長分別為1和2,P是上底面的邊界上一

點(diǎn).若PA/C的最小值為則該正四棱臺的體積為（）

7R217VlO35

A.-D.-C.----------1J.—

2466

【典例2-3]中，A3丄AC,"是AG的中點(diǎn)，AB=7,N,G分別在棱54，

然上，且BN=、BB1,AG=-AC,平面榊&與4?交于點(diǎn)〃，則也=___________,

33BH

HMAB=?

【典例2-4】（2022?上海徐匯?三模）已知是空間相互垂直的單位向量，且卜|=5,

c-a=c-b=2s[2）則卜-〃皿-同的最小值是一

【典例2-5】（2022?浙江?模擬預(yù)測）若尸、。、R是棱長為1的正四面體棱上互不相同

的三點(diǎn)，則PQQR的取值范圍是_______.

3、空間向量的應(yīng)用

【典例3-1]（2022?全國?模擬預(yù)測）下圖為正三棱柱ABC-DEF的一個展開圖，若4

A，A,,D,D、,A六點(diǎn)在同一個圓周上，則在原正三棱柱中，直線/￡和直線跖所成

角的余弦值是（）

【典例3-2]（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））在正方體A8CO-ABCQ中，E,尸分

別為AB,BC的中點(diǎn)，則（）

A.平面gEF丄平面BOQB.平面AEF丄平面4BO

C.平面6EF〃平面AACD.平面8避///平面AG。

【典例3-3]（2022?福建龍巖?模擬預(yù)測）已知直三棱柱4BC-A5G的所有棱長都相等,

M為AG的中點(diǎn)，則AM與BG所成角的正弦值為（)

D.叵

B.坐C.邁

44

【典例3-4】（2022?河南省蘭考縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知三棱柱

ABC-A,4G的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為2,。為8c的中點(diǎn)，若

N4A8=NAAC=q,則異面直線與BG所成角的余弦值為—

【典例3-5[(2022?福建