2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷附參考答案三

2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷(三)

一、單選題

1.已知集合力={xGR\x2-2x-3<0},B={x&R\\x-2\>1},則4Cl(CRB)=()

A.(1,3]B.[1,3]C.[1,3)D.(1,3)

2.若復(fù)數(shù)z=。萼(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()

A.(—co,1)B.(―1,1)C.[—1,1]D.(—1,+co)

3.在遞增等比數(shù)列{即}中，a3=4,且3a5是&6和a7的等差中項(xiàng)，則的。=()

A.256B.512C.1024D.2048

4.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(2+x)+f(2-x)=0,/(x+1)為偶函數(shù)且/(I)=1,則

/(2023)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.多年來，網(wǎng)絡(luò)春晚一直致力于為本土市民“圓春晚夢”，得到了廣大市民的認(rèn)可.某市2023年網(wǎng)

絡(luò)春晚海選如期舉行，該活動總共分為海選、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段，參賽選手通過決賽后將參加該

市2023年網(wǎng)絡(luò)春晚.已知甲、乙、丙三人組成一個(gè)小組，假設(shè)在每一輪比賽中，甲、乙、丙通過的

概率依次為1|，|，假設(shè)他們之間通過與否互不影響，則該小組三人同時(shí)進(jìn)入決賽的概率為

433

()

A.gB.gC.1D-1

6.已知雙曲線C：l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn)2,A是雙曲線C的左頂

點(diǎn)，以FI「2為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P,Q兩點(diǎn)，且而?瓶=-4a2,則雙曲線C

的離心率為()

A.V2B.V3C.VsD.2

(x<3,

7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件[x+y>0,則-2yl的最大值是()

lx-y4-2>0,

A.5B.6C.7D.9

8.已知某離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：

X-1012

Pabc—

III|3|

若E（X）=率P（X21）=5，則。（X）=（）

A.||B.|C.D.|

9.為弘揚(yáng)中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某地教育局決定舉辦“經(jīng)典誦讀”知識競賽.競賽規(guī)則：參賽學(xué)生從

《紅樓夢》《論語》《史記》這3本書中選取1本參加有關(guān)該書籍的知識競賽，且同一參賽學(xué)校的選

手必須全部參加3本書籍的知識競賽.某校決定從本校選拔出的甲、乙等5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人

參加此次競賽.因甲同學(xué)對《論語》不精通，學(xué)校決定不讓他參加該書的知識競賽，其他同學(xué)沒有

限制，則不同的安排方法有（）種.

A.128B.132C.156D.18（）

10.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子''的稱號，用其名字命名的

“高斯函數(shù)''為：設(shè)XCR,用[制表示不超過x的最大整數(shù),貝3=㈤稱為“高斯函數(shù)”，例如：

[—2.5]=—3,[2.7]=2.已知數(shù)列｛5｝滿足的=1,a2—3,0^+2+2an=3an+i,若%=

[log2an+1],Sn為數(shù)列｛瓦）—｝的前n項(xiàng)和，則S2023=（）

A2022R202402023n2025

,202320232024,2024

11.黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”

作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國

家號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本

為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本p（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，p（x）+60%；

當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，p（x）=i（）ix+竿一1360.每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場分

析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完.欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應(yīng)為（）

A.40萬件B.50萬件C.60萬件D.80萬件

12.下列結(jié)論正確的是（）

2023

A.Iog202i2022<log2（）222023<^22

2023

B.log20222023<log20212022<冊

202?

C2022V^^20222^23<log202]2O22

2023

D，2022<"g202i2022<\og20222023

二、填空題

13.已知向量五=(1,t),5=(2,t),c=a-y1b，若石1落t>0,則方在石方向上的投影

是.

14.在壺)6的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64,則&=.

15.已知三棱錐P-ABC中，PBLnABC,AB=BC=PB=25,AC=6,則三棱錐P-ABC

外接球的體積為.

2

16.設(shè)過點(diǎn)(2,-1)的直線1與橢圓C：a+丫2=1交于乂，N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)4(0,1),若直線AM

與直線AN的斜率分別為七，k2,則如+的=.

三、解答題

17.已知函數(shù)/(%)=2百cos(x—芻cosx+2sin2%,在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,

b,c,且/(A)=3.

(1)求角A；

(2)若b=3,c=2,點(diǎn)D為BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求AD的長度.

18.為慶祝黨的二十大的勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高校在全校開展“不負(fù)韶華，

做好社會主義接班人”的宣傳活動.為進(jìn)一步了解學(xué)生對黨的"二十大''精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了

“二十大”相關(guān)知識的競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，將他們的競賽成績(滿

分為100分)分為5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的

頻率分布直方圖：

2

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=______九(以/一兒)_______其中九二a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，、

P(K2>ko)0.100.050.0250.0100.0050.001

ku2.7063.8415.0246.6357.87910.828

(1)估計(jì)這100名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(2)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競賽成績不低于70分為“優(yōu)秀”，競賽成績低于70分為“非

優(yōu)秀”.請將下面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別

有關(guān)”？(精確到0.001)

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男30

女50

合計(jì)100

19.已知四棱錐P-力BCD中，P41平面ABC。，AD||BC,BCLAB,AB=AD=^BC，BD=

V2.PD=V5.

(1)求直線PC與平面PSD所成角的正弦值；

(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使得CM1平面PBO?若存在，請指出點(diǎn)M的位置；若不存

在，請說明理由.

20.已知拋物線C：y2=2PHp>0)上的一個(gè)動點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的最小距離為1.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過焦點(diǎn)F的直線1交拋物線C于4B兩點(diǎn)，M為拋物線上的點(diǎn)，且力MF1AB,

求A/IBM的面積.

21.已知函數(shù)/(%)=xlnx+x+1.

(1)求函數(shù)/(%)的圖象在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(2)求證：/(%)<ex.

22.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，圓C的圓心坐標(biāo)為(-2,-2),且過原點(diǎn)O.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極

點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為p(cos。+sin。)=-1.

(1)求圓C的參數(shù)方程及直線1的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線1與圓C交于B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動，求aPAB面積的最大值.

23.若函數(shù)f(x)=|x-t|-2|x+3|(t>0)的最大值為5.

(1)求t的值；

(2)已知a>0,b>0,且a+2b=t,求號+%的最小值.

參考答案

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】D

12.【答案】B

13.【答案】耳要

14.【答案】3或-5

15.【答案】20VT5TT

16.【答案】-1

17.【答案】(1)解：因?yàn)?(%)=2gcos(x—*)cosx+2sin2%=2百sinxcosx+2sin2%

=V3sin2x+(1—cos2x)=V3sin2x—cos2x+1=2sin(2x一5)+1,

所以f(A)=2sin(24+1=3,所以sin(24-看)=1.

所以24—n=5+2kn,keZ,即4=亍+kn>kGZ.

OZD

又0<AV7T,所以4=苓.

(2)解：如圖所示，

-1

方法一：在△ABC中，由余弦定理可得BC?=。2=力2+c2-2bccosZB4C=9+4-12x/7,

則8。=夕.又點(diǎn)D為BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以8。=挈.

又在△ABC中，cosB=必孝二^=孑安=名，

2ac4V714

在△48。中，由余弦定理可得=BA2+BD2-2BAxBDxcosB=4+孕-2x2x竺x$=

yJ14

52

豆’

所以4。=等1

方法二：因?yàn)辄c(diǎn)D為BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以而=|亞福

等式兩邊同時(shí)平方可得麗|2=鼾前|2+』|函2+得前.而=4+2+於3x2x打制

yyyyvZy

所以?而?=空，即4。=浮?

18.【答案】(1)解：因?yàn)?0.010+0,030)x10=0.4<0,5,0.4+0.045x10=0.85>0,5,

所以競賽成績的中位數(shù)在［70,80)內(nèi).

設(shè)競賽成績的中位數(shù)為m,貝ij(m-70)X0.045+0.4=0.5,解得m*72,

所以估計(jì)這100名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)為72.

(2)解：由(1)知，在抽取的100名學(xué)生中，

競賽成績?yōu)?'優(yōu)秀”的有：100x(0.45+0.10+0,05)=100X0.6=60人,

由此可得完整的2x2列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男203050

女40105()

合計(jì)6040100

零假設(shè)Ho：競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān).

2

因?yàn)?_100x(20x10-40x30)/_100?

K--6bx4bx,50x5d一—工?16.667>6.635，

所以有99%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

19.【答案】(1)解：因?yàn)?。||BC,BC1AB,所以AD_LAB.

-1

又因?yàn)锳B=4。=^BC,BD=V2,所以48=40=1,BC=2.

因?yàn)镻A1平面ABC。，ABa^^ABCD,ACu平面ABC。，

所以24JLAB,PALAD.又PD=小,所以PZ=2m2=

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,4P所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則B(l,0,0),C(l,2,0),Z)(0,1,0),P(0,0,2).

所以麗=(1,2,-2),BD=(-1,1,0).BP=(-1,0,2).

設(shè)平面PBD的法向量為Tf=(%,y,z),

則感？=0,即{T：廠，,得[；工，

(BP-元=0J+2z=0{z=2%

令x=2,可得平面PBD的一個(gè)法向量為元=(2,2,1).

設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為氏ee[0,月，

則sin”|cos國，孫=|意制=品=今

所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為右

另解:

如圖，連接AC.因?yàn)锳D||BC,BC±AB,所以AD_LAB.

-1

因?yàn)?BD=V2）所以AB=AD=1,BC=2.

因?yàn)锽C_LAB,所以AC=y/AB2+BC2=V5.

因?yàn)镻41平面ABC。，ABu平面4BCD,ACu平面ABC。，ADu平面ABC。，

所以P/J.4B,PA1AC,PA1AD.

因?yàn)镻A=\/PD2-AD2=2，所以PC=y/AC2+PA2=3，PB=\/PA2+AB2=V5.

所以SAPBD=：XV^XJ（佝2_（芋）=|，S^BCD=2XfiCX71B=2X2X1=1,

設(shè)點(diǎn)C到平面PB。的距離為h,

由，P-BDC=C-PBD,得寺XPAXS&BCD=gXhXS&PBD，即gX2xl=gx/lX楙，解得/l=￡

設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為仇0G[0,勺，貝lJsine=4=*

所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為常

（2）解：不存在點(diǎn)M,理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M（如圖）.

可設(shè)的=4鉀=（一；I,0,24），AG[0,1],所以0,24）,

所以由=（一九-2,2/1）.

又由（1）知運(yùn)=（2,2,1）為平面PB。的一個(gè)法向量，所以而||五，

即搭=及=空，無解.

所以線段PB上不存在滿足條件的點(diǎn)M.

另解：

不存在點(diǎn)M,理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M,

由CM_L平面PBD,PBu平面PB。，BDu平面PBD,得CM1PB,且CM1BD,

因?yàn)镻41平面力BCD,BCu平面/BCD,所以PA，BC.

因?yàn)榍襊ACAB=4,P4u平面PAB,ABu平面P4B,

所以BCJ■平面PAB.又PBu平面PAB,所以BC1PB.

若存在滿足條件的點(diǎn)M,則點(diǎn)M必與點(diǎn)B重合.

又BC與BD不垂直,所以線段PB上不存在滿足條件的點(diǎn)M.

20?【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（配，y0）,由拋物線定義可知，\PF\=x0+l>l，

即當(dāng)比=0時(shí)取得等號，

故弓=1,解得p=2,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=軌.

（2）解：由（1）知F（l,0）,設(shè)做與,%）,B（X2?丫2），M（X3,乃），

若481%軸，由得M（0,0）,4（1,2）,5（1,一2）或4（1,一2）,8（1,2）,

此時(shí)不滿足所以不滿足題意；

設(shè)直線48的方程為％=my+l（mH0）,直線MF的方程為％=+l（m。0）,

如圖所示，

將x=my+1代入拋物線方程得y2—4my—4=0,4=16(m2+1)>0,

所以為+丫2=4相，?172=一4?

將％=一.y+1代入拋物線方程得y2+—4=0,所以及+一4=0①.

乃一八一_3一_1_44

直線AM的斜率為可二"—港*一方可，同理BM的斜率為可頊.

44

因?yàn)锳M_LBM,所以丁工廠?丁丁丁=T，

乃十%丫3+丫2

所以及+(71+丫2?3+丫1當(dāng)=—16，即於+4?砂3+12=0②.

由①②解得當(dāng)=三梟，將其代入①可得，4m2+4(l-m2)-(l-m2)2=0,

所以｛渡?；騼?yōu)調(diào)

當(dāng)｛j二時(shí)，直線"B的方程為4=a+1,M(3,-2A/3).\MF\=4.

因?yàn)樾蓿?滿足V—4V5y—4=0,所以丫1+丫2=4>/5，丫1丫2=-4.

2=

所以|AB|=Vl+m|yx-y2l2,(%+為)，-4yly2=2,48+16=16,

所以SA/IBM=；x\AB\x\MF\=；x16x4=32-

同理可得，當(dāng)｛；二［胃時(shí)，直線的方程為4=—Hy+l，M(3,26)，|MF|=4,

7

因?yàn)榱?，為滿足J?+4gy-4=0,所以y1+丫2=-4百，yry2=-4.

所以|AB|=Ml+m21yl-y2|=2J(yi+y2)2-4yly2=2V48+16=16，

所以SAABM=；x\AB\x\MF\=；x16x4=32，

所以△ABM的面積為32.

21.【答案】(1)解：因?yàn)閒(x)=;dnx+x+1(X〉0),所以/(x)=lnx+2，

所以/'(1)=2,又因?yàn)閒(l)=2.

所以函數(shù)/(%)的圖象在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為y-2=2(%-1),

即2x—y=0.

1絲

即+1+-<

(2)證明：要證/(x)VeL即證;dn%+x+l<e”,ilF.hnxXX

印證---

xInx----x---1>0.

令以刈=｝醍一：l(x>0)，則g'Q)=V+*=

由g'(x)=0,可得％=1,(%=0舍去)

因?yàn)楫?dāng)％>0時(shí)，ex-l>0,

所以當(dāng)0<%VI時(shí)，g'(%)VO，g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)%>1時(shí)，g'(x)>0，g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以g(%)m譏=g(l)=e-l-l=e-2>0,

所以g(%)>0,結(jié)論得證.

另解：

證明：因?yàn)?(%)=xlnx+%+1,

所以要證/(%)<ex,即證%Inx+x+1<ex,

即證％In%—ex+%+1<0.

設(shè)W(x)=xlnx—e"+x+1(%>0),

則/(%)=Inx+1—e"+1=Inx-e"+2.

令九(x)=Inx—ex+2(%>0),則九(%)=1—?*,

而函數(shù)九(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又九8)=2—&>0,h(1)=1-eV0，

故存在唯一的1),使得h'(久0)=0,即宗呼=0,即*=呼,

等式兩邊同時(shí)取對數(shù)得一In%。=x0,即ln&=-x0.

當(dāng)xE(0,?)時(shí)，h'(x)>0,在(0,%)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(右,+8)時(shí)，/i(%)<o?九(%)在(%。，+8)上單調(diào)遞減.

x

所以=h(x0)=lnx0—e°+2=—x0———+2=————<0，即W(%)<0,

x0xo

所以(p(x)在