復變函數(shù)與積分變換課件第八章拉氏變換

在通常意義下，F(xiàn)ourier變換存在的條件需要函數(shù)f(t)在(-,+)上絕對可積.很多常見的初等函數(shù)(例如常數(shù)函數(shù)、多項式函數(shù)、正弦與余弦函數(shù)等)都不滿足這個要求.另外，很多以時間t為自變量的函數(shù)，當t<0時，往往沒有定義，或者不需要知道t<0的情況,此時可以認為當t<0時,f(t)0.于是Fourier變換的表達式為第八章Laplace變換但是仍然需要f(t)在上絕對可積的條件.對定義在上的函數(shù)f(t),如果考慮那么容易滿足在上絕對可積的要求.例如為常數(shù)、多項式、正弦與余弦函數(shù)等,這是因為時,是衰減速度很快的函數(shù).如果取得適當大，那么的Fourier變換可能有意義.的Fourier變換為將記為s,可寫成這就是本章要討論的Laplace變換,它放寬了對函數(shù)的限制,使之更適合某些工程實際,且仍然保留Fourier變換中許多好的性質(zhì),在某些工程問題中更實用、更方便.1Laplace變換的定義

2周期函數(shù)和d函數(shù)的Laplace變換§8.1

Laplace變換的概念定義8.1設在上有定義,并且積分(s是復參變量)關(guān)于某一范圍s收斂，則由這個積分確定的函數(shù)稱為函數(shù)的Laplace變換,

并記做即8.1.1Laplace變換的定義的像函數(shù)，

稱為稱為的像原函數(shù).

已知是的Laplace變換，則記

并稱為的Laplace逆變換.因為在Laplace變換中不必考慮時的情況，所以經(jīng)常記作

例8.1求單位階躍函數(shù)的Laplace變換.根據(jù)Laplace變換的定義，當時，

例8.2求指數(shù)函數(shù)(其中a是實數(shù))的Laplace變換.

這個積分當時收斂，且所以根據(jù)Laplace變換的定義內(nèi)分段連續(xù),并且當時,

的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)和使得在

上，

在定理8.1設函數(shù)的任何有限區(qū)間則在半平面上，

存在,且

是s的解析函數(shù),其中稱為的增長指數(shù).

Laplace變換存在定理

定理8.2如果在處收斂，則這個積分在

上處處收斂,且由這個積分確定的函數(shù)

在上解析；如果在處發(fā)散,則這個積分在上處處發(fā)散.

類似于冪級數(shù)中，有下面定理.根據(jù)定理8.2，存在實數(shù)s(或是

)使得在上,積分收斂,而在上，積分處處發(fā)散.在收斂區(qū)域內(nèi)，Laplace變換的像函數(shù)

是s的解析函數(shù).

O實軸虛軸s例8.3求的Laplace變換.

Laplace變換存在，且

于是類似可得

因為故在

上，例8.4求的Laplace變換.

解如果a是正整數(shù)m,則由分部積分法,易求得方法,可求出當不是正整數(shù)時,利用復變函數(shù)論的其中是G函數(shù).設是以T為周期的函數(shù),即且在一個周期內(nèi)分段連續(xù)，則令則8.1.2周期函數(shù)和d函數(shù)的Laplace變換

而當時，所以于是這就是周期函數(shù)的Laplace變換公式.

例8.5求全波整流函數(shù)的Laplace變換.

所以由的周期tf(t)o包含單位脈沖函數(shù)積分理解為廣義函數(shù)下如果滿足Laplace變換存在條件的函數(shù)在處有界時，積分

的下限取或不影響其結(jié)果.如果在處的積分時，取與是不同的.因為如果在附近有界或在通常意義下如果在處包含了單位脈沖函數(shù)時,則即因此把上定義的函數(shù)延拓到上,

即可積時，并且把Laplace變換定義為例8.6求單位脈沖函數(shù)的Laplace變換.

解因為所以例8.7求的Laplace變換(其中為單位階躍函數(shù)).

由Laplace變換的定義，當時，

1線性性質(zhì)

3像函數(shù)的微分性質(zhì)

6位移性質(zhì)

5像函數(shù)的積分性質(zhì)

2微分性質(zhì)

4積分性質(zhì)

7延遲性質(zhì)

10卷積定理

9初值和終值定理

8相似性質(zhì)

§8.2

Laplace變換的性質(zhì)以下假定所考慮的Laplace變換的像原函數(shù)都滿足存在定理的條件.(1)線性性質(zhì)

設a,b是常數(shù)，則由Laplace變換的定義及積分的線性性質(zhì)可證.(2)微分性質(zhì)

設則證明根據(jù)Laplace變換的定義和分部積分公式推論對正整數(shù)n,有特別地，當時，在這個性質(zhì)中，要求存在且滿足Laplace

變換存在定理的條件()例8.8求的Laplace變換.

解因為所以使用同樣方法，可得參見例8.3,與這里方法不同

根據(jù)和線性性質(zhì)例8.9求的Laplace變換.

解根據(jù)線性性質(zhì)與利用也可以求出當m是正整數(shù)時，參見例8.4

事實上,設則因為所以于是(3)像函數(shù)的微分性質(zhì)

設則一般地，對正整數(shù)n,有證明對解析函數(shù)求導,右端求導時可在積分號下進行，即得.例8.10求的Laplace變換.

使用同樣方法，可得根據(jù)與(4)積分性質(zhì)

設則證明設則故由于是結(jié)論得證.一般地，對n次積分有(5)位移性質(zhì)

設則其中是的增長指數(shù).

證明根據(jù)定義，有例8.11求和故根據(jù)使用同樣方法，可得

由例8.12求使用同樣方法，可得

根據(jù)與(6)像函數(shù)的積分性質(zhì)

設且存在，積分

收斂，則

證明根據(jù),u取在正實軸從s到則推論如果像函數(shù)積分性質(zhì)的條件滿足,且積分收斂，則事實上，對于像函數(shù)積分性質(zhì)令即可.

例8.13求的Laplace變換，并求積分解由已知故根據(jù)再利用(7)延遲性質(zhì)

設若當時,則對任何非負實數(shù)t,有證明根據(jù)定義因為當t<0時,所以在上,有從而Ottf(t)f(t-t)利用單位階躍函數(shù)可以將寫成例8.14求如圖所示階梯函數(shù)的Laplace變換.解法1利用Heaviside函數(shù)圖中的函數(shù)可表示為因為所以由4A3A2AAt2t3ttf(t)O再注意到于是解法2

則是以t為周期的函數(shù),由(8)相似性質(zhì)

設則其中證明根據(jù)定義故例8.15求和實際上,由可直接得到結(jié)論.又由于故由和

因為所以(9)初值定理和終值定理

初值定理

則

設且存在,終值定理

設且的所有奇點都在s平面的左半部，則下面介紹Laplace變換的卷積性質(zhì)—卷積定理.Laplace變換的卷積性質(zhì)不僅能用來求出某些函數(shù)的Laplace逆變換,而且在線性系統(tǒng)的研究中起著重要作用.因為在Laplace變換中,總認為t<0時像原函數(shù)恒為零.因此,與的卷積為卷積定理

設和滿足Laplace變換存在的條件，即存在和使得如果則或例8.16設利用卷積定理證明Laplace變換的積分性質(zhì)證明設則于是應用卷積定理可求某些Laplace逆變換.例8.17求并證明故根據(jù)因為根據(jù)則由例8.18若求

令則故根據(jù)及，有例8.19求

因為故由，例8.20設求

由因此，根據(jù)§8.3Laplace逆變換由例8.17—例8.20可見,應用Laplace變換的性質(zhì),特別是卷積定理，能夠解決某些Laplace逆變換問題.但是當比較復雜時,僅用前面的方法是不夠的.因此,本節(jié)給出Laplace逆變換積分表達式，應用復變函數(shù)論中的留數(shù)理論作為工具，給出一種較一般的方法.已知在收斂域內(nèi)解析,但并不是所有解析函數(shù)都是某一函數(shù)的Laplace變換像函數(shù).例如，由初值定理可以看出,多項式不存在Laplace逆變換.由,這實際上是存在Laplace逆變換的必要條件.另外，函數(shù)的Laplace變換實際上就是的Fourier變換.因此,當滿足Fourier積分定理的條件時,根據(jù)Fourier積分公式,在連續(xù)點處在等式兩端同乘以故當t>0時,令則其中是的增長指數(shù).積分路徑是在右半平面上的任意一條直線這就是Laplace逆變換的一般公式,稱為Laplace變換的反演積分.這是復變函數(shù)的積分,在一定條件下,可利用留數(shù)來計算.定理8.3設是的所有孤立奇點(有限個)，除這些點外,處處解析,且存在當時,

其中是的實函數(shù),且

選取使所有孤立奇點都在內(nèi),則當時，

利用留數(shù)求Laplace逆變換的公式例8.21求的Laplace逆變換.

解是

的1級極點，

由計算留數(shù)的法則，例8.22求的Laplace逆變換.

解和2級極點.和分別是

的1級故由計算留數(shù)的法則例8.23求解和分別是

的3級和2級極點.故由計算留數(shù)的法則當是有理函數(shù)時,可把它化為部分分式

再求逆變換，一般來說這樣更為方便.例8.24求的Laplace逆變換.解法1

和分別是

的1級和3級極點，

故由計算留數(shù)的法則解法2

可分解為形如

可以求得因為所以到目前為止,已介紹了多種求Laplace逆變換的方法.例如:利用卷積定理;利用留數(shù)定理;利用部分分式等.在使用時,應該根據(jù)具體情形采用簡便的方法.有時也可以利用Laplace變換的一些基本性質(zhì).在以上方法中，除利用留數(shù)定理之外,都需要知道一些最基本的Laplace變換的像函數(shù)和像原函數(shù).例8.25求解因為所以§8.4Laplace變換的應用Laplace變換在線性系統(tǒng)的分析和研究中起著重要作用.線性系統(tǒng)在許多場合，可以用線性常微分方程來描述.這類系統(tǒng)在電路原理和自動控制理論中，都占有重要地位.方程和方程組特解的方法.下面首先介紹利用Laplace變換求線性常微分像原函數(shù)(常微分方程的解)像函數(shù)常微分方程像函數(shù)的代數(shù)方程Laplace逆變換Laplace變換解代數(shù)方程基本思路例8.26求常系數(shù)線性微分方程的初值問題的解.解設是初值問題解的Laplace變換的像.對方程兩邊進行Laplace變換，根據(jù)和初值條件,利用及因為所以