量子力學(xué)第三章算符與力學(xué)量的關(guān)系

關(guān)于量子力學(xué)第三章算符與力學(xué)量的關(guān)系一、厄米算符的本征函數(shù)的完全性1.復(fù)習(xí)§3.1的兩個假定假定1：量子力學(xué)中的每個力學(xué)量用一個線性厄米算符表示。假定2：算符的本征值集合即是測量體系力學(xué)量可能得到的所有量值；體系處在的屬于本征值的本征態(tài)時，測力學(xué)量，得到確定值。第2頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

但是在任意態(tài)中（非的本征態(tài)），此時與代表的力學(xué)量的關(guān)系如何？這需引進(jìn)新的假設(shè)，適合于一般情況，且不能與假定2相抵觸，應(yīng)包含它。

第3頁,共21頁，2024年2月25日，星期天2.完全性：若是滿足一定條件的厄米算符，且它的正交歸一的本征函數(shù)系、……對應(yīng)的本征值為、……，則任一函數(shù)可以按展為級數(shù)：

式中是與x無關(guān)的展開系數(shù)。我們稱本征函數(shù)的這種性質(zhì)為完全性，或者說組成完全系。（1）

第4頁,共21頁，2024年2月25日，星期天說明：①展開系數(shù)

以左乘，且對x的整個區(qū)域積分有即：

（2）

第5頁,共21頁，2024年2月25日，星期天②表示力學(xué)量的算符是厄米算符，不管它是否滿足完全性關(guān)系要求的條件，都可以直接將數(shù)學(xué)上證明過的定理拿來就用，即假定力學(xué)量算符本征函數(shù)的正交歸一系具有完全性。

第6頁,共21頁，2024年2月25日，星期天3.展開系數(shù)的物理含義：

設(shè)為歸一化的波函數(shù)，則根據(jù)是正交歸一化的完全函數(shù)系，有：

因左邊是總幾率，所以有幾率的意義。即：

第7頁,共21頁，2024年2月25日，星期天§3.1的假定2

例：若是算符的一個本征態(tài)，例如按假設(shè)2，在該態(tài)中測得的幾率是，其中也可由（2）式求得。由此特例同樣可以看出具有幾率的意義，即表示了在態(tài)中測量力學(xué)量得到的結(jié)果是的本征值的幾率，于是稱為幾率振幅。

則：

第8頁,共21頁，2024年2月25日，星期天二、基本假設(shè)（力學(xué)量與算符的關(guān)系）假設(shè)3：在（是的本征函數(shù)）描寫的態(tài)中，測量體系的力學(xué)量得到的幾率是，其中。

綜合假設(shè)1-3，可得一個基本假定（基本原理），即量子力學(xué)中關(guān)于力學(xué)量與算符關(guān)系的基本假設(shè)：第9頁,共21頁，2024年2月25日，星期天基本假設(shè)的正確性同薛定諤方程一樣，由整個理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合而得到驗(yàn)證。完全性關(guān)系第10頁,共21頁，2024年2月25日，星期天解釋：

即：

(同理可得二、三維的結(jié)果)第11頁,共21頁，2024年2月25日，星期天三、平均值公式

在所描寫的狀態(tài)中，在態(tài)的統(tǒng)計平均值（由幾率求平均值）為

證明：

(假定)第12頁,共21頁，2024年2月25日，星期天說明：a.當(dāng)?shù)谋菊髦禈?gòu)成連續(xù)譜時，為：（假定已歸一）證明：

第13頁,共21頁，2024年2月25日，星期天b.以上證明中假定已正交歸一化，對沒有正交歸一化的波函數(shù)：

第14頁,共21頁，2024年2月25日，星期天四、推廣

若的本征值的組成中既有分立譜又有連續(xù)譜，則以上結(jié)果可表示為：完全性關(guān)系：

為在態(tài)中測得的幾率；

其中：；；；

為在態(tài)中測得在范圍內(nèi)的幾率；

第15頁,共21頁，2024年2月25日，星期天說明：當(dāng)時為連續(xù)譜情況；時為分立譜的情況；，時為一般情況。平均值公式：；

第16頁,共21頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共21頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共21頁，2024年2月25日，星