2024年北京市門豐臺區(qū)2024屆高三一模數(shù)學試卷（含答案）

第1頁/共1頁2024北京豐臺高三一模數(shù)學2024.03本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知公差為的等差數(shù)列滿足：，且，則（）A. B.0 C.1 D.23.已知雙曲線（）的離心率為，則（）A.2 B. C. D.4.的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.805.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C.2 D.46.按國際標準，復印紙幅面規(guī)格分為A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，…等來標記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標準為：①A0規(guī)格紙張的幅寬和幅長的比例關(guān)系為；②將（）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為規(guī)格紙張（如圖）.某班級進行社會實踐活動匯報，要用A0規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張.共需A4規(guī)格紙張40張，A2規(guī)格紙張10張，A1規(guī)格紙張5張.為滿足上述要求，至少提供A0規(guī)格紙張的張數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.97.在平面直角坐標系中，直線上有且僅有一點，使，則直線被圓截得的弦長為（）A.1 B. C.2 D.8.已知函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習俗.在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個“半正多面體”形狀的花燈（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為2.關(guān)于該半正多面體的四個結(jié)論：①棱長為；②兩條棱所在直線異面時，這兩條異面直線所成角的大小是60°；③表面積為；④外接球的體積為.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③ C.②④ D.③④10.已知數(shù)列滿足則（）A.當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B.當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C.當時，存在正整數(shù)，當時，D.當時，對于任意正整數(shù)，存在，使得第二部分（非選擇題110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11._________.12.在中，若，，，則_________.13.已知是拋物線的焦點，，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為__________.14.已知函數(shù)具有下列性質(zhì)：①當時，都有；②在區(qū)間上，單調(diào)遞增；③是偶函數(shù).則________；函數(shù)可能的一個解析式為_________.15.目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運載工具.其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時將人造天體送入預定軌道.現(xiàn)有材料科技條件下，對于一個級火箭，在第級火箭的燃料耗盡時，火箭的速度可以近似表示為，其中.注：表示人造天體質(zhì)量，表示第（）級火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量.給出下列三個結(jié)論：①；②當時，；③當時，若，則.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（本小題14分）如圖，在直三棱柱中，，為中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.17.（本小題14分）已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，，求的值.18.（本小題13分）某醫(yī)學小組為了比較白鼠注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健康白鼠做試驗.將這20只白鼠隨機分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物A，第2組注射藥物B.試驗結(jié)果如下表所示.皰疹面積（單位：）第1組（只）34120第2組（只）13231（Ⅰ）現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于的概率；（Ⅱ）從兩組皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機選取3只抽血化驗，求第2組中被抽中白鼠只數(shù)的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）用“”表示第組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)，“”表示第組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)（），寫出方差，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）19.（本小題14分）已知橢圓（）的焦距為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的周長為16.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為.是否存在定點，使得？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.

20.（本小題15分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線為，記.（Ⅰ）當時，求切線的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)的零點并證明；（Ⅲ）當時，直接寫出函數(shù)的零點個數(shù).（結(jié)論不要求證明）21.（本小題15分）已知集合（，），若存在數(shù)陣滿足：①；②.則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個“好數(shù)陣”.（Ⅰ）已知數(shù)陣是的一個“好數(shù)陣”，試寫出，，，的值；（Ⅱ）若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；（Ⅲ）判斷是否為“好集合”.若是，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由.

參考答案第一部分（選擇題共40分）題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案ACBADCDABD第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11） （12）（13）3（14），（答案不唯一） （15）=2\*GB3②=3\*GB3③注：（15）題給出的結(jié)論中有多個符合題目要求．全部選對得5分，不選或錯選得0分，其他得3分．三、解答題共6小題，共85分。（16）（本小題14分）解：（Ⅰ）證明：連接，設，連接，zyx在三角形中，、分別為、的中點，zyx所以∥．因為平面，平面，所以∥平面．…4分（Ⅱ）選擇條件①：在直三棱柱中，底面，所以，，因為，，所以面，所以．如圖建立空間直角坐標系，因為，所以．因為為中點，所以．易知是平面的法向量．在平面內(nèi)，．設是平面的法向量，因為，，所以，，即，取，得，所以．因為，因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．選擇條件②：在直三棱柱中，底面，所以．因為，所以，因為為中點，所以，所以，所以．因為底面，故可如圖建立空間直角坐標系．以下同解法1． ………………14分（17）（本小題14分）解：（Ⅰ）因為，所以． ………………4分（Ⅱ）因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以．因為，所以，即，所以． ………………14分（18）（本小題13分）解：（Ⅰ）設事件C=“被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2”，則． ………………4分（Ⅱ）的可能取值為1,2,3.，，，所以的分布列如下：123P． ………………11分（Ⅲ）． ………………13分（19）（本小題14分）解：（Ⅰ）由題意得解得所以橢圓的方程為． ………………5分（Ⅱ）若存在定點D，使得，等價于以為直徑的圓恒過定點．當直線的斜率不存在時，為直徑的圓的方程為①，當直線的斜率為0時，令，得，因此為直徑的圓的方程為②．聯(lián)立①②得猜測點的坐標為．設直線的方程為，由得．設，則．所以綜上，存在定點D，使得． ………………14分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，當時，；，；故切線l的方程為． ………………5分（Ⅱ），．解法1：令，則．當時，，，故，，因此，當時，單調(diào)遞減，；當時，，，故，，因此，當時，單調(diào)遞增，；綜上，恒成立，也就是恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又因為，故函數(shù)有唯一零點．且當時，；當時，；因此當時，；當時，；故；解法2：，令，則．當時，，，，故，因此，當時，單調(diào)遞減，；當時，，，，故，因此，當時，單調(diào)遞增，；綜上，恒成立，也就是恒成立，以下同解法1． ………………13分（Ⅲ）2． ………………15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）解： ． ………………4分（Ⅱ）證明：當集合為“好集合”時，設是的一個“好數(shù)陣”，構(gòu)造數(shù)陣：，記為．因為T是“好數(shù)陣”，所以當時，，且．因為，所以也是的一個“好數(shù)陣”，一方面，因為，所以.另一方面，假設，因為所以，所以，與矛盾，所以，故集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個； ………………9分（Ⅲ）假設是集合的一個“好數(shù)陣”由題意