概率知識梳理-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

概率知識梳理

1.隨機試驗的概念與特點

(1)概念：我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.例如，拋

一枚硬幣、擲一個均勻的骰子等，都可以看成.

(2)隨機試驗的特點：

①試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(可重復(fù)性)

②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(可預(yù)知性)

③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.(隨機性)

2.樣本點和樣本空間

(1)定義：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為,全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本

空間.

(2)表示：一般地，我們用Q表示樣本空間，用0表示樣本點.

(3)有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果用，02,?以，則稱樣本空間Q={例，華,…,4}

為有限樣本空間.

說明：樣本點的探求方法

(1)列舉法：把試驗的全部結(jié)果一一列舉出來.此方法適合于較為簡單的試驗問題.

(2)列表法：將樣本點用表格的方式表示出來，通過表格可以弄清樣本點的總數(shù)，以及要求的事件所

包含的樣本點數(shù).列表法適用于較簡單的試驗的題目，樣本點較多的試驗不適合用列表法.

(3)樹狀圖法：樹狀圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的一種方法，樹狀圖法便于分析樣本點

間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對于較復(fù)雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀圖法適用于較復(fù)雜的試驗的

題目.

3.隨機事件的有關(guān)概念

(1)基本事件：只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.

(2)隨機事件:我們將樣本空間Q的子集稱為隨機事件，簡稱事件,隨機事件一般用大寫字母A,B,C,表示.

(3)事件A發(fā)生：在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn).

⑷必然事件:Q作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以?？?/p>

會發(fā)生，我們稱&為必然事件.

(5)不可能事件:空集0中不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱0為不可能事件.

說明：

①必然事件和不可能事件具有確定性，在一定條件下能確定其是否發(fā)生，隨機事件是在一定條件下可

能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.當(dāng)然，條件的不同以及條件的變化都可能影響事件發(fā)生的結(jié)果，要注意從問

題的背景中體會條件的特點.

②必然事件與不可能事件不具有隨機性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的

兩個極端情形.這樣，每個事件都是樣本空間Q的一個子集.

4.事件的關(guān)系與運算

定義符號表示圖形表示

一般地，若事件A發(fā)生，則事件8一定發(fā)生，我們就稱

包含關(guān)系

事件B包含事件4(或事件A包含于事件B)(或

如果事件2包含事件A,事件A也包含事件8,即

相等關(guān)系A(chǔ)=B

且則稱事件與事件相等

A8n

一般地，事件A與事件2至少有一個發(fā)生，這樣的一個

并事件AUB

事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件8中，我

(或和事件)（或A+5）

們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)Q

一般地，事件A與事件8同時發(fā)生，這樣的一個事件中

交事件AHB

的樣本點既在事件A中，也在事件2中，我們稱這樣的

(或積事件)（或AB）

一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)Q

一般地，如果事件A與事件8不能同時發(fā)生，也就是說

互斥事件AH8是一個不可能事件，即力FI8=0,則稱事件A與事ACI5=00@

件B互斥(或互不相容)c

一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅

有一個發(fā)生，即且4Cl6=0,那么稱事件A

對立事件AAB=0

與事件B互為對立.事件A的對立事件記為了Q

說明：事件間運算的方法

(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進行

事件間的運算.

(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果

在圖中列出，進行運算.

注意：

事件A與事件B互斥是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生;對立事件是指在一次試驗中，

兩個事件不會同時發(fā)生，且必然要有一個事件發(fā)生.因此，對立事件是互斥事件的特例，對立事件一定是

互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.對立事件是對兩個事件而言的，而互斥事件是對兩個或兩個以

上事件而言的.從集合的觀點來判斷：設(shè)事件A與2所含的樣本點組成的集合分別是A,B,若A,B互

斥，則AnB=0,若A,8對立，則AnB=0,且即.互斥事件A與B的和A+

8可理解為集合AU及

5.古典概率

⑴概率的定義

對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

⑵古典概型的定義

①有限性:樣本空間的樣本點個；②等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性.

我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：和,并不是所

有的試驗都是古典概型.

下列三類試驗都不是古典概型:：

①樣本點(基本事件)個數(shù)有限,但非等可能；

②樣本點(基本事件)個數(shù)無限，但等可能；

③樣本點(基本事件)個數(shù)無限,也不等可能.

⑷古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間。包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事

件A的概率P(A)=-=22，其中n(A)和n(Q)分別表示事件A和樣本空間Q包含的.

用集合的觀點來考察事件A的概率，有利于幫助我們生動、形象地理解事件A

與基本事件的關(guān)系，有利于理解公式尸(A)=].如圖所示，把一次試驗中等可能出現(xiàn)

基本事件/事件4

的〃個結(jié)果組成一個集合/,其中每一個結(jié)果就是/中的一個元素，把含上個結(jié)果的

事件A看作含有左個元素的集合，則集合A是集合/的一個子集，故有P(A)=\

(5)古典概型的解題步驟：

①明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗的可能結(jié)果；

②根據(jù)實際問題情景判斷樣本點的等可能性；

③計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率.

5.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對任意事件A,都有P(A巨0;

性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(O)=1；P(0)=O；

性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=；

推論如果事件Ai,A2,...,Am兩兩互斥，那么事件AjUAsU...UAm發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)

生的概率之和，即P(AiUA2U...UAm)=P(Ai)+P(A2)+...+P(Am).

性質(zhì)4如果事件A與事件2互為對立事件，那么P(B)=,P(A)=;

性質(zhì)5如果AU8,那么P(A)SP(B)；

性質(zhì)6設(shè)48是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有尸(AUB)=.

說明：

(1)如何應(yīng)用互斥事件的概率加法公式

①將一個事件的概率問題分拆為若干個互斥事件，分別求出各個事件的概率，然后利用互斥事件的概

率加法公式求出結(jié)果.

②運用互斥事件的概率加法公式解題時，首先要分清事件之間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事件分拆

為幾個互斥事件，且做到不重不漏.

③常用步驟：i確定各事件彼此互斥；ii求各個事件分別發(fā)生的概率，再求其和.

(2)對立事件與尸(A)+PCB)=1的關(guān)系

①若A,8是對立事件，則P(A)+P(B)=1.

②若尸(A)+P(8)=l,則事件A和8不一定對立.例如：擲一枚均勻的骰子，記事件A為出現(xiàn)偶數(shù)點，

事件2為出現(xiàn)1點或2點或3點，則尸(A)+P(8)=3+^=1，顯然事件A與事件B不互斥，也不對立.

6.事件的相互獨立性

(1)定義:對任意兩個事件A與B,如果________________成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱

為獨立.相互獨立兩個事件的發(fā)生彼此互不影響.易知，,、竺事件可能事件0與任意事件相互獨立.

(2)性質(zhì):如果事件A與事件B相互獨立，那么A與耳,何不與B,入與B也相互獨立.

(3)判斷兩個事件是否相互獨立的方法：

①直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.

②定義法：如果事件A,8同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件2發(fā)生的概率的積，則事件

A,B為相互獨立事件.即P(AW=P(A)P(B).

推廣：

(4)w個事件相互獨立

對于"個事件4,A2,A,”如果其中任何一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則

稱”個事件4,4，…，4相互獨立.

(5)獨立事件的概率公式

①若事件48相互獨立，則尸(AB)=P(A)P(8).

②若事件事,42，…，4相互獨立，BOP(AIA2...A?)=P(AI)P(A2)...P(An).

7.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別

相互獨立事件互斥事件

事件4或B)是否發(fā)生對事件8(或A)發(fā)生的概

條件不可能同時發(fā)生的兩個事件

率沒有影響

互斥事件A,8中有一個發(fā)生，記作AU3

符號相互獨立事件A,8同時發(fā)生，記作

(或A+B)

計算公式尸(A3)=尸(A)尸(3)產(chǎn)(AUB)=P(A)+P(B)

總之，相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，是從概率的角度來定義的；而互斥事件是指

在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，是從事件本身的角度來定義的.

8.頻率與概率

(1)頻率與概率的關(guān)系:在大量重復(fù)的試驗過程中，一個事件發(fā)生的頻率會很接近于這個事件發(fā)生的概

率，而且，試驗的次數(shù)越多,頻率與概率之間差距很小的可能性越大.概率是頻率的穩(wěn)定值.

(2)頻率的穩(wěn)定性:大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨

機性.一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸

穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)大數(shù)

定律闡述了隨著試驗次教估計概率P(A).

(3)對概率的正確理解：

①概率是一個常數(shù)，是事件的本質(zhì)屬性，是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān).概率反映了事件發(fā)生的可

能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例.

②任何事件的概率都是區(qū)間［0,1］上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性，概率越接近于1,表

明事件發(fā)生的可能性就越大；反過來，概率越接近于0