【數(shù)學(xué)】《拋物線的幾何性質(zhì)》課件(新人教A版選修)

拋物線的幾何性質(zhì)2024/4/1拋物線的幾何性質(zhì)2024/3/31結(jié)合拋物線y2=2px(p>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索其的幾何性質(zhì):(1)范圍(2)對(duì)稱性(3)頂點(diǎn)類比探索x≥0,y∈R關(guān)于x軸對(duì)稱,對(duì)稱軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點(diǎn).2024/4/1結(jié)合拋物線y2=2px(p>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索其的幾(4)離心率(5)焦半徑(6)通徑始終為常數(shù)1通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度：2P思考：通徑是拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦嗎？2024/4/1(4)離心率始終為常數(shù)1通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線特點(diǎn)1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響.P越大,開口越開闊2024/4/1特點(diǎn)1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸12024/4/1lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2pxy2例題例1.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,并且過點(diǎn)M(2,)的拋物線有幾條,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程,例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論y2=4x焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度2024/4/1例題例1.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,并且過點(diǎn)例2.斜練習(xí):1.過拋物線的焦點(diǎn),作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為y2=8x2.過拋物線的焦點(diǎn)做傾斜角為的直線L,設(shè)L交拋物線于A,B兩點(diǎn),(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.2024/4/1練習(xí):1.過拋物線的焦點(diǎn),作傾斜角為yy2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱

關(guān)于x軸對(duì)稱

關(guān)于y軸對(duì)稱

關(guān)于y軸對(duì)稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2024/4/1y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=例3.過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,求證:直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.xOyFABD練習(xí):P68T32024/4/1例3.過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),通過點(diǎn)A和拋yOxBA2024/4/1yOxBA2024/3/312024/4/12024/3/312024/4/12024/3/31等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(P>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則ΔAOB的面積為A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p22024/4/1等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(P>0),O為1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是

.2、一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，都在拋物線上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積為

。2024/4/11、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱2024/3/31例2、已知直線l：x=2p與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.證明：由題意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OA⊥OB推廣1若直線l過定點(diǎn)(2p,0)且與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.xyOy2=2pxABL:x=2pC(2p,0)xyOy2=2pxABlC(2p,0)證明：設(shè)l的方程為y=k(x-2p)或x=2p

所以O(shè)A⊥OB.代入y2=2px得，可知又2024/4/1例2、已知直線l：x=2p與拋物線=2px(p>0)直線l過定點(diǎn)(2p,0)推廣2：

若直線l與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，則__________

xyOy2=2pxABlC(2p,0)驗(yàn)證：由得所以直線l的方程為即而因?yàn)镺A⊥OB，可知推出，代入得到直線l

的方程為所以直線過定點(diǎn)（2p,0).高考鏈接：過定點(diǎn)Q（2p,0)的直線與y2=2px（p＞0）交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓H(H為圓心），試證明拋物線頂點(diǎn)在圓H上。2024/4/