高中數(shù)學(xué) 集合的運(yùn)算 知識(shí)點(diǎn)精講及重點(diǎn)題型訓(xùn)練（解析版）

1.3集合的運(yùn)算

?知識(shí)導(dǎo)圖

?知識(shí)點(diǎn)精講

【知識(shí)點(diǎn)1、并集】

i.并集的概念

一般地，由屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的并集，記作

（讀作"A并B"）,即/U5=e或xe5}.用Venn圖表示如圖所示：

由上述圖形可知，無(wú)論集合A,B是何種關(guān)系，NU5恒有意義，圖中陰影部分表示并集.

注意：并集概念中的“或”指的是只需滿(mǎn)足其中一個(gè)條件即可，這與生活中的“或”字含義不同.生活中

的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的.

2.并集的性質(zhì)

對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,根據(jù)并集的概念可得:

（1）y/U8）,此皿8）；(2)A\JA=A；

（3）A\J0=A；(4)A\JB=B\JA.

【知識(shí)點(diǎn)2、交集】

1.交集的概念

一般地，由的所有元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作：（讀作“A交

B"）,即ZCI8={x|xe4且xe8}.用Venn圖表示如圖所示：

（1）A與B相交（有公共元素）（2）8,則2口5=2（3）A與B相離（幺口5=0）

注意：（1）交集概念中的“且”即“同時(shí)”的意思，兩個(gè)集合的交集中的元素必須同時(shí)是兩個(gè)集合的元

素.（2）定義中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素.

2.交集的性質(zhì)

（1）卬8）［4（/門(mén)8）［8；（2）AHA=A；

（3）AQ0=0;（4）A^\B=B^A.

【知識(shí)點(diǎn)3、全集與補(bǔ)集】

1.全集的概念

一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合為全集，通常記作U,

是相對(duì)于所研究問(wèn)題而言的一個(gè)相對(duì)概念.學(xué)+科網(wǎng)

說(shuō)明：“全集”是一個(gè)相對(duì)的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問(wèn)題來(lái)加以選擇的.例如：我

們常把實(shí)數(shù)集R看作全集，而當(dāng)我們?cè)谡麛?shù)范圍內(nèi)研究問(wèn)題時(shí)，就把整數(shù)集Z看作全集.

2.補(bǔ)集的概念

對(duì)于一個(gè)集合4由全集U中集合八的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，

簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作即2/={x|xeU,且xeZ}.用Venn圖表示如圖所示：

說(shuō)明：(1)補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，同時(shí)也是集合之間的一種運(yùn)算.求集合A的補(bǔ)集的前提是4是

全集。的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個(gè)

概念.

(2)若xe。，則或xegZ,二者必居其一.

3.全集與補(bǔ)集的性質(zhì)

設(shè)全集為U,集合A是全集。的一個(gè)子集，根據(jù)補(bǔ)集的定義可得：

(1)20=0；(2)"0=U；(3)電(電/)=2；

(4)ZU(偽/)=0;(5)AC\(duA)=0.

?重點(diǎn)題蔓

(一)、集合的并集

例1.(1)、(2023春?浙江杭州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知集合/={4,5,6},8={3,5,7},則Nu8=()

A.0B.{5}C.{4,6}D.{3,4,5,6,7}

【答案】D

【分析】利用集合的并集運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)?={4,5,6},8={3,5,7},

所以NU3={3,4,5,6,7}.

故選：D.

(2)、(2022?北京順義?二模)己知集合/=卜卜2＜工＜1},8={x|x＜0},則力口2=.

【答案】{木＜1}

【解析】

【分析】

利用并集概念及運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】

在數(shù)軸上畫(huà)出兩集合，如圖:

A

X

ADB=[x\-2<x<l}u{x|x<0}={x|x<1}.

故答案為：{小<1}

【變式訓(xùn)練1-1】、（2023?上海松江??？寄M預(yù)測(cè)）已知集合/={-14,3},8={1,3,5},則/口2=

【答案】{T,1,3,5}

【分析】由集合的并集的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?={T」,3},5={1,3,5},

則NU2={-11,3,5}.

故答案為：{T,1,3,5}

【變式訓(xùn)練1-2】、（2022秋?江西景德鎮(zhèn)高一統(tǒng)考期中）集合/={x|0<x<8},8=[g<x41。1,則/=

（）

A.|x|^-<x<81B.1x|0<x<10j

C.-^x|<x<8j-D.卜

【答案】B

【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算可得答案.

【詳解】因?yàn)?={x[0<x<8},5=|x||<x<ioj,所以/u8={x|0<xW10}.

故選：B.

（二）、集合的交集

例2.（1）、（2023春?北京順義,高二牛欄山一中校考階段練習(xí)）已知集合/={1,2,3,4},5={x|x>2）,貝|

/口3=（）

A.0B.{3,4}C.{2,3}D.（2,4）

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】因?yàn)?={1,2,3,4},B=[x\x>2],

所以/n8={3,4},

故選：B.

（2）、（2022秋,山東德州,高一校考階段練習(xí)）已知集合/=,，-2元-3=0},5={尤|辦-4=0},若

4CB=B,則實(shí)數(shù)。的所有可能值的集合是.

【答案】1°，一4，：}

【分析】利用=8可得到8=/,化簡(jiǎn)集合A,然后分別對(duì)。=0和a*0進(jìn)行討論，即可得到答案

【詳解】解：因?yàn)閦n8=3,所以5①力，

因?yàn)?={x|——2x—3=0}={-1,3},5=|tzx—4=Oj,

所以當(dāng)a=0時(shí)，B={x\-4=O}=0^A,滿(mǎn)足題意；

當(dāng)aw0時(shí)，則8={x|QX_4=0}={x|x=,

444

由BqZ可得一二—1或一=3,解得。=—4或a=；,

aa3

所以實(shí)數(shù)0的所有可能值的集合

故答案為：|o,-4,—j

【變式訓(xùn)練2-1】.（2022秋?廣西桂林?高一校考階段練習(xí)）（多選題）若集合4={-1,2,3,4}，3={1,2,3,5},

則（）

A.={2,3}B.={-1,1,2,3,4,5）

C.A=BD.A^B=A\jB

【答案】AB

【分析】利用集合的交并運(yùn)算與子集的概念，對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】對(duì)于AB,因?yàn)?={-1,2,3,4},5-{1,2,3,5},

所以4cB={2,3},ZU8={-M,2,3,4,5},故AB正確;

對(duì)于C,因?yàn)開(kāi)le/,但所以N=8不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)AB易知NcBwNuB,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

【變式訓(xùn)練2-2].(2023春廣西南寧高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知集合/=何3Vx<5},集合8=何4<x<6},

則/n八()

A.(3,6)B.[3,6)C.(4,5]D.(4,5)

【答案】D

【分析】根據(jù)交集的概念求解即可.

【詳解】因?yàn)?=艮5),8=(4,6),

所以/c3=(4,5),

故選：D.

(三)、集合的補(bǔ)集

例3.(1)、(2022秋?上海靜安?高一?？计谥?設(shè)全集U=R,集合/={小-2>0},則。/=.

【答案】(-8,2]

【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)運(yùn)算，結(jié)合已知條件直接求解即可.

【詳解】根據(jù)已知條件可得：^A={x\x<2}=(-^,2].

故答案為：(-*2].

(2)、(海南省?？谑械?地、瓊中黎族苗族自治縣瓊中中學(xué)等2校2023屆高三上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題)

設(shè)全集U={xeZ]|x|<3},集合/=尤3_%=0},則。/=()

A.{-2,0,2}B.{-2,2,3)

C.{-2,2}D.{-3,-2,2,3}

【答案】C

【分析】利用補(bǔ)集定義即可求出結(jié)果.

【詳解】t7={xeZ||x|<3}={xeZ|-3<x<3}={-2,-l,0,l,2),

/={x|X，-x=0}="|x(x-l)(x+l)=0}={-1,0,1},

年={-2,2}.

故選:C.

【變式訓(xùn)練3-1】、(2022秋?上海楊浦?高一上海市控江中學(xué)?？计谥?若全集U={0,l,2,3},集合尸={2,3},

則"尸=.

【答案】{0,1}

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念求解即可.

【詳解】解：由題意得：

因?yàn)槿?{0/23},集合P={2,3}

故6尸={0」}

【變式訓(xùn)練3-2】.(2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知集合。={x|xeN,且無(wú)45},N={2,4},8={2,3},貝I]

()

A.{1,5}B.{2}C.{0,1,5}D.{3,4}

【答案】C

【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義可求a(NUB).

【詳解】u={0』,2,3,4,5},

由題設(shè)有/U2={2,3,4},故d(/U3)={(M,5},

故選：C.

(四)、集合中的新定義問(wèn)題

解題技巧：集合中的新定義問(wèn)題

(1)緊扣“新”定義：分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題

過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

(2)把握“新”性質(zhì)：用好集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問(wèn)題的基礎(chǔ)，也

是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).

(3)遵守“新”法則：準(zhǔn)確把握新定義的運(yùn)算法則，將其轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

例4.(1)、(2022秋?福建福州?高一福州三中校考期中)(多選題)當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿(mǎn)足“如果a/eG,

則a+b,a-6,abeG,且6/0時(shí)，feG"時(shí)，我們就稱(chēng)G是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說(shuō)法：①0是任何

數(shù)域的元素；②若數(shù)域G有非零元素，則2022eG；③集合尸=卜卜=2左,左eZ｝是一個(gè)數(shù)域；④有理數(shù)

集是一個(gè)數(shù)域，⑤無(wú)理數(shù)集不是一個(gè)數(shù)域.其中正確的選項(xiàng)有（）

A.①②B.②③C.③④D.④⑤

【答案】AD

【分析】結(jié)合數(shù)域概念舉例可依次驗(yàn)證.

【詳解】對(duì)①，設(shè)aeG,有a-aeG,即OeG,故①正確；

對(duì)②，設(shè)6eG，貝1|有即leG，若leG，則1+leG，則2+leG,L,則2021+1=2022eG，故②

正確；

對(duì)③，當(dāng)。=21=4時(shí)，/=所以尸不是一個(gè)數(shù)域，故③錯(cuò)誤；

b2

對(duì)④，因?yàn)閍/e。，貝lja+da-b,a6e。，且6*0時(shí)，fe。，故④正確；

b

對(duì)⑤，若°=&,6=正，貝|。-6=0,0e。，故無(wú)理數(shù)集不是一個(gè)數(shù)域，⑤正確.

故選：AD

（2）、（2022秋?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期中）某城市數(shù)、理、化競(jìng)賽時(shí)，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,

25名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，其中參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽的有7名，只參加數(shù)、物

兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名.若該班學(xué)生共有51名，則沒(méi)有

參加任何競(jìng)賽的學(xué)生共有（）名

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】畫(huà)出圖，由題意求出分別單獨(dú)參加物理、數(shù)學(xué)和化學(xué)的人數(shù)，即可求出參賽人數(shù)，進(jìn)而求出沒(méi)有

參加任何競(jìng)賽的學(xué)生.

【詳解】畫(huà)三個(gè)圓分別代表數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的人，

因?yàn)橛?6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，25名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，

參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽的有7名，只參加數(shù)、化兩科的有5名，

只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，

所以單獨(dú)參加數(shù)學(xué)的有26-（6+7+5）=8人，

單獨(dú)參加物理的有25-（6+7+8）=4人，單獨(dú)參加化學(xué)的有23-（5+7+8）=3,

故參賽人數(shù)共有8+4+3+6+7+8+5=41人,

沒(méi)有參加任何競(jìng)賽的學(xué)生共有51-41=10人.

故選：D.

\、/價(jià)號(hào)

\X\丁X/IVI~J

6\/

\?Iy

【變式訓(xùn)練4-1】.(2021秋?上海黃浦?高一上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境中學(xué)校考階段練習(xí))若三個(gè)非零且互不

112

相等的實(shí)數(shù)見(jiàn)伉。滿(mǎn)足一+：=—,則稱(chēng)。,4c是調(diào)和的；若滿(mǎn)足“+c=26,則稱(chēng)。力,c是等差的.已知集合

abc

M={x\-2021<x<2021,xeZ),集合P是”的三元子集，即尸={a,b,c}=Af.若集合P中元素a,6,c既是

調(diào)和的，又是等差的，則稱(chēng)集合戶(hù)為"大境集".不同的"大境集"的個(gè)數(shù)為.

【答案】1010

【分析】由為“大境集"的定義解方程，將6全用。代換，結(jié)合尸={”,6,c}u/可求解.

[112

【詳解】聯(lián)立。b。得Q=26—c,BP--=一7=(2b-c^=bc,展開(kāi)得4/_5兒+°2=0,解

。乙2b-ccbbe

a+c=2b

得6=(或b=。(根據(jù)集合的互異性，舍去)，代入。+。=26得

貝ljp=C{xI-2021<X<2021,xeZ),

所以。為4的整數(shù)倍，且不為0,則共有20空20x2=1010個(gè)不同的〃大境集〃的個(gè)數(shù).

故答案為：1010

【變式訓(xùn)練4-2】.(2022秋?四川成都?高一校聯(lián)考期中)高一某班有學(xué)生46人，其中體育愛(ài)好者有40人，

音樂(lè)愛(ài)好者有38人，還有3人既不愛(ài)好體育也不愛(ài)好音樂(lè)，則該班既愛(ài)好體育也愛(ài)好音樂(lè)的學(xué)生人數(shù)為

()

A.26B.29C.32D.35

【答案】D

【分析】設(shè)未知數(shù)，利用容斥原理，得到方程40-x+38-x+x+3=46,解出即可.

[詳解】設(shè)既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為x,則僅愛(ài)好體育的人數(shù)為(40-x),僅愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為(38-%).

因?yàn)榧炔粣?ài)好體育又不愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為3,所以40-X+38-x+無(wú)+3=46,

解得x=35.

故選：D.

(五)、集合的運(yùn)算的綜合應(yīng)用

例5、(2023春?吉林長(zhǎng)春?高二長(zhǎng)春市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知集合/={x|-l<x<5},

8={xeZ|1<x<8j.

(1)求。/

⑵求AcB的子集個(gè)數(shù)

［答案］(1)Q/={X|XN5或xWT}

⑵8

【分析】(1)根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解；

(2)根據(jù)交集的定義求出/C8,再根據(jù)子集的定義即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?={x|-l<x<5},

所以々/={x|xN5或x4T}；

(2)5=eZ|1<x<8}={2,3,4,5,6,7},

所以/CB={2,3,4},

所以/c3的子集個(gè)數(shù)有23=8個(gè).

【變式訓(xùn)練5-1】、(2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))已知全集。=卜花<9,丁€陰，集合/={3,4,5},8={4,7,8}.求

(l)4cB；

(2)AuB；

(3)電

【答案】⑴{4}

⑵{3,4,5,7,8}

(3){0,1,2,6)

【分析】(1)根據(jù)交集概念進(jìn)行計(jì)算;

（2）根據(jù)并集概念進(jìn)行計(jì)算；

（3）先求出進(jìn)而求出答案.

【詳解】(1)4n3={3,4,5}n{4,7,8}={4}；

(2)/U8={3,4,5}n{4,7,8}={3,4,5,7,8}.

(3)U=|x|x<9,xeNj=10,1,2,3,4,5,6,7,8},

故={0,l,2,6,7,8},。8={0,1,2,3,5,6},6={(M,2,6}.

(六)、含有參數(shù)的集合的運(yùn)算的綜合應(yīng)用

例6.(2022秋?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考階