河南省名校聯(lián)盟高三大聯(lián)考（2月）理科數(shù)學(xué)試卷

2023屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試河南名校聯(lián)盟大聯(lián)考（2月）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合交集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)榧希?，所以，故選：D2.已知復(fù)數(shù)，若z的共軛復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法求出和，與已知對(duì)比即可求出b的值.【詳解】，，，.故選：C.3.在等差數(shù)列中，，，則（）A.15 B.16 C.17 D.25【答案】C【解析】【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，即.故選：C.4.一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)：，…，，，其平均數(shù)為，方差為，極差為m，中位數(shù)為t，去掉其中的最小值和最大值后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，極差為，中位數(shù)為，則下列結(jié)論不一定正確的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、極差、中位數(shù)的定義即可逐項(xiàng)分析判斷．【詳解】對(duì)A，平均數(shù)受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，故去掉最大值和最小值后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能會(huì)改變，故A不一定正確；對(duì)B，方差反映數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)去掉數(shù)據(jù)中的最小值和最大值后，數(shù)據(jù)的離散程度減小，故方差減小，故B正確；對(duì)C，極差為最大值與最小值之差，是原來(lái)數(shù)據(jù)里面任意兩個(gè)數(shù)之間差值的最大值，故去掉最大值和最小值后，新數(shù)據(jù)的極差必然小于原數(shù)據(jù)的極差，故C正確；對(duì)D，中位數(shù)是把數(shù)據(jù)從小到大依次排列后排在中間位置的數(shù)或中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，因?yàn)槭菍?duì)稱的同時(shí)去掉最小值和最大值，故中間位置的數(shù)相對(duì)位置保持不變，故新數(shù)據(jù)中位數(shù)保持不變，故D正確．故選：A．5.在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱為“芻童”．已知棱臺(tái)是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中，，則該“芻童”外接球的體積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】易知外接球的球心在四棱臺(tái)上下底面中心連線上，設(shè)球心為O，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑即可求其體積．【詳解】如圖，連接AC、BD、、，設(shè)AC∩BD＝M，∩＝N，連接MN．∵棱臺(tái)側(cè)棱相等，∴易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設(shè)外接球球心為O，如圖：易得AC＝4，MC＝2，，，MN＝1，由得，，解得OM＝1，故OC＝，∴外接球體積為．故選：C．6.已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】對(duì)a、b進(jìn)行賦值即可根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行函數(shù)奇偶性的判斷.【詳解】的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，，，故令時(shí)，，令時(shí)，，令，時(shí)，，，即，∴是偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，即不恒為零，故只能為偶函數(shù)，不能為奇函數(shù).故選：B.7.已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，與圓交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A，M在y軸的同側(cè)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由已知確定直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合拋物線定義表示，并求其值.【詳解】由已知拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若直線的斜率不存在，則其方程為，直線和拋物線的交點(diǎn)為，與已知矛盾，故可設(shè)直線直線的方程為，聯(lián)立，消，得，方程的判別式，設(shè)，則，所以，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，由已知可得，所以，故選：A.8.已知，分別是方程和的根，若，實(shí)數(shù)a，，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性求得，結(jié)合換元法以及基本不等式求得正確答案.【詳解】；.函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由解得，設(shè)，則，即，，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：D9.設(shè)函數(shù)，若，恒成立，有以下結(jié)論：①；②為奇函數(shù)；③的單調(diào)遞減區(qū)間是，；④經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線必與函數(shù)的圖象相交．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)，可得具體的函數(shù)，然后按照每個(gè)結(jié)論依次判斷即可.【詳解】，，恒成立，為函數(shù)最小值，即，所以且，所以，所以，，故①正確；，為非奇非偶函數(shù)，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)橹芷?，所以③中的不正確，即③錯(cuò)誤；要使過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象不相交，則必須與軸平行，且，即，，上式不可能成立，故④正確.故選：A10.已知雙曲線（，）的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向圓引一條切線l，l與該雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C.2或 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)與漸近線垂直以及求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)，不妨設(shè)，即直線的方程為，直線和圓相切，所以，整理得，由于，所以與漸近線垂直，設(shè)切點(diǎn)為，則與漸近線的交點(diǎn)為.在中，，則，所以，根據(jù)雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知，漸近線即直線的傾斜角為或，即或，由于，所以雙曲線的離心率為或.故選：C11.已知定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為其導(dǎo)函數(shù)，且滿足恒成立，若，則，，三者的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得，，所以，故考慮構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系證明在上單調(diào)遞減，利用函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，再證明可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，所以，即，又當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，由，可得，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于結(jié)合已知條件構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.12.如圖，在平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC和AD上的定點(diǎn)，，，，將，分別沿著AE，CF向平行四邊形所在平面的同一側(cè)翻折至與處，連接，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，證明平面，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，證明平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理證明，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理證明，解三角形求.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因，所以，所以，所以，又，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因平面，所以，又，平面，，所以平面，由已知，，取的中點(diǎn)，連接，則，，平面，所以平面，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，，所以平面，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，設(shè)，則，由已知，所以為等邊三角形，所以，在中，，，，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，所以，解得或，由已知小于點(diǎn)到直線的距離，所以，故，故選：C.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)平面圖形的翻折考查直線與平面的位置關(guān)系，平面圖形的翻折問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于分析翻折前后的位置關(guān)系的變化和線段長(zhǎng)度和角度的是否變化.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______．【答案】1【解析】【分析】求出和的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出的值.【詳解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴.故答案為：1.14.若，則______．【答案】##【解析】【分析】先利用倍角公式變形轉(zhuǎn)化為二次齊次式，然后利用將式子轉(zhuǎn)化為分式，再分子分母同時(shí)除以，然后代入計(jì)算即可.【詳解】，代入得.故答案為：.15.某單位要舉辦一場(chǎng)晚會(huì)，有兩個(gè)歌唱、兩個(gè)舞蹈、一個(gè)小品、一個(gè)相聲共6個(gè)節(jié)目，要求兩個(gè)歌唱不相鄰演出，且兩個(gè)舞蹈不相鄰演出，則這6個(gè)節(jié)目共有______種不同的演出順序．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算出個(gè)節(jié)目全排列的方法數(shù)，然后減去歌唱或舞蹈相鄰的方法數(shù)，從而求得正確答案.【詳解】個(gè)節(jié)目全排列的方法數(shù)為，個(gè)節(jié)目的安排中，歌唱或舞蹈相鄰的方法數(shù)為，所以符合題意的演出順序有.故答案為：16.已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，圓上兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件可得點(diǎn)三點(diǎn)共線，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求的最小值.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，，因?yàn)?，為圓上兩點(diǎn)，所以點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，因?yàn)楸硎军c(diǎn)，到直線的距離和，表示表示點(diǎn)到直線的距離，分別過(guò)點(diǎn)作與直線垂直，垂足為，則，所以，因?yàn)?，直線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，化簡(jiǎn)可得，即點(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，所以，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于確定所求解析式的幾何意義，并將所求值轉(zhuǎn)化為線段的中點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若．（1）求角A的大??；（2）若，D為BC的中點(diǎn)，求線段AD長(zhǎng)度的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得正確答案.（2）利用圓的幾何性質(zhì)求得的最大值.【小問(wèn)1詳解】依題意，，由正弦定理得，由于是三角形的內(nèi)角，所以，所以，則為銳角，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)三角形外接圓的半徑為，圓心為，則，由于，所以在三角形外接圓上運(yùn)動(dòng)，且只在優(yōu)?。ú话ǘ它c(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，則，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，所以長(zhǎng)度的最大值是.18.自限性疾病是指病情具有自我緩解特點(diǎn)、能夠自行消散的疾病．已知某種自限性疾病在不用藥物的情況下一般10天后可以康復(fù)．為研究A藥物對(duì)該自限性疾病的作用，某研究所對(duì)其進(jìn)行了雙盲實(shí)驗(yàn)，把100名初患該疾病的志愿者隨機(jī)平均分成兩組，甲組正常使用A藥物，乙組用安慰劑代替用藥，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表：小于10天康復(fù)10天后康復(fù)合計(jì)甲組302050乙組104050合計(jì)4060100（1）依據(jù)列聯(lián)表所給數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為用A藥物與小于10天康復(fù)有關(guān)？（2）若將甲組中10天后康復(fù)的頻率視為A藥物無(wú)效的概率，現(xiàn)從患該疾病且用了A藥物的人中隨機(jī)抽取4人，記其中A藥物對(duì)其無(wú)效的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828雙盲實(shí)驗(yàn)：在試驗(yàn)過(guò)程中，測(cè)驗(yàn)者與被測(cè)驗(yàn)者都不知道被測(cè)者所屬的組別（實(shí)驗(yàn)組或?qū)φ战M），分析者在分析資料時(shí)，通常也不知道正在分析的資料屬于哪一組，旨在消除可能出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)者和參與者意識(shí)當(dāng)中的主觀偏差和個(gè)人偏好．安慰劑：是指沒有藥物治療作用，外形與真藥相像的片、丸、針劑．【答案】（1）有99%的把握認(rèn)為用A藥物與小于10天康復(fù)有關(guān)；（2）答案見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)的計(jì)算公式計(jì)算，查表可知；(2)依題意可知X滿足二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布可分別求出分布列和期望.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)列聯(lián)表，可計(jì)算所以有99%的把握認(rèn)為用A藥物與小于10天康復(fù)有關(guān).【小問(wèn)2詳解】記A藥物無(wú)效的概率為p，則，依題意可知,則，，，，，X的分布列如下：X01234P故.19.如圖，在直棱柱中，底面ABCD是平行四邊形，，M為上的點(diǎn)，，．（1）證明：平面；（2）N為線段上的點(diǎn)，若，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，從而可得，證得平面，從而即可證得結(jié)果；（2）由（1）中結(jié)論知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉橹崩庵?，則，且，，則,，所以，即，則，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，連接，設(shè)，則,則，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，則，則，即二面角的正弦值為.20.已知點(diǎn)E是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段DE的垂直平分線與直線EF交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，與AB平行的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于點(diǎn)M，N，直線AM與BN交于點(diǎn)P，試判斷直線OP是否平分線段MN，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）直線OP平分線段MN，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意得，利用橢圓的定義，得點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）設(shè)，的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得到的中點(diǎn)，接著求出直線的方程、直線的方程，聯(lián)立兩直線方程得，由化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，，又∵，∴，∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，所以，∴橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】易得，設(shè)，，將的方程與聯(lián)立消，得，則，得且，且，所以，所以的中點(diǎn)為即，因?yàn)?，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線的方程，得，得，所以，所以三點(diǎn)共線，所以直線OP平分線段MN【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：．【答案】（1）答案詳見解析（2）證明詳見解析【解析】【分析】（1）先求得，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類討論來(lái)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）通過(guò)證明來(lái)證得不等式成立.【小問(wèn)1詳解】的定義域是，，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，也即在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間遞增.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，要證明，即證明，即證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)恒成立，所以在區(qū)間上遞增，，所以.構(gòu)造函數(shù)，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，即.所以，則，結(jié)合可得，從而成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求解含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要注意以下兩點(diǎn)：一個(gè)是首項(xiàng)要求得函數(shù)的定義域，要在定義域的范圍內(nèi)研究函數(shù)的單調(diào)性.第二個(gè)是要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生