集合與函數(shù)概念

關(guān)于集合與函數(shù)概念1.理解函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的三要素.2.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集.3.會求一些簡單函數(shù)的定義域、函數(shù)值.學(xué)習(xí)目標(biāo)第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾欄目索引第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的

，在集合B中都有

和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作

.(2)函數(shù)的定義域與值域：函數(shù)y＝f(x)中，x叫做

，

叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做

，函數(shù)值的集合

叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的

.答案子集任意一個數(shù)x唯一確定的數(shù)f(x)y＝f(x)，x∈A自變量x的取值范圍A函數(shù)值{f(x)|x∈A}第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天知識點(diǎn)二函數(shù)的三要素函數(shù)的三個要素：定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域.(1)定義域定義域是自變量x的取值集合.有時函數(shù)的定義域可以省略，如果未加特殊說明，函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合.(2)對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系f是核心，它是對自變量x進(jìn)行“操作”的“程序”或者“方法”，是連接x與y的紐帶，按照這一“程序”，從定義域集合A中任取一個x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一確定的y與之對應(yīng).第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天(3)值域函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，通常一個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定了，那么它的值域也會隨之確定.思考(1)符號“y＝f(x)”中“f”的意義是什么？答符號“y＝f(x)”中“f”表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的具體函數(shù)中，“f”的含義不一樣.例如y＝f(x)＝x2中，“f”表示的對應(yīng)關(guān)系為因變量y等于自變量x的平方，從而f(a)＝a2，f(x＋1)＝(x＋1)2，而函數(shù)y＝f(x)＝2x中，“f”表示的對應(yīng)關(guān)系為因變量y等于自變量x的二倍，從而f(a)＝2a，f(x＋1)＝2(x＋1).答案第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天(2)有人認(rèn)為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對嗎？答這種看法不對.符號y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是關(guān)系所施加的對象；f是對應(yīng)關(guān)系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時，相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值.y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號，不表示“y等于f與x的乘積”.在研究函數(shù)時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù).(3)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？答

f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時，函數(shù)f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時，f(8)＝3×8＋4＝28是一個常數(shù).答案第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天答案知識點(diǎn)三函數(shù)相等如果兩個函數(shù)的

相同，并且

完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等.思考函數(shù)y＝x2＋x與函數(shù)y＝t2＋t相等嗎？答相等，這兩個函數(shù)定義域相同，都是實(shí)數(shù)集R，而且這兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也相同，因此這兩個函數(shù)相等.函數(shù)相等與否與自變量用什么字母沒有關(guān)系，只是習(xí)慣上自變量用x表示.對應(yīng)關(guān)系定義域第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天知識點(diǎn)四區(qū)間概念區(qū)間的定義、名稱、符號及數(shù)軸表示如下表：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半閉半開區(qū)間[a，b)第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天{x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]{x|x≥a}

[a，＋∞){x|x>a}

(a，＋∞){x|x≤a}

(－∞，a]{x|x<a}

(－∞，a)R

(－∞，＋∞)取遍數(shù)軸上所有的值第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天答案返回思考(1)對于區(qū)間[a，b]而言，區(qū)間端點(diǎn)a，b應(yīng)滿足什么關(guān)系？答若a，b為區(qū)間的左右端點(diǎn)，則a<b.(2)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？答不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合{0}就不能用區(qū)間表示.(3)“∞”是數(shù)嗎？如何正確使用“∞”？答

“∞”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數(shù).以“－∞”或“＋∞”作為區(qū)間一端時，這一端必須是小括號.第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天題型探究重點(diǎn)突破題型一函數(shù)概念的應(yīng)用例1設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(

)A.0個B.1個C.2個D.3個解析①錯，x＝2時，在N中無元素與之對應(yīng)，不滿足任意性.②對，同時滿足任意性與唯一性.③錯，x＝2時，對應(yīng)元素y＝3?N，不滿足任意性.④錯，x＝1時，在N中有兩個元素與之對應(yīng)，不滿足唯一性.解析答案反思與感悟B第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1.判斷一個對應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系的方法：(1)A，B必須都是非空數(shù)集；(2)A中任意一個數(shù)在B中必須有并且是唯一的實(shí)數(shù)和它對應(yīng).注意：A中元素?zé)o剩余，B中元素允許有剩余.2.函數(shù)的定義中“任意一個x”與“有唯一確定的y”說明函數(shù)中兩變量x，y的對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或者是“多對一”而不能是“一對多”.反思與感悟第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案跟蹤訓(xùn)練1下列對應(yīng)關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是(

)A.A?R，B?R，x2＋y2＝1B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1對于B，符合函數(shù)的定義.對于C，2∈A，但在集合B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)，故不符合.對于D，－1∈A，但在集合B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)，故不符合.B第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案題型二判斷是否為同一函數(shù)例2判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：解

f(x)的定義域中不含有元素0，而g(x)的定義域?yàn)镽，定義域不相同，所以二者不是同一函數(shù).解

f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，而g(x)的定義域?yàn)?－∞，－1]∪[0，＋∞)，定義域不相同，所以二者不是同一函數(shù).第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案反思與感悟(3)f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1；解盡管兩個函數(shù)的自變量一個用x表示，另一個用t表示，但它們的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，對定義域內(nèi)同一個自變量，根據(jù)表達(dá)式，都能得到同一函數(shù)值，因此二者為同一函數(shù).(4)f(x)＝1與g(x)＝x0(x≠0).解

f(x)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，因此二者不是同一函數(shù).第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天反思與感悟判斷兩個函數(shù)是否相同，只需判斷這兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同.(1)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，則兩個函數(shù)相同；(2)定義域不同，則兩個函數(shù)不同；(3)對應(yīng)關(guān)系不同，則兩個函數(shù)不同；(4)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，也不一定相同，例如y＝x和y＝2x－1的定義域和值域都是R，但不是同一函數(shù)；(5)兩個函數(shù)是否相同，與自變量用什么字母表示無關(guān).第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天跟蹤訓(xùn)練2下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(

)C答案第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案反思與感悟題型三求函數(shù)的定義域例3求下列函數(shù)的定義域：所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤1，且x≠－1}.解要使函數(shù)有意義，必須滿足|x|－x≠0，即|x|≠x，∴x＜0.∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＜0}.第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天反思與感悟1.當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，必須考慮下列各種情形：(1)負(fù)數(shù)不能開偶次方，所以偶次根號下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能為0；(3)零次冪的底數(shù)不為0；(4)如果f(x)由幾部分構(gòu)成，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的集合；(5)如果函數(shù)有實(shí)際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實(shí)際情況.2.求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案跟蹤訓(xùn)練3求下列函數(shù)的定義域：解由于00無意義，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，x>－2，所以x>－2且x≠－1.第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案反思與感悟題型四求函數(shù)值(1)求f(2)，g(2)的值；又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)求f[g(3)]的值.解

∵g(3)＝32＋2＝11，第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天反思與感悟求函數(shù)值時，首先要確定出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f的具體含義，然后將變量代入解析式計(jì)算，對于f[g(x)]型的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進(jìn)行，要注意f[g(x)]與g[f(x)]的區(qū)別.第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天抽象函數(shù)定義域理解錯誤致誤易錯點(diǎn)解析答案易錯警示例5已知函數(shù)f(3x＋1)的定義域?yàn)閇1,7]，求函數(shù)f(x)的定義域.錯解因?yàn)閒(3x＋1)的定義域?yàn)閇1,7]，即1≤3x＋1≤7，解得0≤x≤2，所以f(x)的定義域?yàn)閇0,2].正解令3x＋1＝t，則4≤t≤22，即f(t)中，t∈[4,22]，故f(x)的定義域?yàn)閇4,22].第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天易錯警示錯誤原因糾錯心得對定義域是自變量x的取值范圍理解錯誤.(1)已知f(x)的定義域?yàn)锳，求f[φ(x)]的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知φ(x)的取值范圍為A，求x的取值范圍.(2)已知f[φ(x)]的定義域?yàn)锽，求f(x)的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知f[φ(x)]中x的取值范圍為B，求φ(x)的取值范圍(值域)，此范圍就是f(x)的定義域.若不能正確理解φ(x)與x的關(guān)系將導(dǎo)致錯誤.第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解析答案返回跟蹤訓(xùn)練5若f(x)的定義域?yàn)閇－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定義域.解得－3≤x≤3.所以函數(shù)φ(x)的定義域?yàn)閇－3,3].第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)堂檢測12345解析答案1.下列圖象中能表示函數(shù)y＝f(x)圖象的是