【數(shù)學(xué)】圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積第2課時 2023-2024學(xué)年高一下人教A版（2019）必修第二冊

8.3簡單幾何體的表面積和體積

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

第2課時知識探究

思考1：我們前面已知學(xué)習(xí)過球體，它是“以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面(球面)所圍成的旋轉(zhuǎn)體”.

如果用一個平面去截一個球，截面都是圓面.其中球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，球面被不過球心的平面截得的圓叫做小圓.你還記得球的截面的性質(zhì)嗎？(1)球的截面是一個圓面；(2)連心線(球心與小圓圓心連線)垂直截面；(3)球的半徑R、截面圓半徑r、連心線段d滿足：

思考2：球能與圓柱、圓錐、圓臺一樣，直接簡單地展開成平面圖形，然后計算其表面積嗎？不能.其表面積需要用極限的思想進行推導(dǎo)事實上，球的表面積S是關(guān)于半徑R的一次函數(shù)S=4πr球的表面積設(shè)球的半徑為R，則它的表面積為大圓面積的4倍

思考3：在小學(xué),我們學(xué)習(xí)了圓的面積公式，你還記得是如何推導(dǎo)的嗎？(1)先將圓分成若干個相同的扇形：(2)再拼成一個近似的矩形(分成越細(xì)越大接近)：(3)最后用矩形的面積公式得出：

思考4：類比這種方法你能由球的表面積公式推導(dǎo)出球的體積公式?

第一步：分割．

如圖，將球O的表面分成

n個小網(wǎng)格，連接球心

O和每個小網(wǎng)格的頂點，整個球體就被分割成

n個“小錐體”.

第二步：近似替代．

當(dāng)n越大時，每個小網(wǎng)格就越小，每個“小錐體”的底面就越平,“小錐體”就越近似于棱錐，棱錐的高近似于球半徑R．

設(shè)O-ABCD是其中一個“小錐體”，則它的體積是

第三步：由近似和求得球體積．

由于球的體積是這n個“小錐體”的體積之和，而這n個“小錐體”的底面積之和就是球的表面積．

因此球的體積：球的體積設(shè)球的半徑為R，則它的體積為解：練習(xí)解：由S球=V球，得∴球的半徑等于3時，其體積和表面積的數(shù)值相等.

2.當(dāng)一個球的半徑滿足什么條件時，其體積和表面積的數(shù)值相等？(教材P119練習(xí)第2題)

例1.如圖，某種浮標(biāo)由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m．如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)例析解：一個浮標(biāo)的表面積為∴

給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆所需涂料約為

例2.如圖示，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.R設(shè)球的半徑為R，則解：O圓柱的底面半徑也為R，高h(yuǎn)=2R.即球與圓柱的體積之比為2:3.

思考：若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，那么圓錐、球、圓柱的體積之比是怎樣的？

例3.(1)把直徑為5cm鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多大面積的紙?(2)一水晶球內(nèi)嵌有一個棱長分別為2，3，4的長方體工藝品，且此長方體的各頂點剛好全在球面上，此水晶的體積是多少(忽略中空)．解：思考(1)：用紙最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?

球內(nèi)切于正方體思考(2)：此時球的半徑或直徑與正方體的棱長有何關(guān)系？

球的直徑=正方體的棱長

用紙最省時，球內(nèi)切于正方體.此時球的直徑2R=正方體的棱長a∴a＝5cm，紙盒的表面積為S=6a2=6×52=150∴至少要用150cm2的紙

例3.(2)一水晶球內(nèi)嵌有一個過同頂點的棱長分別為2cm，3cm，4cm的長方體工藝品，且此長方體的各頂點剛好全在球面上，此水晶的體積是多少(忽略中空)．解：

思考(3)：這種情況我們稱長方體內(nèi)接于球.

此時球的直徑是什么呢？

由題意知，

長方體內(nèi)接于球.此時

球的直徑2R=長方體的對角線∵長方體過同頂點的棱長分別為2，3，4.

∴長方體的對角線為

球的直徑=長方體的對角線∴此水晶的體積為1.將一個棱長為6cm的正方體鐵塊磨制成一個球零件，求可能制作的

最大零件的體積.解：

由題意知，此時2R=6，即R=3.∴最大球零件的體積為練習(xí)2.一個長、寬、高分別為80cm，60cm，55cm的水槽中裝有

200000cm3的水，現(xiàn)放入一個直徑為50cm的木球.如果木球

的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會從水槽

中溢出.解：由題意知，木球浸在水中的體積為∴水不會從水槽中溢出.(教材P119練習(xí)第3，4題)3.已知過球面上三點A，B，C的截面和球心O的距離為球半徑的

一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面積

解：

如圖，設(shè)截面圓心為O1

,連接AO1，并延長與BC交于點D，連接OA

由正三角形的性質(zhì)知，D為BC中點，且截面半徑為