《鐵路運輸與公路運輸》課件【精美版】

第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布下面討論隨機變量函數(shù)的分布的計算問題。一、一般方法問題：若是(Ω,

,P)

上的n維隨機變量，4/1/20241北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布下面討論隨機變量函數(shù)的分布的計算4/1/20242北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/20242北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院解：由（2.5.2）式得η的分布函數(shù)

4/1/20243北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院解：由（2.5.2）式得η的分布函數(shù)3/31/20243北京例2.5.2略，請見教材P394/1/20244北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院例2.5.2略，請見教材P393/31/20244北京郵電大4/1/20245北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/20245北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院二、特殊方法（略，自學(xué)）作業(yè)：P43-1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、114/1/20246北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院二、特殊方法（略，自學(xué)）3/31/20246北京郵電大學(xué)電子第三章隨機變量的數(shù)字特征

主要內(nèi)容：隨機變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差以及各種矩，最根本的是隨機變量的均值，即數(shù)學(xué)期望的定義和計算問題（本章重點）。討論思路：與均值的定義和計算密切相關(guān)的是可測函數(shù)的積分問題，因此首先討論一般可測函數(shù)的積分概念（本章難點）；其次，隨機變量的數(shù)學(xué)期望作為特殊可測函數(shù)（隨機變量）的積分問題，給出其定義，并討論其性質(zhì)；然后再轉(zhuǎn)移到空間上，試圖用分布函數(shù)的L-S積分來給出數(shù)字特征的計算公式；并進(jìn)一步討論條件數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)；最后給出常用的幾個不等式。4/1/20247北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院第三章隨機變量的數(shù)字特征主要內(nèi)容：隨機變量的數(shù)字特征：一、可測函數(shù)的積分下面假定用到集合A,B,…和函數(shù)?,g,…都是測度空間(Ω,

,P)（不一定是概率空間）上的可測集合和實可測函數(shù)。定義3.1.1設(shè)?是非負(fù)簡單函數(shù)4/1/20248北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院一、可測函數(shù)的積分3/31/20248北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)關(guān)于以上定義的幾點說明：4/1/20249北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院關(guān)于以上定義的幾點說明：3/31/20249北京郵電大學(xué)電子證明：簡單分析（1）成立的原因4/1/202410北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院證明：簡單分析（1）成立的原因3/31/202410北京郵電4/1/202411北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202411北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院下面的定理很重要，它說明對非負(fù)可測函數(shù)求積分和求極限可以交換順序。4/1/202412北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院下面的定理很重要，它說明對非負(fù)可測函數(shù)求積分和求極限可以交4/1/202413北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202413北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院4/1/202414北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202414北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院4/1/202415北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202415北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院4/1/202416北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202416北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院當(dāng)?，g為非負(fù)可測函數(shù)和一般的實可測函數(shù)的證明，見教材P47（略）定義3.1.5若?，g（a.e.）幾乎處處有定義，且存在可測函數(shù)g，使得積分存在，?=g（a.e.），則定義?在Ω上關(guān)于P的積分：4/1/202417北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院當(dāng)?，g為非負(fù)可測函數(shù)和一般的實可測函數(shù)的證明，見教材P474/1/202418北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202418北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院4/1/202419北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202419北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院三、復(fù)可測函數(shù)及其積分4/1/202420北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202420北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院第二節(jié)隨機變量的數(shù)字特征

隨機變量ζ是概率空間(Ω,

,P)上去有限值的實可測函數(shù)，有了(Ω,

,P)上的一般可測函數(shù)積分的定義，隨機變量ζ作為特殊的實可測函數(shù)，在(Ω,

,P)上的積分即為隨機變量的數(shù)學(xué)期望；而它的其它數(shù)字特征，其實就是隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題。一、數(shù)學(xué)期望、方差及其性質(zhì)定義3.2.1設(shè)ζ是概率空間(Ω,

,P)上的隨機變量，若ζ在Ω上關(guān)于P的積分存在，則稱該積分為ζ的數(shù)學(xué)期望，記為：

4/1/202421北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院第二節(jié)隨機變量的數(shù)字特征隨機變量ζ是概率空間(Ω,數(shù)學(xué)期望具有下列性質(zhì)：4/1/202422北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院數(shù)學(xué)期望具有下列性質(zhì)：3/31/202422北京郵電大學(xué)電子4/1/202423北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202423北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院4/1/202424北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202424北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院4/1/202425北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院3/31/202425北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院定義3.2.2設(shè)ζ是概率空間(Ω,

,P)上的隨機變量，E(

)存在，則稱：4/1/202426北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院定義3.2.2設(shè)ζ是概率空間(Ω,,P)上的隨機變量二、隨機變量的矩定義3.2.3設(shè)

是概率空間(Ω,

,P)上的隨機變量，如果4/1/202427北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院二、隨機變量的矩3/31/202427北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)（自學(xué)）注意：兩個隨機變量的協(xié)方差描述的是它們圍繞各自的數(shù)學(xué)期望的集中程度；兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)描述的是這兩個隨機變量的相關(guān)程度。四、n維隨機變量的數(shù)字特征（自學(xué)）四是三的推廣，因此要注意理解協(xié)方差矩陣的定義、性質(zhì)以及其物理