還原法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用

還原法是以新數(shù)為基礎(chǔ)，按運(yùn)算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法也被稱為逆推法。在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，采用還原法進(jìn)行訓(xùn)練，能夠幫助學(xué)生在潛移默化中提高自身的解題能力和邏輯思維能力，對(duì)學(xué)生日后成長發(fā)展大有裨益。因此，教師應(yīng)及時(shí)轉(zhuǎn)變自身教育理念，重視還原法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透，幫助學(xué)生梳理解題思路，在解題中感受數(shù)學(xué)的魅力，探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的潛在規(guī)律，實(shí)現(xiàn)他們核心素養(yǎng)的生成與發(fā)展。一、還原法闡述數(shù)學(xué)還原法是一種利用數(shù)學(xué)規(guī)則和方法，通過已知問題逆向推導(dǎo)求出答案的便捷計(jì)算方法。通俗而言，還原法就是在知道一個(gè)數(shù)的變化過程和最后的結(jié)果后，運(yùn)用逆向思維，解答還原問題，求得原來的數(shù)。例如：小明、小紅、小麗三個(gè)人各有一些漫畫書，小明給小紅三本，小紅給小麗五本，此時(shí)三個(gè)人的本數(shù)同樣多。求：小紅原來比小麗多幾本漫畫書？在這道問題中，包含了多個(gè)主語，而且數(shù)量發(fā)生了一定的變化。要想解決這一問題，應(yīng)該考慮對(duì)兩個(gè)對(duì)象分別進(jìn)行倒推，從而求出數(shù)值。倘若按照常規(guī)方法計(jì)算，此類問題需耗費(fèi)較長時(shí)間，且容易使學(xué)生陷入思維誤區(qū)，被題目中的各項(xiàng)信息所干擾。因而，還原法這種通過已知條件，從后向前推算出結(jié)果的解題方法，能夠幫助學(xué)生利用互逆關(guān)系輕松突破重點(diǎn)難點(diǎn)，快速求得答案［1］。二、還原法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用策略通過對(duì)還原法的解讀可知，還原即為逆向推理，在實(shí)際解題教學(xué)中如何滲透還原法已成為廣大教師所共同關(guān)注的一個(gè)問題。筆者結(jié)合多年實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)還原法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行總結(jié)，并提出合理化建議，以供廣大教師借鑒參考。（一）單個(gè)對(duì)象，循序漸進(jìn)“單個(gè)”即為一個(gè)、單一。此類問題是還原法解題中的基礎(chǔ)性問題，題干中有且只有一個(gè)主語，且數(shù)量不變，最終所求的對(duì)象還是這個(gè)主語的總量。在面對(duì)此部分題目時(shí)，教師應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，指導(dǎo)學(xué)生解讀關(guān)鍵題目信息，理清思路，而后再運(yùn)用還原法解決問題［2］。以蘇教版六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘法》課題為例，有典型題目：文具店老板采購了一批文具，第一次老板將文具總數(shù)的1/2出售給客戶，客戶使用后覺得產(chǎn)品質(zhì)量很好，又在老板處購買了剩下文具的1/2和另外的二十套，第三次，老板將剩余文具的1/2少了5套賣給另一名顧客，此時(shí)文具店還剩余30套文具，求文具店老板一共采購多少套文具？面對(duì)這一問題，許多學(xué)生被購買的數(shù)量以及購買次數(shù)等復(fù)雜的線索困擾，理不清頭緒。在還原法的指導(dǎo)下，教師可以按照分析主語—列舉流程—繪制流程圖—逆向倒推的步驟進(jìn)行解題講解。1.分析主語教師帶領(lǐng)學(xué)生朗讀題目線索，并提出問題：“同學(xué)們，這道問題讓我們求的是什么？”在問題的指引下，學(xué)生細(xì)致閱讀題目信息，通過線索1：文具店采購一批文具；線索2：第一次出售；線索3：第二次出售；線索4：第三次出售，分析并整理出主語線索?？偨Y(jié)：問題求“文具總數(shù)”，且此道問題主語應(yīng)為“文具”，其中數(shù)量與采購人員不論如何變化，最終所求總量仍舊不變。2.列舉流程在主語分析明確后，學(xué)生已經(jīng)掌握了本道題目的大致方向。為使學(xué)生能夠解決這一問題，并梳理思路，教師應(yīng)帶領(lǐng)大家反復(fù)咀嚼題干內(nèi)容，以談話的方式分析整道題目的流程。第一步：確定事件，即為文具店老板采購一批文具。第二步：整理線索，題中分別闡述了文具店老板三次出售文具的經(jīng)過。第一次，老板出售了總數(shù)的1/2，第二次出售第一次剩余總數(shù)的1/2又多20套，第三次又將第二次剩余總數(shù)的1/2少5套出售。在流程列舉完畢后，學(xué)生心中已經(jīng)有了大體的計(jì)算步驟。3.繪制流程圖“數(shù)形結(jié)合”顧名思義是在數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上采用數(shù)學(xué)圖形的模式進(jìn)行解析，使數(shù)學(xué)問題變得更加簡單的一種學(xué)習(xí)方法。在流程列舉完畢后，為幫助學(xué)生梳理思路，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，帶領(lǐng)學(xué)生繪制流程圖，為后續(xù)還原解題做好準(zhǔn)備：上述流程圖中淺色箭頭表示常規(guī)計(jì)算流程，深色箭頭則表示根據(jù)已知結(jié)果和變化量進(jìn)行逆向倒推的步驟。4.逆向倒推在流程圖繪制完畢后，許多學(xué)生無法理解為何要將符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。這時(shí)教師應(yīng)有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，從前向后進(jìn)行計(jì)算即為傳統(tǒng)流程，但從后向前推導(dǎo)意為將傳統(tǒng)計(jì)算流程翻轉(zhuǎn)，所以變加為減、變減為加、變除為乘。最后，通過計(jì)算得出文具總數(shù)量為280套。如上，面對(duì)單個(gè)對(duì)象題目時(shí)，教師應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生按照具體步驟進(jìn)行解析，從而掌握還原法的核心，提高自身解題效率。（二）多個(gè)對(duì)象，明確關(guān)系區(qū)別于單個(gè)對(duì)象，多個(gè)對(duì)象代指題目中的主語同時(shí)發(fā)生變化，并且總量較多，所求對(duì)象也不止一個(gè)。此類題目具有一定的難度，涉及多個(gè)量之間的關(guān)系，因而教師需要做的是，首先引導(dǎo)學(xué)生明確各變量之間的關(guān)系，從而梳理思路，完成還原計(jì)算。以蘇教版六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)除法》課題為例，有典型例題如下：有甲、乙兩桶油，從甲桶倒出1/3給乙桶后，又從乙桶中倒出了1/5給甲桶，這時(shí)兩個(gè)桶中的油各有24千克，求原來甲、乙兩桶中各有多少千克的油？面對(duì)此類問題時(shí)，教師首先帶領(lǐng)學(xué)生仿照單個(gè)對(duì)象題目的計(jì)算思路，梳理題目線索，并找到關(guān)鍵主語。通過觀察已知本道題目中的主語為甲、乙兩桶油，最終求這兩個(gè)桶中原有油的質(zhì)量。這種多個(gè)對(duì)象的還原應(yīng)用題涉及多個(gè)量之間的關(guān)系，教師應(yīng)基于學(xué)生的思維能力，帶領(lǐng)其共同梳理還原步驟。共有48kg甲桶現(xiàn)有24kg向乙桶倒油后還剩：48-30＝18kg也就是向乙桶倒油后的量1－images/BZ_51_1451_2511_1481_2598.png＝images/BZ_51_1525_2513_1555_2598.png→向乙桶倒油前的油量：18÷images/BZ_51_1939_2513_1968_2598.png＝27（kg）↑↓乙桶現(xiàn)有24kg也就是向甲桶倒油前的1－images/BZ_51_446_2821_471_2904.png＝images/BZ_51_516_2819_544_2904.png→倒油前的油量：24÷images/BZ_51_1150_2784_1178_2868.png＝30（kg）原來的油量：48－27＝21（kg）通過步驟的還原，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生明確此類題目的解法應(yīng)遵循：求的是原來的數(shù)量，那么現(xiàn)在的數(shù)量必須要還原，即“得到的必須減去，失去的必須加上”這一原則。在教師的指引下，學(xué)生能夠快速掌握多個(gè)對(duì)象的還原解題方法，切實(shí)提高自身解題能力。通過經(jīng)典例題的引入，能夠促使學(xué)生效仿在例題講解中教師所提供的思路，在明確各變量之間的關(guān)系后，利用還原法進(jìn)行計(jì)算求解，得出答案。如上，面對(duì)較為困難的多個(gè)對(duì)象還原求解，教師應(yīng)首先指導(dǎo)學(xué)生明確各數(shù)量之間的關(guān)系，其次利用還原法進(jìn)行計(jì)算，轉(zhuǎn)換思考角度，找到新的思路和方法，突破傳統(tǒng)思維模式的桎梏，逐漸形成屬于自己的解題思路。（三）定變結(jié)合，確定核心“不同對(duì)象”即為應(yīng)用題中的主語不止一個(gè)。當(dāng)題目中的多個(gè)對(duì)象既有定量又有變量時(shí)，許多學(xué)生就會(huì)無從下手，不知如何應(yīng)對(duì)。這時(shí)，教師應(yīng)以“核心”為抓手，引導(dǎo)學(xué)生通過細(xì)致觀察閱讀，找出題目中的定量與變量關(guān)系，使得問題解決的思路更加有章可循。以蘇教版六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)除法》課題為例，有經(jīng)典例題如下：王師傅裝配件，經(jīng)過測量知道零件和箱子共重102千克，上午小劉取走了1/2零件，下午小張又取走了剩下零件的1/2，最后零件和箱子的重量是27千克，請(qǐng)求出這箱零件最初的重量。結(jié)合此題目，教師首先帶領(lǐng)學(xué)生共同閱讀題目信息，并思考主語是誰。在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生給出題目中“零件”是主語這一回答。根據(jù)大家所給出的答案，教師再次為學(xué)生讀題，強(qiáng)調(diào)零件以及箱子的重量，并使學(xué)生確定核心主語。接下來，利用還原法解決此題，教師應(yīng)進(jìn)一步地梳理題目中“定量”與“變量”的相關(guān)信息，分析并總結(jié)：零件的重量屬于變量，而箱子的重量不變，屬于定量。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生已經(jīng)理清了此道題目的重點(diǎn)與核心，并嘗試根據(jù)還原法做出如下推測：目前已知箱子與零件的重量為102千克，由于箱子的重量是不變的，因此，重量的變化是由已經(jīng)拿走的零件所引起的，回推102－27＝75，即代表零件被拿走了75千克，由題意可知75千克為零件總數(shù)量的3/4，因此得出原有零件數(shù)量為100千克，則箱子的重量為2千克。如上，通過核心因素的確定，能夠幫助學(xué)生掌握、挖掘題目中所蘊(yùn)含的隱藏信息的技巧，更好地應(yīng)對(duì)定量與變量結(jié)合的復(fù)雜題目。與此同時(shí)為防止大家在計(jì)算過程中出現(xiàn)失誤，教師也可以在實(shí)際教學(xué)中為學(xué)生普及示意圖的繪制方法，引導(dǎo)學(xué)生通過更加直觀的形式表達(dá)定量與變量之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)逆向思維的形成與發(fā)展。（四）還原推導(dǎo)，驗(yàn)證答案德國物理學(xué)家勞厄曾說過：“教育重要的不是獲得知識(shí)，而是發(fā)展思維能力，教育無非是將一切已學(xué)過的東西都遺忘時(shí)所剩下來的東西?！边€原法在解題過程中是需要利用已知條件進(jìn)行逆向推理，當(dāng)學(xué)生利用還原法得出結(jié)果后，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生再次利用還原法對(duì)所求答案進(jìn)行驗(yàn)證，檢驗(yàn)自己在還原計(jì)算中是否存在疏漏，進(jìn)而逐漸形成良好的反思與檢查習(xí)慣［3］。以蘇教版六年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略》課題為例，有經(jīng)典例題如下：小紅、小麗、小剛?cè)齻€(gè)人共有人民幣168元，第一次小紅拿出與小麗同樣的錢數(shù)給小麗，第二次，小麗拿出與小剛相同的錢數(shù)給小剛，第三次，小剛拿出這時(shí)與小紅相同的錢數(shù)給小紅。這時(shí)三人的錢數(shù)恰好相等，原先小紅比小麗多多少元？當(dāng)學(xué)生求出答案為28元后，教師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)答案進(jìn)行還原推導(dǎo)：最后每人的錢數(shù)是：168÷3＝56（元），第二次拿完之后，小紅有：56÷2＝28（元）、小剛有：56＋28＝84（元）、小麗有：56元；第一次拿完之后，小剛有：84÷2＝42（元）、小麗有：56＋42＝98（元）、小紅有：28元；