人教版數(shù)學(xué)八年級上冊 13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì) 教案

/第十三章軸對稱13.1軸對稱第二課時(shí)13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)1教學(xué)目標(biāo)1.1知識與技能：掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定定理,并會用全等三角形證明。了解三角形每邊的垂直平分線交于一點(diǎn),了解外心的性質(zhì)。掌握尺規(guī)作圖畫垂直平分線的方法,能用尺規(guī)作圖畫出對稱軸。1.2過程與方法：在學(xué)習(xí)垂直平分線判定和性質(zhì)的過程中,進(jìn)一步開展學(xué)生的推理證明意識和能力。在探究垂直平分線性質(zhì)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)點(diǎn)思維能力。1.3情感態(tài)度與價(jià)值觀：在尺規(guī)作圖過程中培養(yǎng)同學(xué)動(dòng)手操作的能力以及做事嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的品德。在探究過程中,激發(fā)同學(xué)探究問題的興趣和探索精神。2教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/易考點(diǎn)2.1教學(xué)重點(diǎn)垂直平分線的性質(zhì)及判定定理。尺規(guī)畫垂直平分線。2.2教學(xué)難點(diǎn)性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和靈活運(yùn)用。三角形外心的存在性。3專家建議本節(jié)內(nèi)容含有抽象的成分較多。一方面,嘗試向?qū)W生滲透“垂直平分線平分線是滿足特定條件的點(diǎn)的集合〞的思想,在動(dòng)點(diǎn)演示中,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。另一方面,在探究三角形外心的存在時(shí),應(yīng)給與學(xué)生充分的思考時(shí)間。4教學(xué)方法觀察思考——交流討論——?dú)w納結(jié)論——?jiǎng)邮植僮鳌a(bǔ)充講解——練習(xí)提高5教學(xué)用具多媒體,教學(xué)用尺規(guī),學(xué)生課前準(zhǔn)備好尺規(guī)。6教學(xué)過程6.1引入新課【師】同學(xué)們好。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了軸對稱的相關(guān)知識,這里面涉及到對稱軸與垂直平分線的關(guān)系。那這節(jié)課開始,我們先來看這樣一組問題,請大家看投影。圖中的△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱。直線l與線段AA′有什么關(guān)系？線段BB′呢？線段CC′呢？【生】直線l是這些線段的垂直平分線?！編煛坑覉D中的圖形的對稱軸是直線l,A、A′是對應(yīng)點(diǎn),B、B′是對應(yīng)點(diǎn)。直線l與線段AA′有什么關(guān)系？線段BB′呢？【生】直線l是這些線段的垂直平分線。【師】很好,那也就是說,如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對稱圖形的對稱軸,是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。我們今天,就接著來學(xué)習(xí)線段的垂直平分線,這里面可大有文章?！景鍟康谑螺S對稱13.1軸對稱第二課時(shí)13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)6.2新知介紹探究：線段的垂直平分線的性質(zhì)〔教材61頁探究〕【師】下面我們來思考這樣一個(gè)問題：如圖,直線l垂直平分線段AB,P1,P2,P3,…是直線l上的點(diǎn)。分別測量P1,P2,P3,…到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)？【生】〔思考,交流,給出答案〕P1,P2,P3,…到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都相等?！編煛繘]錯(cuò),如果我們不用測量的方法分析,可以發(fā)現(xiàn),把線段AB沿著直線l對折,P1A與P1B,P2A與P2B,P3A與P3B…都將重合,也就是說,直線l上的點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都相等！這就是線段的垂直平分線的第一個(gè)性質(zhì)?！舶鍟騊PT講解〕【板書/PPT】線段的垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。數(shù)學(xué)語言：∵l⊥AB,AC=BC,且點(diǎn)P在l上∴PA=PB【師】那我們怎么來證明這個(gè)定理呢？聯(lián)系你們之前學(xué)過的知識,誰能給出思路？【生】我們可以利用全等三角形的知識來證明。推廣：線段的垂直平分線的判定【師】剛剛我們知道了,線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,那現(xiàn)在我們打一個(gè)問號,反過來問：如果PA=PB,點(diǎn)P在AB的垂直平分線上嗎？誰能給出這個(gè)問題的和求證？【生】PA=PB,AC=CB,求證：直線PC垂直平分AB。【師】非常好,那同學(xué)們試著自己給出證明過程?！旧孔C明：在△PCA和△PCB中：PC=PCAC=BCPA=PB∴△PCA≌△PCB(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB且AC=CB即：直線PC垂直平分AB?！編煛客ㄟ^大家嚴(yán)密的證明,我們現(xiàn)在可以得出結(jié)論：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。這就是用于判定垂直平分線的定理?！景鍟?PPT】線段的垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。數(shù)學(xué)語言：〔同上圖〕∵PA=PB∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上又∵C是AB的中點(diǎn)∴直線PC是線段AB的垂直平分線。注意：要證明一條直線是某一線段的垂直平分線,必須證明有兩個(gè)點(diǎn)在垂直平分線上。【師】同學(xué)們注意：要證明一條直線是某一線段的垂直平分線,必須證明有兩個(gè)點(diǎn)在垂直平分線上。常見的組合有：一個(gè)到線段兩端距離相等的點(diǎn)+線段中點(diǎn)；兩個(gè)到線段兩端距離相等的點(diǎn)?！編煛繌膭倓偽覀儗W(xué)習(xí)的性質(zhì)定理和判定定理可以看出,線段AB的垂直平分線l上面的點(diǎn)與A,B的距離都相等；反過來,與A,B的距離相等的點(diǎn)都在l上；直線l可以看成與兩點(diǎn)A,B的距離相等的所有點(diǎn)的集合?！景鍟?PPT】垂直平分線可以看做是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合。尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線【師】下面我們來學(xué)習(xí)如何利用剛剛的判定定理作線段的垂直平分線〔教師演示或用PPT演示過程〕。【板書/PPT】尺規(guī)法畫垂直平分線。分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于?AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)C,D,直線CD即為所求?！編煛咳绻麅蓚€(gè)圖形成軸對稱,或者一個(gè)圖形是軸對稱圖形,只要能找到一對對應(yīng)點(diǎn),作出對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線,就能得到對稱軸?！編煛肯旅嫖覀儊砜催@樣一個(gè)問題：我們之前學(xué)習(xí)過如何過直線外一點(diǎn)畫直線的垂線,當(dāng)時(shí)用到了三角板?，F(xiàn)在,能否不用三角板,僅用尺規(guī)就能過直線外頂點(diǎn)畫一直線的垂線呢？【生】只要在直線上截取一段線段,再畫出這段線段的垂直平分線就行了?！編煛亢芎?大家很會舉一反三。三角形的外心【師】我們學(xué)習(xí)了三角形,知道了它是由三條線段首尾相接組成的圖形。那下面,我們來做這樣一個(gè)任務(wù)：大家畫出任意一個(gè)三角形,再畫出這三條邊的垂直平分線,你有什么發(fā)現(xiàn)？【生】這三條垂直平分線交于一點(diǎn)。【師】那你們?nèi)我庠佼嫵鰩讉€(gè)三角形試一下,這個(gè)發(fā)現(xiàn)還成立嗎？【生】仍然成立。【師】那好,下面試著證明你們的猜測。我們怎樣把這個(gè)猜測轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言呢？請大家思考一下。【生】〔在教師引領(lǐng)下逐漸完善和求證,此為難點(diǎn),對應(yīng)題目為教材66頁13題〕如圖,在△ABC中,邊AB,BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,連接PA,PB和PC。求證：PA=PB=PC點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你能得到什么結(jié)論？【師】非常好,那同學(xué)們試著自己給出證明過程。【生】∵邊AB,BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P∴PA=PB,且PB=PC∴PA=PB=PC根據(jù)PA=PC,可知點(diǎn)P也在邊AC的垂直平分線上。【師】非常好,大家剛剛運(yùn)用線段的垂直平分線的判定定理解決了這樣一個(gè)問題。也就是說,對任意一個(gè)三角形,其三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心。外心到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等?！景鍟?PPT】三角形的外心任意一個(gè)三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心。外心到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。課堂小結(jié)〔投影,給出知識脈絡(luò)圖〕6.3復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置課堂練習(xí)點(diǎn)A,B關(guān)于直線a對稱〔點(diǎn)A,B不重合〕,P是直線a上一點(diǎn),以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕直線AB和直線a垂直直線a是點(diǎn)A和點(diǎn)B的對稱軸線段PA和線段PB相等假設(shè)PA=PB,那么點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)如圖,OP平分∠AOB,PA⊥OA于A,PB垂直于OB于B,以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕PA=PBOA=OBPO垂直平分ABAB垂直平分OP如圖,AB=AC,MB=MC,直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？如圖,AD⊥BC,BD=DC,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上。AB+BD與DE的長度有什么關(guān)系？說明你的理由。答案：1、D2、D3、解：∵AB=AC∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上又MB=MC∴點(diǎn)M在BC的垂直平分線上即直線AM是線段BC的垂直平分線4、解：AB+BD=DE,證明如下：在△ACD和△ABD中,CD=BD〔〕∠ADC=∠ADB=90oDF=DB〔公共邊〕∴AB=AC〔對應(yīng)邊相等〕∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上∴AC=EC,也即AB=AC=CE∴AB+BD=CE+DC=DE作業(yè)布置1、完成配套課后練習(xí)題2、預(yù)習(xí)提綱：13.2畫軸對稱圖形7板書設(shè)計(jì)第十三章軸對稱13.1軸對稱第二課時(shí)13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。數(shù)學(xué)語言：∵l⊥AB,AC=BC,且點(diǎn)P在l上∴PA=PB線段的垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。數(shù)學(xué)語言：〔同上圖〕∵PA=PB∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上又∵C是AB的中點(diǎn)∴直線P