2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第24講兩角和與差的正弦余弦正切公式及二倍角公式教師版

第24講兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).題型歸納題型1公式的直接應(yīng)用【例1-1】已知sin（π﹣α）=33，則cos2A．223 B．-13 C．2【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求sinα的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求解．【解答】解：∵sin（π﹣α）＝sinα=3∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×(故選：D．【例1-2】計(jì)算cos18°?cos42°﹣cos72°?sin42°＝（）A．12 B．-12 C．32【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用和余弦的和角公式的運(yùn)用求出結(jié)果．【解答】解：cos18°?cos42°﹣cos72°?sin42°＝cos18°?cos42°﹣sin18°?sin42°=cos故選：A．【例1-3】若3sinα-2sinA．-233 B．233 C．【分析】由兩角和的正弦公式展開(kāi)整理可得3cosα＝2sinα-7，兩邊平方，由基本關(guān)系式sin2α+cos2α＝1可得7sin2α﹣47sinα+4＝0，解出sinα，進(jìn)而求出cosα【解答】解：由3sinα-2sin(α+π3)-7=0，化簡(jiǎn)可得3sinα﹣2?12sinα﹣2?32cosα兩邊平方可得3cos2α＝4sin2α﹣47sinα+7，整理可得3（1﹣sin2α）＝4sin2α﹣47sinα+7，即7sin2α﹣47sinα+4＝0，解得sinα=2所以3cosα＝2?27-7=所以tanα=sinα故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知tanα=12，tan（α+β）=13A．16 B．-17 C．17【分析】由于β＝（α+β）﹣α，根據(jù)已知利用兩角差的正切函數(shù)公式即可計(jì)算求解．【解答】解：∵tanα=12，tan（α+β）∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]=tan故選：B．【跟蹤訓(xùn)練1-2】sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（）A．0 B．12 C．32 D【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)所給的式子，可得結(jié)果．【解答】解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos（15°+45°）=1故選：B．【跟蹤訓(xùn)練1-3】sin2π12A．2-34 B．2+34 C．【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解答】解：sin2π12故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1-4】若cosα=13，則cos2A．-79 B．-89 C．7【分析】由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求解．【解答】解：∵cosα=1∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（13）2﹣1=故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1-5】若tan2α=14，則tan（α+π4）+tan（α【分析】展開(kāi)兩角和與差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案．【解答】解：∵tan2α=1∴tan（α+π4）+tan（=1+故答案為：12【跟蹤訓(xùn)練1-6】2cos215°﹣1等于．【分析】由題意利用二倍角的余弦公式，求得結(jié)果．【解答】解：2cos215°﹣1＝cos30°=3故答案為：32【名師指導(dǎo)】應(yīng)用三角公式化簡(jiǎn)求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反”．(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．題型2三角函數(shù)公式的逆用與變形用【例2-1】（1+tan19°）?（1+tan26°）＝．【分析】先把所求展開(kāi)，再根據(jù)兩角和的正切即可求解結(jié)論．【解答】解：因?yàn)椋?+tan19°）?（1+tan26°）＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°＝1+tan（19°+26°）（1﹣tan19°tan26°）+tan19°tan26°＝1+1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26°＝2；故答案為：2．【例2-2】已知cos(x-πA．32 B．3 C．12 D【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知cos(∴cosx+cos(x-π3)=cos[（x＝cos（x-π3）cosπ3-sin（x-π3）sin=32cos（x-π3）-32sin（x-π3）=3cos（x-π6故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2-1】1-A．12 B．-12 C．32【分析】切化弦，易得原式為cos210°，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解答】解：1-tan2105°故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】化簡(jiǎn)1-A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2【分析】利用誘導(dǎo)公式變形，化為兩數(shù)和的平方，開(kāi)方得答案．【解答】解：1si＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2．故選：A．【名師指導(dǎo)】?jī)山呛汀⒉罴氨督枪降哪嬗煤妥冃斡玫膽?yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式．(2)和差角公式變形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1?tanα·tanβ)．(3)倍角公式變形：降冪公式．題型3角的變換與名的變換【例3-1】設(shè)α，β∈（0，π），cosβ=-1213，cosα2=255，則cosα＝【分析】利用余弦的倍角公式以及兩角和差的正切公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：cosα＝2cos2α2-1＝2×（255）2﹣1=35，則α則sinα=45，tanα∵cosβ=-1213，∴sinβ=513則tan（α+β）=tanα+tanβ故答案為：35，【例3-2】若tanα＝3，則cos2α+3sin2α＝．【分析】先利用余弦的二倍角公式將其化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將分母的1用sin2α+cos2α代替，然后將分式的上下同除cosα后，可將原式轉(zhuǎn)化為只含tanα的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】解：cos2α+3sin2α＝cos2α﹣sin2α+3sin2α=co兩邊同除cosα，原式=1+2ta故答案為：1910【例3-3】已知cos（π2+θ）=-32，則cos2θ【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，求得結(jié)果．【解答】解：∵已知cos（π2+θ）=-32=-sin則cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×3故答案為：-1【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知sin2θ=-34，則tanA．43 B．-43 C．83【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)所求結(jié)合已知即可計(jì)算求解．【解答】解：sin2θ=-則tanθ+1故選：D．【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知cos（α+π3）=1A．13 B．-13 C．22【分析】由角的轉(zhuǎn)化可得π6-α=π2-（α+π3），進(jìn)而可得sin（π6-α）＝sin[π2-【解答】解：因?yàn)棣?-α=π2所以sin（π6-α）＝sin[π2-（α+π3）]＝cos故選：A．【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知cos(θ-πA．-2425 B．-1225 C．12【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值．【解答】解：由cos(θ-π4)=7210，則sin2θ＝＝2×(72故選：D．【名師指導(dǎo)】1．三角公式求值中變角的解題思路(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．2．常見(jiàn)的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(