2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={-1,1,2,4},8=卜卜一1歸1},則AB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

3.圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)

為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中

DD|,CG，B綜例是舉，與網(wǎng)是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

=左3.

岸。5號(hào)嗡咕兩已知勺，七次3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)

Q4的斜率為0.725,則左3=()

4.已知向量。=(3,4),〃=(1,0),。=。+仍，若<a,c>=<b,c>,貝()

A.—6B.—5C.5D.6

5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁

相鄰，則不同排列方式共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

6,若5111(。+/7)+(：05(。+夕)=2后(3051戊+?]5111#，則()

A.tan(a—尸)=1B.tan(a+/7)=l

C.tan(a—分)=_1D.tan(a+/7)=—1

7.已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為36和46，其頂點(diǎn)都在同一球面

上，則該球的表面積為()

A.lOChiB.128TIC.1447cD.19271

8.已知函數(shù)AM的定義域?yàn)镽,S.f{x+y)+-y)=/(I)=1,則

22

￡/(?=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

二、多選題

9.已知函數(shù)〃x)=sin(2x+e)(0<e<7i)的圖像關(guān)于點(diǎn)仔,0)中心對(duì)稱(chēng)，則()

A.在區(qū)間單調(diào)遞減

(兀11兀\

B.〃尤)在區(qū)間(一五，五J有兩個(gè)極值點(diǎn)

7兀

C.直線(xiàn)X是曲線(xiàn)y=/(x)的對(duì)稱(chēng)軸

D.直線(xiàn)>=立一》是曲線(xiàn)y=/(x)的切線(xiàn)

-2

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C：V=2px(p>0)焦點(diǎn)尸的直線(xiàn)與C交于A,8兩

點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)MS，。)，若IAFHAMI,則()

A.直線(xiàn)A3的斜率為2強(qiáng)B.1031=|OF|

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<1^,0°

11.如圖，四邊形ABCD為正方形，￡D_L平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,記

三棱錐E—ACD,F-ABC,尸一ACE的體積分別為匕,匕,匕，則()

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

12.若X,y滿(mǎn)足/+y2一孫=1,則()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

三、填空題

13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,〃)，>P(2<X<2.5)=0.36,則

P(X>2.5)=.

14.設(shè)點(diǎn)A(-2,3),3(0,“)，若直線(xiàn)4?關(guān)于y=a對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)與圓(x+3y+(y+2)2=l有

公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

22

15.已知直線(xiàn)/與橢圓I+J=l在第一象限交于A,8兩點(diǎn)，/與無(wú)軸，y軸分別交于

63

M,N兩點(diǎn)，且1MAl=|NB|,|MN|=2jL貝心的方程為.

四、雙空題

16.曲線(xiàn)y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的方程為,.

五、解答題

17.已知｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且-

⑴證明：%=4；

(2)求集合卜bk=an,+a^<m<500)中元素個(gè)數(shù).

18.記一ASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,6,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)

正三角形的面積依次為力邑,邑，已知百-$?+邑=曰,sinB=g.

⑴求一ABC的面積；

(2)若sinAsinC=,求b.

3

19.在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下

的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地

區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種

疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間

的概率，精確到0.0001).

20.如圖，尸。是三棱錐尸—ABC的高，PA=PB,ABLAC,E是總的中點(diǎn).

(1)證明：OE〃平面PAC；

⑵若NABO=/CBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

22

21.已知雙曲線(xiàn)C*-方的右焦點(diǎn)為歹(2,0),漸近線(xiàn)方程為y=±氐.

⑴求C的方程；

⑵過(guò)尸的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)P&,%),。(尤2，%)在C上，

且網(wǎng)>%>0,%>0.過(guò)尸且斜率為-6的直線(xiàn)與過(guò)Q且斜率為73的直線(xiàn)交于點(diǎn)M從

下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：

①M(fèi)在A8上；②尸?！ˋB；③

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

22.已知函數(shù)J(x)=xe"—

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(無(wú))的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，求。的取值范圍；

111

(3)設(shè)“eN*,證明：-rr=+1^2..++/2>ln(?+l).

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

求出集合8后可求AB.

【詳解】

B={x|0<x<2},故A3={1,2},

故選：B.

2.D

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【詳解】

(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

3.D

【解析】

【分析】

設(shè)OA=DQ=CBi=BAl=l,則可得關(guān)于k3的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

設(shè)OD、=DC、=CB]=BA=1,則CC1=k],BBX=k2,AAi=k3,

DDX+CC[+BB[+AAi

依題意，有3—K?3—?！?42,且=0.725,

40-2=OD]+DC、+CB1+BAi

所以-q=03,故-o,

故選：D

4.C

【解析】

【分析】

利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

【詳解】

/、9+3/+163+，

解：c=(3+/,4),costz,c=cosZ?,c,gp-力^二時(shí)，解得=5,

故選：C

5.B

【解析】

【分析】

利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】

因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有3!種

排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插

入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同

學(xué)共有：31x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

6.C

【解析】

【分析】

由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】

由已知得：sinacos(3+cos。sin尸+cosacos2一sinasin2=2(cosa—sincr)sin尸，

即：sinacos13—cosasinp+cosacosP+sinasin/3=0,

即：sin(a-/?)+cos(a—/)=0,

所以tan(a-4)=一1,

故選：C

7.A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑小2,再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及

球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

【詳解】

設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑、2,所以力=￡1-,即乙=3柩=4,

設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,4，球的半徑為R,所以4=，1-9,4=奴-16,

故冏一囚=1或4+4=1，即*_9々店_16卜1或7FX+VF工=1，解得尺2=25

符合題意，所以球的表面積為S=4成2=ioo兀.

故選：A.

8.A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)7'(x)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的

f(l),f(2),"⑹的值，即可解出.

【詳解】

因?yàn)椤▁+y)+/(x—y)=〃x)/(y),令x=l,y=o可得，2/(1)=/(1)/(0),所以

"0)=2,令x=o可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即/(y)=〃—y),所以函數(shù)為偶函

數(shù)，令y=l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+〃x)=/(x+l),從

而可知〃x+2)=—1),/(x-l)=-/(x-4),M/(x+2)=/(x-4),即

/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃x)的一個(gè)周期為6.

因?yàn)椤?)=/⑴-"0)=1-2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/。)+/(2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡〃左)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.

k=l

故選：A.

9.AD

【解析】

【分析】

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出.

【詳解】

2兀=sin(F+0)=0,所以4手兀+°=fai,keZ,

由題意得：f

33

4兀

即0=---+E,左￡Z,

3

所以k=2時(shí)，中=q2兀,故/(x)=sin12x+卻.

又0＜。＜兀，

3

5兀_LC2兀2兀3兀

對(duì)A,當(dāng)％w0,時(shí)，2x+-J-G，由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=/（x）在

1232

。,普］上是單調(diào)遞減;

兀11兀2x+&715兀

對(duì)B,當(dāng)xe時(shí),，由正弦函數(shù)V=sin"圖象知＞=/（尤）只有

12'1232'2

1個(gè)極值點(diǎn)，由勿+?=手，解得了=工，即x=為函數(shù)的唯一極值點(diǎn);

冗冗

對(duì)C,當(dāng)X77r時(shí)，2x+2?=3兀，/(7?)=0,直線(xiàn)％77r不是對(duì)稱(chēng)軸;

6366

2兀

對(duì)D,由y'=2cos|2%+一=T得:COS2X+

3T5'

兀

解得2x+三27r=237r+2e或2尤2+7臼r=4把+2配水eZ,

3333

、兀

從而得：x=E或1=1+伍上EZ,

OJT

所以函數(shù)y=/（元）在點(diǎn)0,2J處的切線(xiàn)斜率為k=ME=2cosy=-1,

切線(xiàn)方程為：y-=-(x-0)BPj-x.

故選：AD.

10.ACD

【解析】

【分析】

由|4刊=|40］及拋物線(xiàn)方程求得A（學(xué),當(dāng)），再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直

線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)求得-答），即可求出|。目判斷B選項(xiàng)；由拋物線(xiàn)的定義

求出|4卻=答即可判斷C選項(xiàng)；由。4。8＜0，MAMB＜OMZAOB,NAAffi為鈍角

即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

對(duì)于A,易得F(g,O),由|A/|二|AM|可得點(diǎn)A在網(wǎng)以的垂直平分線(xiàn)上，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為

—+pq

2=3p,

2-4

代入拋物線(xiàn)可得丁=22.?=102,則A(學(xué),當(dāng))，則直線(xiàn)48的斜率為甚2_萬(wàn)=2",

T-7

A正確；

L1P

對(duì)于B,由斜率為2而可得直線(xiàn)的方程為了=、后'+聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得

,2一/py_p2=0,

設(shè)B(XQ3則逅°+y=在0,則％=一顯,代入拋物線(xiàn)得＞埋］=2pw，解得

則即卷［+］一孚：=4MoT，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由拋物線(xiàn)定義知：|陰=?+與+〃=*＞2片48|,C正確；

對(duì)于D,04。8=耳,字.專(zhuān)一冬=￥?+與［孚］=一號(hào)＜0,則ZAO2為

鈍角,

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

ZAMB為鈍角,

XZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360,貝UNOAM+/OSW<180,D正確.

故選：ACD.

11.CD

【解析】

【分析】

直接由體積公式計(jì)算K，%,連接8。交AC于點(diǎn)連接由匕=匕一

計(jì)算出匕，依次判斷選項(xiàng)即可.

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D_L平面ABC。，F(xiàn)BED,則

iiio4

V=-EDS=--2a---(2a]-=-a3,

13Acrn32'/3

匕=?用。的=；0；0?)2=1.3,連接go交AC于點(diǎn)M,連接EM/M,易得

BDLAC,

又EOL平面ABC。，ACu平面ABC。，則即，AC,又EDBD=D,瓦>,a)u平面

BDEF,則AC_L平面助DEF,

又BM=DM=gBD=0a,過(guò)/作PG_LOE于G,易得四邊形BAG/為矩形，貝U

FG=BD=242a,EG=a,

2

則EM=J(2a『+=痛&FM=J]+(及,=耳,EF=5+(2&a『=3a,

1Q5

2222

EM+FM=EF,則SEFM=-EM-FM=^-a,AC=2啦a，

則匕=匕一網(wǎng)+Vc-EFM=^C-SEFM=2/,貝口匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故A、B

錯(cuò)誤；C、D正確.

故選：CD.

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

12.BC

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】

因?yàn)榇巍?(a,blR),由x?+y-町=i可變形為,

江+月2-1=3孫<3[亨)，解得_2Wx+yW2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=T時(shí)，x+y=-2,當(dāng)

且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，尤+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

22

由f+y?-孫=1可變形為(f+y2)_]=孫4土(2^,解得尤2+必42,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=±l

時(shí)取等號(hào)，所以c正確；

因?yàn)閤2+/-xy=l變形可得[一設(shè)x-]=cosa￥y=sine,所以

12

%=cos6+的rsin0,y=-j=sin0f因此

o5o2111

x20+y0=cos2^+—sin2^+—^sin^cos^=1+—7=sin2^——cos20+—

3737333

=：+,sin卜所以當(dāng)％=走,了=一且時(shí)滿(mǎn)足等式，但是/+必21不成

33I6J|_3」3-3

立，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

7

13.0.14##—.

50

【解析】

【分析】

根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)即可解出.

【詳解】

因?yàn)閄N(2,〃)，所以尸(X<2)=尸(X>2)=0.5,因此

尸（X>2,5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

【解析】

【分析】

首先求出點(diǎn)A關(guān)于V=a對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4的坐標(biāo)，即可得到直線(xiàn)/的方程，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離

小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】

解：4(-2,3)關(guān)于y=a對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(-2,2a-3),3(0,。)在直線(xiàn)V=。上，

所以A3所在直線(xiàn)即為直線(xiàn)/,所以直線(xiàn)/為>=編》+。，即(a-3)x+2y-2a=0；

—2

圓C:(x+3y+(y+2)2=1,圓心。(一3,-2),半徑r=l,

卜3(Q_3)-4-2Q|

依題意圓心到直線(xiàn)I的距離d=I]”，-1，

J(a-3)+于

°n13「13-

即(5-5療45-3)一+22,解得即ae；

J乙LD乙_

"13"

故答案為：

15.x+y/2y-2y/2=0

【解析】

【分析】

令A(yù)8的中點(diǎn)為E,設(shè)A(HM),網(wǎng)和力),利用點(diǎn)差法得到曝設(shè)直線(xiàn)

AB:y=kx+m,k<Q,m>Q,求出Af、N的坐標(biāo)，再根據(jù)|"用求出左、m,即可得解;

【詳解】

解：令的中點(diǎn)為E,因?yàn)閨阿=|g|,所以|ME|=|NE|,

2222

設(shè)磯和％),則工+里=1,旦+江=1,

6363

所以立_五+止一&=o即a?=0

663363

所以"即曝j設(shè)直線(xiàn)k<o,心。,

(㈤’所以小箓,圖,

令％=0得'=m，令)=0得％=—￡,即N0,

y乙K乙J

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

m

BP^x-2-=-l解得k=W或卜=盤(pán)(舍去)，

_m222

~2k

又|MN|=2百，即=Jm?+(=26,解得m=2或m=—2(舍去),

所以直線(xiàn)AB:y=-2x+2,即了+四尸2五=0；

故答案為：x+-fly-2母=0

16.y=-xy=—x

'ee

【解析】

【分析】

分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(%,lnx°),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切

線(xiàn)的斜率，從而表示出切線(xiàn)方程，再根據(jù)切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出％,即可求出切線(xiàn)方程，當(dāng)

x<0時(shí)同理可得；

【詳解】

解：因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(％,In%),由了=‘，所以所以切線(xiàn)方程為

%xo

y-\nx0=—(x-x0),

玉)

又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn%=L(-x°),解得x0=e,所以切線(xiàn)方程為y-1」(x-e),

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

即y=L；

e

當(dāng)x<0時(shí)y=ln（f）,設(shè)切點(diǎn)為（和111（-玉）），由y'=L所以所以切線(xiàn)方程為

X陽(yáng)

y-ln（一玉）=一（%一項(xiàng)）,

%

又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn（-%）=，（一玉），解得玉=-e,所以切線(xiàn)方程為

x\

y-l=—（x+e）,BPy=--x；

—ee

故答案為：y=~x；y=--x

ee

17.（1）證明見(jiàn)解析；

⑵9.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出;

（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得根=2"2,即可解出.

⑴

q+d—24=4+2d—4Z?|即可解得，所以

設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為"，所以,4=q=g,

a1+d—2bl—8A]—(q+3d)

原命題得證.

⑵

-1

由(1)知，bt—,所以4=%“+q<=>4x2"?%+(〃z—l)d+a1,即2*=2m,亦即

2

m=2^G[l,500],解得2WZW10,所以滿(mǎn)足等式的解左=2,3,4,…,10,故集合

｛左|4=a,“+q/W〃?W500｝中的元素個(gè)數(shù)為10-2+1=9.

18.⑴1

*

【解析】

【分析】

（1）先表示出H，邑,邑，再由S「邑+$3=￥求得/+C?-尸=2,結(jié)合余弦定理及平方

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

關(guān)系求得ac，再由面積公式求解即可;

⑵由正弦定理得K=喜裊’即可求解

(1)

由題意得S1=L"2?立=立1凡=,凡=3,則

1224

QQQ_坦26,2￡2=烏

S[—Sr.+Sn=—a------b+-

1234442

n2-i-r2-h2

即/+02一匕2=2,由余弦定理得cos8=,整理得accos8=l,貝hos3>0,又

lac

sinB=-,

3

2

12421平,則s

則cosB=』l一ac=

33cosBABC28

⑵

3夜

bb2a9

由正弦定理得:,則4“則

sinBsinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC

3

b3A

I-b=-sinB=-

sin522

19.⑴44.65歲;

(2)0.89；

(3)0.0014.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)4={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對(duì)立事件的概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

(1)

平均年齡元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)x10=44.65(歲).

(2)

設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20,70)),所以

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)

設(shè)8=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種疾病｝,

則由條件概率公式可得

P(BC)0.1%x0.023xl00.001x0.23

P(C|B)==0.0014375?0.0014.

P(B)16%0.16

20.(1)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)連接3。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)O,連接。4、尸根據(jù)三角形全等得到Q4=OB,再根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到=即可得到。為80的中點(diǎn)從而得到OE〃尸D,即可得

證；

(2)過(guò)點(diǎn)A作Az〃。尸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦

值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；

⑴

證明：連接8。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD,

因?yàn)槭?。是三棱錐尸—ABC的高，所以尸0,平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以PO_LA。、POLBO,

又PA=PB,所以△POAFAPOB,即=所以NOAB=NOBA,

又即Z&4C=90。，所以/O4B+/tMD=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以NOD4=NOAT>

所以AO=r>O,即40=00=03,所以。為8。的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以

OEHPD,

又OEO平面PAC,PDu平面尸AC,

所以。￡7/平面PAC

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

因?yàn)槭?=3,AP=5,所以Q4=JAP2—R92=4,

又NOSA=NO8C=30。，所以即=2OA=8,則AD=4,AB=4^,

所以AC=12,所以0（2石,2,0）,B（4A0,0）,尸（2代,2,3）,C（0,12,0）,所以

則AE=（3后J；］,AB=（4^,0,0）,AC=（0,12,0）,

-_3

,、n-AE=3V3x+y+—z=0

設(shè)平面AEB的法向量為〃=（x,y,z）,貝”2令z=2,則丫=-3,

n-AB=4后=0

x=0,所以“=（0,-3,2）；

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

3

設(shè)平面AEC的法向量為根=(〃也c),則＜力叱-36。+。+］。-0,令a=5則。=~6,

m-AC=12Z?=0

b=0,所以m=(g,0,-6)；

-12473

所以C°s/("，〃\尸n而-m

713x5/39-13

設(shè)二面角C-AE-3為。，由圖可知二面角C-AE-3為鈍二面角，

所以cos6?=-生8,所以sind=J1-cos。?

1313

故二面角C-AE-B的正弦值為《；

21.⑴/-工=1

3

⑵見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得c的值，利用漸近線(xiàn)方程求得。力的關(guān)系，進(jìn)而利用a,4c的平方關(guān)

系求得%的值，得到雙曲線(xiàn)的方程；

(2)先分析得到直線(xiàn)AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為匕M(xo,yo),由

“2

③等價(jià)分析得到x+ky=；由直線(xiàn)PM和QM的斜率得到直線(xiàn)方程，結(jié)合

00k—3

雙曲線(xiàn)的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線(xiàn)P。的斜率根=￡,由②PQ//A8等價(jià)轉(zhuǎn)化為

ky°=3x°,由①/在直線(xiàn)A8上等價(jià)于機(jī)=左2(%-2),然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作

為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.

(1)

右焦點(diǎn)為22,0),.?.c=2「.?漸近線(xiàn)方程為了=土括x,=近，.."=&a,...

a

c1=a1+b2=4。2=4,a=1,b—yfi■

2

；.c的方程為：/一二=1；

3

⑵

由已知得直線(xiàn)PQ的斜率存在且不為零，直線(xiàn)AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線(xiàn)的斜率存在且不為零；

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

若選①③推②，則/為線(xiàn)段A3的中點(diǎn)，假若直線(xiàn)A8的斜率不存在，則由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)

性可知M在x軸上，即為焦點(diǎn)尸，此時(shí)由對(duì)稱(chēng)性可知P、。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，與從而石=9，

已知不符；

總之，直線(xiàn)的斜率存在且不為零.

設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為左，直線(xiàn)AB方程為y=Mx-2）,

則條件①A/在A8上，等價(jià)于%=左伉一2）0機(jī)=左2（七一2）；

兩漸近線(xiàn)的方程合并為3x2-y2=0,

聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：伏2-3）/一=0

設(shè)線(xiàn)段中點(diǎn)為NGz，%）,則/=卡/=年二,%=左（/-2）=工,

2k—jk—3

設(shè)河（人，%）,

則條件③1=忸閭等價(jià)于（％-泡）2+（%-%）2=（尤0-%）2+（%-M）2,

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：

（七一川）［2%-（退+%）］+（%-（%+%）］=。，

［2%0_（尤3+尤4）］++以）］=°,即％-0+M%-％）=°，

即尤0+3）=；

由題意知直線(xiàn)尸河的斜率為-石，直線(xiàn)的斜率為6,

由％-%=-V3（占一1）,%一%=百（電一%）,

-'-%=-石（%+*2-2%）,

所以直線(xiàn)PQ的斜率m=上二^=一色％!也二竺），

%!-x2xi-x2

直線(xiàn)PM:y=_石（*_%）+%,即y=%+也%-括%,

代入雙曲線(xiàn)的方程3/一＞2一3=0,即（石龍+＞）（氐一"=3中，

得：（%+百%）［2氐一卜。+氐。）］=3,

答案第15頁(yè)，共18頁(yè)

%

條件②P。〃AB等價(jià)于%=%o外。=3尤。,

綜上所述：

條件①〃在AB上，等價(jià)于機(jī)=^(而一2)；

條件②PQHAB等價(jià)于ky0=3%；

條件③|=怛徵等價(jià)于x0+ky0=詈式；