2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.函數(shù)/（%）=siτι%cos%的最小正周期為（）

A.1B.2C.TiD.2TT

2.在44BC中，角4、B、C的對邊分別是a、b、c,若a=√-2>b=√-3,B=1,那么角4等

于（）

3.已知向量為，b滿足（S+方）?b=16，IeI=2>則五在方上的投影向量為（）

A.3bB.βbC.9hD.12b

4.已知向量五=（X+1,1），弓=（-8,/+15）,在集合｛0,l,2,3,4,5,6｝中隨機(jī)取值作為X,則

五IE的概率為（）

A.?B.IC.ID.y

5.設(shè)Z為復(fù)數(shù)，若（l+i）z>0,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.圓錐的母線人高;1、底面半徑「滿足1一八=九-「=1,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.IOTrB.15πC.20πD.30π

7.己知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形，且乙4CB=^PA，平面4BC,且AB=3,

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在球。的球面上，記球。的體積和表面積分別為心S,

則（=（）

A—R-C-D-

12632

8.給定一個正整數(shù)n（n≥3）,從集合0=｛1,2,3,…,71｝中隨機(jī)抽取一個數(shù)，記事件4=“這個

數(shù)為偶數(shù)”，事件B="這個數(shù)為3的倍數(shù)”,下列說法正確的是（）

A.若n=6k,∕c6N*,則至少存在一個n,使事件A和事件B不獨(dú)立

B.若nK6k,k€N*,k∈N*,則存在無窮多個n,使事件4和事件B獨(dú)立

C.若n為奇數(shù)，則至少存在一個n,使事件4和事件B獨(dú)立

D.若n為偶數(shù)，則對任意的九，事件4和事件B獨(dú)立

二、多選題（本大題共4小題，共20.（）分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.某市為了了解全市10萬名高一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，抽取了該市某個區(qū)的15000名學(xué)生

進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測試(百分制)，并將這些學(xué)生的成績整理成如圖所示的頻率分布直方圖,根據(jù)頻

率分布直方圖，下列說法正確的是()

A.圖中α的值為0.15

B.估計樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為85

C.用樣本可以估計全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測試不及格(低于60分)的人數(shù)為5000

D.用樣本可以估計全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測試的平均分約為80.5分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值作代表)

10.已知函數(shù)f(x)=Asin{ωx+^A>0,ω>0)(4>0,ω>0)的相鄰兩條對稱軸之間的距

離為》下列說法正確的是()

A.ω=4

B./(x)圖象上所有點(diǎn)向上平移一個單位長度得到g(x)的圖象，若g(x)的最大值為3,則2=2

C./(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,，縱坐標(biāo)不變，得到h(%)的圖象，則％(X)=

Asin(8x+/

D./(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的右橫坐標(biāo)不變，得到丁。)的圖象，則r(x)=

4Asin(2x+力

11.如圖，在邊長為1的正方形ABCO中，E,F分別為CD,BC的中DE

點(diǎn)，以4為圓心,AB為半徑作圓，得到重疊部分為扇形DAB.連接AF,

AE,分別交弧BC于P,從下列說法正確的是（）

A蓋=而

4

B.CoSzJMP=I

C.｛喬,而｝可作為一個基底

D.正=?而+殍Q

12.如圖，已知長方體ABCD-&B1GD1的三條棱長分別為力B=α,

BC=b,BBl=c,a,b,C為常數(shù)，且滿足b≤a,c=2α.點(diǎn)M為AIDI上

的動點(diǎn)（不與4，Dl重合），過點(diǎn)C作截面a,使aLBM,a,a分別交

4B于點(diǎn)E,F.下列說法正確的是（）

A.截面a是三角形

B.截面a的周長為定值

C.存在點(diǎn)M,使CFLCE

D.CF2+6CE2-2E產(chǎn)為定值

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13?已知銳角三角形樹中，內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,b,c的面積為■,

則C=.

14.已知瓦，器為不共線的單位向量，所成角為60。，若向量不=可+2宅，B=Z-石，則

五7的值為.

15.某銀行發(fā)行了甲，乙兩款理財產(chǎn)品，一名投資者有意向去投資這兩款理財產(chǎn)品.已知這名

投資者選擇投資甲，乙兩款理財產(chǎn)品相互獨(dú)立，且投資甲產(chǎn)品的概率為城投資乙產(chǎn)品的概率

1

為

4-則該投資者兩種產(chǎn)品都不投資的概率為

16.如圖，在直角梯形4BC0中，AB//CD,ABLAD,AD=3,若以力為

圓心，AD為半徑的圓與BC相切，切點(diǎn)為Q,則而?前的值為.

四、解答題(本大題共6小題，共7(H)分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)復(fù)數(shù)z=l+bi,b&R,若「&WR

(1)求團(tuán);

(2)/己為Z的共輔復(fù)數(shù)，計算(Z+z)2+(z-￡)2的值.

18.(本小題12.0分)

山東淄博有著豐富的燒烤文化，淄博燒烤以其獨(dú)特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，

今年的“五一”假期更是游客“進(jìn)淄趕燒”的高峰期.某商家為了提高自己的競爭力，舉行了

消費(fèi)抽獎活動，活動規(guī)則如下：每消費(fèi)滿100元，會獲得一次抽獎機(jī)會，獎項(xiàng)為“5元燒烤優(yōu)

惠券”“10元燒烤優(yōu)惠券”以及“謝謝惠顧”.已知抽中“5元燒烤優(yōu)惠券”的概率為：，抽中

“10元燒烤優(yōu)惠券”的概率為全并且每次抽獎互不影響.

(1)求抽到“謝謝惠顧”的概率；

(2)某位客人消費(fèi)了200元，求這位客人能抽到總計10元燒烤優(yōu)惠券的概率.

19.(本小題12.0分)

如圖，已知正方形力BCD所在平面與等腰直角三角形E4B所在平面相互垂直.以4E為直徑，在

平面EAB內(nèi)作半圓(半圓位于E4的左側(cè))，點(diǎn)尸為弧AE上的一點(diǎn).

(1)證明：EFL平面ADF；

(2)若點(diǎn)F為弧4E的中點(diǎn)，求二面角F-BD-A的正切值.

20.(本小題12.0分)

為調(diào)查某校高一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況以及男女生學(xué)習(xí)水平的差異，采用分層隨機(jī)抽樣的方式

從高一年級抽取n人參加數(shù)學(xué)知識競賽.已知該校高一男女生的人數(shù)比為1：2,抽取了20名男

生參加數(shù)學(xué)知識競賽，他們的成績記為…，20),其中々分別為：8,3,2,4,8,5,5,7,

7,6,8,5,5,6,4,9,6,8,6,8.

(參考數(shù)據(jù):∑f°1xi=120,∑fθ1x?=788)

(I)求樣本總?cè)藬?shù)Tl;

(2)求男生數(shù)學(xué)知識競賽成績的第60百分位數(shù)以及方差；

(3)若女生數(shù)學(xué)知識競賽成績的平均數(shù)為3,方差為10.3,求樣本總方差.

21.(本小題12.0分)

如圖所示，在一塊面積為畔兀―的圓心角為3的扇形PoQ空地中(如圖1：扇形POQ,乙QoP=

??

f),要建設(shè)一座長方體的高樓(如圖2：長方體48。。-4當(dāng)?shù)摹?).由于建設(shè)需求，點(diǎn)。需在弧

PQ上(如圖3).為了消防安全，樓層建設(shè)不能太高，OCI與地面OPQ所成的角最大為會

(1)求樓高CG的最大值；

(2)求這座高樓體積的最大值.

22.(本小題12.0分)

在AABC中，設(shè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為α,b,c.^AB-^AC+2^BA-^BC=ir^CA-CB.

(1)證明：a2+2b2=3c2；

(2)若Sin(B—A)+sinC=7sinA,求cos4的值.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：由題意得，/（x）=Sinxcosx=TX2sinxcosx=^sin2x,

所以函數(shù)的最小正周期為:=π,

故選：C.

根據(jù)二倍角的正弦公式化筒函數(shù)解析式，再由周期公式求出函數(shù)的周期即可.

本題考查二倍角的正弦公式，以及三角函數(shù)的周期公式應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解：△4BC中，由正弦定理可得一?=-?,BES=弁，.??SinA=與，

SinAsιnBdtnzι?2

???A=l，或力=失舍去，因?yàn)?不是最大角），

故選:A.

△4BC中，由正弦定理可得Sina=殍，由于α<b,故角4不是最大角，因此力不能為鈍角，可得

471

A=4-

本題考查正弦定理的應(yīng)用，注意：由于α<b,故角4不是最大角，因此4不能為鈍角.

3.【答案】力

【解析】解：（五+不）.另=1.b+石=a?b+?b?2=16,

因?yàn)镮bl=2，所以Z?b=16-4=12，

,

4.L3??b12?b_τ

Sx—J——=——=3b.

Ibl?b?4

故選:A.

根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算法則計算出五4=12,從而利用投影向量的公式進(jìn)行求解.

本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：當(dāng)蒼_L9時，a?b=-8(x÷1)÷X2+15=%2—8%+7=0，

解得％=1或X=7,

所以集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中隨機(jī)取值作為X,則五1石的概率為;.

故選：A.

根據(jù)向量垂直求得X,根據(jù)古典概型的概率計算公式求得正確答案.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解:設(shè)z=α+bi,(ɑ,b∈R),則(1+i)z=(α-b)+(α+b)i>0,

：.a+b=0,a—b>0,

.?.b=-a,2a>0,

.?.ɑ>O,b<O,

故Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(α,b)位于第四象限.

故選：D.

結(jié)合復(fù)數(shù)的概念結(jié)合條件可得α,b范圍，進(jìn)而即可判斷復(fù)數(shù)位于第幾象限.

本題主要考查復(fù)數(shù)的凡何意義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意可得尼+N=K①，又因?yàn)椋垡话?/i—r=1,

可得出l=∕ι+1,r=h-l,代入①，

整理得/-4h=0,解得九=0(舍)或h=4,

則Z=5,r=3,

所以圓錐的側(cè)面積公式πτ∕=3X5X兀=15π.

故選：B.

根據(jù)已知可得出/+"=J,與，一/1=八一F=1組成方程組解出hh、r的值，再利用圓錐側(cè)面

積公式即可得出結(jié)果.

本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)同學(xué)，考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)锳48C為直角三角形且NACB=3則4C1BC,

又PAJ■平面ZBC,AB,BCU平面4BC,則PAIAB,PA1BC,

IfUPAnAC=A,PA,力CU平面/MC,于是BC_L平面PAC,又PeU平面PaC,

因此PCl8C,取PB中點(diǎn)?！高B接CO1，AO1,則OlA=OlP=O/=。也，

從而點(diǎn)。1即為球。的球心。，設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

則(2R)25B?+P∕,即4R2=32+42=25,所以R=∣,

43

則匕=理D=K=9.

故選：B.

依題意△ABC外接圓的直徑為斜邊AB=3,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,則(2R)2=AB2+

PA2,求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積、表面積公式計算可得.

本題考查三棱錐的外接球表面積的計算，考查計算能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：對于力，對于任意n=6k,k∈N*,P(A)=；,P(B)=J,P(4B)=￡=g

ZJOrvO

.?.P(AB)=P(A)P(B),即事件4和事件B獨(dú)立，4不正確;

對于C,當(dāng)n=6k+l時，∕c∈∕V,P(A)=肅,P(B)=島,P(AB)=島,

此時顯然P(4B)≠P(4)P(B);

當(dāng)n=6k+3時，k€N,P⑷=∣g∣,P(B)=g?P(AB)=島,

此時顯然P(HB)≠P(A)P(B);

當(dāng)n=6k+5時，k€N,「(4)=黯以8)=髭以的=島,

此時顯然P(AB)≠P(A)P(B);

綜上可知，對任意奇數(shù)，事件4和事件B都不獨(dú)立；C不正確;

對于B,當(dāng)n=8時，P(A)=；,P(B)=：,P(AB)=］滿足P(AB)=P(A)P(B);

L4O

當(dāng)n=32時，P(A)=Q(B)=2,P(AB)=*，滿足P(AB)=P(A)P(B);

1o2m+l?o2m+l?

以此類推，當(dāng)τι=22m+ι時，7neN*,P(A)=P(B)=姿χ,P(48)=3^τ,滿足P(AB)=

4O×Zo×z

P(A)P(B)；

故存在無窮多個n,使事件4和事件B獨(dú)立，B正確；

對于0,當(dāng)n=16時，P(A)=盤=1，P(B)=W,P(4B)=?=:，.??P(AB)≠P(4)P(B),D不正

IoZIoτIoo

確.

故選:B.

主要是用P(AB)=P(A)P(B)判斷事件的相互獨(dú)立性.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率計算，屬于中檔題.

9.【答案】CD

【解析】解:A選項(xiàng)，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，10X(0.005+α+0.020+0.040+0.020)=1,

解得α=0.015,4選項(xiàng)錯誤；

B選項(xiàng)，前4個矩形條的面積為1一IOX0.02=0.8>0.75,

前3個矩形條的面積為：I-IOX(0.02+0.04)=0.4<0.75,

故樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)落在［80,90］中，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為支，

于是Q-80)×0.04+0.4=0.75,

解得X=88.75,B選項(xiàng)錯誤；

C選項(xiàng)，根據(jù)直方圖可以看出，低于60分的頻率為：0.005×10=0.05,

于是估計全市學(xué)生不及格的人數(shù)為：100000×0.05=5000,C選項(xiàng)正確：

D選項(xiàng)，由題意，平均數(shù)為：

10X(55×0.005+65X0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02)=80.5,故D正確.

故選：CD.

A選項(xiàng)，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)計算；B選項(xiàng)，先判斷出75%分位數(shù)所在的區(qū)間，然后列方程

計算；C選項(xiàng)，先算出樣本數(shù)據(jù)中不及格的頻率，由此估計全市學(xué)生不及格的人數(shù)：。選項(xiàng)，根據(jù)

題意中的平均數(shù)的計算要求進(jìn)行計算.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)和平均數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：???f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為今

∣T=?即7=71,即4=兀，得3=2,故A錯誤；

22ω

B選項(xiàng)，/(x)=^sin(2x+≡),/Q)圖象上所有點(diǎn)向上平移一個單位長度得到g(x)的圖象，則

g(x)=Asin(2x+力+1,

因?yàn)?>0,所以g(x)的最大值為4+1,故A+l=3,解得4=2,B正確；

C選項(xiàng)，由圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的%縱坐標(biāo)不變，得MX)=AS譏(8x+力，C正確；

O選項(xiàng)，圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的右橫坐標(biāo)不變，得r(x)="4sin(2x+》，。錯誤.

故選：BC.

4選項(xiàng)，由題目條件得到/Q)的最小正周期,從而得到3=2；B選項(xiàng),得到g(x)=As譏(2x+》+1,

故根據(jù)最大值列出方程，求出4=2；CD選項(xiàng)，根據(jù)伸縮變換的性質(zhì)得到答案.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期和3的值，利用圖象變換進(jìn)行判

斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4,儡表示荏方向上的單位向量，I而|=1，

且而與荏方向相同，???∣^=萬?，故A正確；

對于B,?^AE?=?AF?=JI2+(|)2=?.

12

???CosZ-FAB=cos?EAD==?=>

~2~

i1

SinZj7AB=SinzETlD=-?=?=,

,

Λcos?HAP=CoS(I-24FAB)=sin(2?FAB)

=IsinZ-FABcosZ-FAB=故B正確；

對于C,連接EF,HP,BD,

由于理I=”口，...EF〃HP,

?AE??AF?"

由于E,F分別是CD,BC的中點(diǎn)，.??E∕7∕8D,

HP//BD,故｛抨,而｝不能作為一個基底，故C錯誤；

對于。，罌=黑=導(dǎo)—網(wǎng)=信同I羽=落磯

2

^-AH+^-AP=^-×AE+^-×AF=1AE+1AF

=I(AD+^AB)+I(AB+^AD)

=AB+AD=AC>故D正確.

故選：ABD.

根據(jù)單位向量，誘導(dǎo)公式、二倍角公式、基底等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】AD

【解析】解：以。為原點(diǎn)，DA,DC,DDl所在直線分別為％,y,Z軸建立

空間直角坐標(biāo)系；

則B(b,α,O),C(0,a,0),設(shè)M(t,0,2α),O<t<b,E(Ba,z),F(b,y,0),

BM=(t-h,—a,2d)，CE=(b,0,z)>CF=(bty—a,0)，

(bτ)b

-CE=(t-b)b+2az=0得

因?yàn)閍_LBM,a,所以2a

BM?CF=(t—b)b—a(y—α)=0y="+α

因?yàn)镺<t<b,所以0<z=(bτ)b<紇嚨=四≤叱=2a，即點(diǎn)E在線段BBl上(不與B和/重

2a2a2a-2a

合)，

(t-b)b?∕>2?

y=-———÷α>--------Fa=《二bZ0,y="""+0V―即OVyVα,

,aa

所以點(diǎn)F在線段AB上(不與4和B重合),

所以截面α是三角形CEF,故A正確;

因?yàn)閇"2；,所以α-y=2z,

[y=(^+a

2222222z2

所以CE=√b+z>CF=y/b+{a—y)=>Jb+4z>EF=y/z+(α—y)=√5z>

所以截面ɑ的周長為CE+CF+EF=√h2+z2+√h2+4z2+√5z2.

因?yàn)閎為常數(shù)，所以當(dāng)Z增大時，周長也增大，故周長不為定值，故B錯誤;

由CFJ.CE,CF?CF≈0.得(b,0,z)?(b,y-α,0)=/=0,得b=0,這不可能，故C錯誤;

由以上知，CF2+6CE2-2EF2=∕√+4z?+6∕√+6z2—10z2=7/為定值，故。正確.

故選:AD.

以。為原點(diǎn),DA，DC,DDi所在直線分別為％,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)MSo,2α),0<t<b,

(Z=(J.

E(b,α,z),F(b,%O),利用線面垂直求出］?ɑ,得點(diǎn)E,F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E,F的坐標(biāo)

b=k+α

對四個選項(xiàng)逐個判斷可得答案.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

13.【答案】ξ

【解析】解：由題意知，SΔABC=?absinC=^ab,

所以SinC=?,

又因?yàn)樵阡J角三角形ABC中，Ce(0,≡),

所以C=±

O

故答案為:≡

根據(jù)三角形面積公式求解.

本題考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一：

【解析】解：因?yàn)橛?，前為不共線的單位向量，所成角為60。，

所以同I=I引=I,e7??=∣e7∣?∣?∣?cos60°=^

又有=瓦+2/，B=瓦?一行，

所以礦方=E+2電）?同一宅）=瓦??+瓦??宅-2與2=ι+l-2=-∣.

故答案為:—?.

根據(jù)數(shù)量積的定義求得Z?名的值，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則即可求得N?B的值.

本題考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】I

【解析】解：因?yàn)檫@名投資者投資甲產(chǎn)品的概率為g,所以不投資甲產(chǎn)品的概率為"

同理投資乙產(chǎn)品的概率為所以不投資乙產(chǎn)品的概率為

根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式，該投資者兩種產(chǎn)品都不投資的概率為言×2=∣,

故答案為：|.

由已知可得出這名投資者不投資甲產(chǎn)品的概率為3不投資乙產(chǎn)品的概率為本由獨(dú)立事件乘法公

式即可求出都不投資的概率，從而得出結(jié)果.

本題考查獨(dú)立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】9

【解析】解：連接AC、AQ,

所以福?前=I而I?I前I?COS〈福,前〉=?AQ?-?AC?cos?CAQ=?AQ?.?AQ\=9.

故答案為：9.

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算代入即可求出結(jié)果.

本題考查平面向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)造(1+忖(1-2。—(l+2b)+(b-2)i

(l+2i)(l-2i)-5UZ

則b-2=0,則b=2,所以z=l+2i,則IZl=V/+22=C.

(2)z=1—2i,則Z+z=l+2i+l—2i=2,z—z=l+2i—l+2i=4i,

(Z+z)2+(z—z)2=22+(4i)2=4-16=-12.

【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類可得b=2,進(jìn)而由模長公式即可求解,

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法以及乘方運(yùn)算即可化簡求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)記抽到“5元燒烤優(yōu)惠券”為事件4,

記抽到“10元燒烤優(yōu)惠券”為事件B,

記抽到“謝謝惠顧”為事件C,

易知PQI)=2P(B)/

所以P(C)=I-P(A)—P(B)=1-∣-∣=∣;

(2)若某位客人消費(fèi)了200元，

此時這位客人可抽取兩次，

記抽到總計10元燒烤優(yōu)惠券為事件D,

記可能一次抽到“10元燒烤優(yōu)惠券”、一次抽到“謝謝惠顧”為事件E,

記兩次都抽到“5元燒烤優(yōu)惠券”為事件F,

111111

-X-+-X-=9在---

此時P(E)3663,4

1113

-+----

9436

故該客人能抽到總計10元燒烤優(yōu)惠券的概率為Jl?

【解析】(1)由題意，記抽到“5元燒烤優(yōu)惠券”為事件4記抽到“10元燒烤優(yōu)惠券”為事件B,

記抽到“謝謝惠顧”為事件C,根據(jù)互斥事件求概率公式進(jìn)行求解；

(2)記抽到總計10元燒烤優(yōu)惠券為事件D,記可能一次抽到“10元燒烤優(yōu)惠券”、一次抽到“謝謝

惠顧”為事件E,記兩次都抽到“5元燒烤優(yōu)惠券”為事件F,求出相對應(yīng)的概率，進(jìn)而即可求解.

本題考查概率的相關(guān)應(yīng)用，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

19.【答案】解：(1)證明：由于平面ABCD，平面EAB,且兩平面的交線

為AB,4。U平面ABCO,AD1AB,

所以4D1平面EAB,又EFU平面EAB,

所以EF_LAD,

又F在以AE為直徑的半圓上，

因此可以得到EFJ.4F.

EF1AF,EF1AD,ADCtAF=A,AD,AFU平面4。尸,

所以EF1平面ADF；

(2)過F在平面ABEF內(nèi)作FH1AB交B力的延長線于點(diǎn)H,

則FH_L平面4BC。，

過H作GH1BD交BD于點(diǎn)、G,連接尸G.

由于FH_L平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以FH1BD,

又GHLBD,GHCFH=H,GH,FHU平面FGH,

所以BO1平面廣HG,

又FGU平面FHG,即BD1FG,

又BD1GH,

所以NFGH就是所求的二面角F-BO-4的平面角.

設(shè)正方形4BC。的邊長為2α(α>0),則AB=AE=2α,?EAF=FAH=45°,

則HF=AH=AFsin45o=4Esin45°sin45°=2αx號X號=a，

HB=AB+AH=3a,HG=HBSm45°=

4.,FHa

在RtAFHG中l(wèi)，tan/FcGrHu=而=三=亍，

~2~

即二面角F-BD-4的正切值為?.

【解析】(1)根據(jù)面面垂直可得線面垂直，進(jìn)而利用線線垂直即可求證線面垂直，即可求證，

(2)根據(jù)二面角的幾何法求解其平面角，進(jìn)而由三角形的邊角關(guān)系求解即可.

本題考查線面垂直的判定定理，考查二面角的定義及其求解，考查空間想象能力，推理論證能力

和運(yùn)算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)男生占樣本總?cè)藬?shù)的士=g所以兀=竿=60；

1十/33

(2)20X60%=12.男生數(shù)學(xué)知識競賽成績從小到大排列為：

2,3,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,7>7,8,8?8,8,8,9,

其中第12個數(shù)據(jù)為6,第13個數(shù)據(jù)為7,

所以男生數(shù)學(xué)知識競賽成績的第60百分位數(shù)為竽=6.5,

記男生數(shù)學(xué)知識競賽成績的平均數(shù)和方差分別為受男，Sj.

販男=?∑f=ι^i=6,s∣=?∑F=ι%f-?=3.4；

(3)記女生數(shù)學(xué)知識競賽成績的平均數(shù)和方差分別為呈女，4,

則樣本總平均數(shù)2=廣男+1晟=4,

樣本總方差s2=g[sj+(X男-z)2]+1[?+(X女一z)2]=10.

【解析】(1)根據(jù)抽樣比和男生人數(shù)可得答案；

(2)男生數(shù)學(xué)知識競賽成績從小到大排列，可得第60百分位數(shù)；根據(jù)平均數(shù)和方差公式可得男生數(shù)

學(xué)知識競賽成績的平均數(shù)和方差；

(3)求出樣本總平均數(shù)，根據(jù)樣本總方差公式計算可得答案.

本題考查分層抽樣、百分位數(shù)、方差、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：⑴設(shè)扇形半徑為rm,貝咕“2=平兀，解得r=ιoo,

O?

連接OC,OC1,如圖所示：

在長方體ABCD—力/1CIDl中，則ClC1平面力BCD,

：.4Q0C是OCl與地面OPQ所成角，BIJtanzC1OC=畜,

???OCI與地面OPQ所成的角最大為全

.?.(CC1)max=OC(IanZ-C1OC)max-IoOtanq=100m,即樓高CCl的

最大值為IOOm；

(2)設(shè)NCOP=。，θ∈(0,≡),則BC=IOoSirI。，OB=IOoCOs。，OB=100cosθ,

πAD

Vtan