近五年（2017-2021）高考數(shù)學真題分類匯編 平面向量

近五年（2017-2021）高考數(shù)學真題分類匯編

五、平面向量

一、多選題

1.（2021?全國新高考1）已知0為坐標原點，點《（cosa,sina）,g（cos2,-sin"）,

月（cos（a+4）,sin（a+4）），A（l,0）,則（）

A.|M=|網B.|叫=|明

C.OAOP=OPOP

OAOPI=OPCOP2D.}2y

二、單選題

2.（2021?浙江）已知非零向量”*,c,則“a.c="c”是"a=b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.（2020?海南）在..A8C中，。是AB邊上的中點，則Q5=（)

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

4.（2020?海南）已知P是邊長為2的正六邊形A8CQEF內的一點,則AP-AB的取值

范圍是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

5.（2020?全國2（理））已知向量成a,Z?滿足Ia1=5,|。|=6ab=-6>則

cos(a,q+6)=

)

A.且,191719

B.----C.—D.—

35353535

6.（2020?全國3（文））已知單位向量”,〃的夾角為60。，則在下列向量中，與〃垂直

的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-h

7.(2019?全國2(文))已知向量a=(2,3)$=(3,2),則1|=

A.72B.2

C.572D.50

8.（2019?全國1（文））已知非零向量a石滿足H=2”，且（a-b）工b，則a與人的

夾角為

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

9.（2019?全國2（理））已知AB=（2,3）,AC=（3，。，忸。卜1,則A5-5C=

A.-3B.-2

C.2D.3

10.（2018?北京（理））設向量a,〃均為單位向量，則“|"3。|03。+以''是''：_1力''的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

11.（2018?浙江）已知.、b、e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角

為耳?，向量b滿足。?—4e+3=0，則卜-目的最小值是

A.73-1B.73+1C.2D.2-73

12.（2018?天津（理））如圖，在平面四邊形A3C。中，

AB±BC,AD±CD,ABAD=120,AB=AO=1,若點E為邊CO上的動點，則

AEBE的最小值為

21325

A.B.-C.—D.3

16216

13.（2018?全國1（文））在△ABC中，AO為邊上的中線，E為AO的中點，則

EB=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

31——1-3

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

14.（2018?全國2（文））已知向量a,b滿足同=1,ab=-l＞則a-（2a-b）=

A.4B.3C.2D.0

15.（2018?天津（文））在如圖的平面圖形中，已知OM=1,ON=2,NMON=120,

BM=2M4,CN=2NA,則BCOM的值為

A.-15B.-9

C.-6D.0

16.（2017?浙江）如圖，已知平面四邊形ABC。，ABVBC,AB^BC=AD=2,CD=3,

AC與8。交于點O,記,I=OBOC,I3=OCOD,貝U

A.1\<12<13B.11^132C.D.12<]1<13

17.（2017?全國2（理））己知.ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面A8C內一點，

貝ijPA.（PB+PC）的最小值是（）

34

A.-2B.---C.---D.—1

23

18.（2017?北京（文））設也”為非零向量，則“存在負數(shù)/I,使得機=丸〃”是“機?〃<（）”

的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

19.（2017?全國2（文））設非零向量d,〃滿足,+可=卜一可，則

A.dVbB.同=網

C.d//bD.\a\>\b\

三、填空題

20.（2021?浙江）已知平面向量風dc,（cH0）滿足M=1,忖=2,a2=0,?c=0.

記向量d在。/方向上的投影分別為x,y,d-a在c方向上的投影為z,則f+丁+z2

的最小值為.

21.（2021?全國甲（文））若向量a/滿足卜卜3,k一4=5,。?0=1,則慟=.

22.（2021?全國甲（理））已知向量a=（3,1）,/?=（l,0）,c=a+以J.若a_Lc，則”=

23.（2021?全國乙（理））已知向量a=（l,3）,/?=（3,4）,若（a—4份,匕，貝飄=

24.（2021.全國乙（文））已知向量a=（2,5）,Z?=（/l,4）,若》/力，則;1=

25.（2020?浙江）設,e；為單位向量，滿足|2勺-?2區(qū)近，a=ei+e2,b=3ex+e2,

設a，b的夾角為。，則cos?。的最小值為.

26.（2020?江蘇）在△ABC中，AB=4,AC=3,Z7MC=90。,。在邊BC上，延長AO

3

到尸，使得AP=9,^PA=mPB+（--m）PC為常數(shù)），則C。的長度是

2

--I1

27.（2020?全國1（文））設向量a=（l,-4）,6=（利+1,2加一4）,若aLb，則血=

28.（2020.全國1（理））設為單位向量，且|a+Z?|=l,則|。一。|=.

29.（2020.全國1（理））已知單位向量〉了的夾角為45。，與;垂直，則

k=.

30.（2019?江蘇）如圖，在6ABe中，。是的中點，E在邊A8上，BE=2EA,AD

A3

與CE交于點。.若AB.47=640EC，則k的值是-

AC

31.（2019?北京（文））己知向量。=（—4,3）,b=（6,m）,S.aA.h,則m=.

32.（2019?全國3（文））已知向量9=（2,2）,6=（-8,6）,則cos（a,b）=.

33.（2019?全國（理））已知為單位向量，且若c=2a-J5。，則

cos<a,c>=.

34.（2019?天津（文））在四邊形A8CD中，AD//BC,AB=2^>，AD=5,

NA=30°，點E在線段C3的延長線上，且AE=BE,則.

35.（2019?上海）在橢圓土-+乙=1上任意一點P,。與P關于x軸對稱，若有

42

F}PF2P<\,則HP與巴。的夾角范圍為

2

36.（2018?上海）已知實數(shù)玉、/、弘、為滿足：x:+y|2=i,x2+y2=1,

W+xT,舊+%-U

玉々+"2=1,則的最大值為

2

37.（2018?江蘇）在平面直角坐標系xOy中，A為直線/：y=2x上在第一象限內的點,

5（5,0）,以A8為直徑的圓C與直線/交于另一點0.若AB-CO=0,則點A的橫

坐標為?

38.（2018?北京（文））設向量a=（1,0）,b=（Tj”）,若a_L（加,貝U〃?=.

39.（2018?全國3（理））已知向量a=（l,2）,匕=（2,-2）,c=（l,A）.若c（2a+b1

則2=.

40.（2017?上海）如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點耳、P-〃、巴以及

四個標記為“”的點在正方形的頂點處，設集合。={4,￡,《,呂}，點尸€。，過P作

直線/尸，使得不在％上的“”的點分布在0的兩側.用。（0）和。2（/p）分別表示一

側和另一側的“”的點到。的距離之和.若過P的直線0中有且只有一條滿足

2（/p）=4（/p）,則。中所有這樣的p為

41.（2017?北京（文））已知點P在圓f+y2=1上，點A的坐標為（一2,0）,。為原點，

則AO-AP的最大值為.

42.（2017?全國1（理））已知向量&與b的夾角為60°,\a\=2,\b1=1，則I。+2b1=

43.（2017?天津（文））設拋物線y2=4x的焦點為尸，準線為/.已知點C在/上，以C

為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若NE4C=120。，則圓的方程為.

44.（2017?天津（文））在<中，ZA=60°,AB=3,AC=2fBD=2DC，

AE=AAC-AB（AeR）,且A￡>.AE=-4，則2的值為.

45.（2017?山東（理））已知q,e2是互相垂直的單位向量，若由q-g與q+入e2

的夾角為60。，則實數(shù)入的值是一.

46.（2017?全國3（文））已知向量。=（一2,3）1=（3,加），且4_1_力，則〃?=.

47.（2017?全國1（文））已知向量a=（-l,2）,b=（m,1）,若（a+b）_La,則

m=?

48.（2017?山東（文））已知向量。=（2,6）力=（—1,之）,若。〃4則2=.

49.（2017?江蘇）在同一個平面內，向量。4。氏0。的模分別為1,1,0,。4與。。的

夾角為a,且tana=7,OB與0c的夾角為45，若。。="2。4+〃。3（/篦,〃￡尺），

則m-k-n=.

50.（2020?天津）如圖，在四邊形A5C。中，ZB=60\AB=3,BC=6,且

3

AD=ABC.AO-A8=-二，則實數(shù)4的值為,若M,N是線段8C上的

2

動點，且|MN|=1,則。ON的最小值為.

51.（2020?北京）已知正方形ABC。的邊長為2,點尸滿足AP=g（A8+AC）,則

口。1=--------------；PBPD=-------------

52.（2019?浙江）已知正方形ABCO的邊長為1,當每個4。=123,4,5,6）取遍±1時,

的最小值是；最大值是

14AB+A^BC+CD+A4DA+A5AC+A6BD|

53.（2017?浙江）已知向量滿足口=1，M=2,則卜+目+卜一4的最小值是

，最大值是.

四、解答題

54.（2017?江蘇）已知向量a=（cosx,sinx）,xe[0,句.

（1）若〃，求X的值；

（2）記/（x）=a?b,求函數(shù)y=/（x）的最大值和最小值及對應的x的值.

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五、平面向量(答案解析)

1.AC

【解析】

2

A：OF\=(cosa,sin。)，0Pl=(cos尸，一sin4),所以|OP}|=A/COSa+sin2a=1，

|OP2\=J(cos0)?+(-sin,y=1，故IOP{|=|OP21,正確；

B：APX=(cosa-I,sina),AR=(cosy5-l,-sin/?),所以

I|=5/(cos^-l)2+sin2a-Jcos?a-2cosa+1+sin2a=J2(l-cosa)=^4sin2y=21sin-y|

同理|A鳥|=J3s夕一+sin?夕=21sinj,故||不一定相等，錯誤；

C：由題意得：OAOP3=lxcos(2+/7)+0xsin(a+Q)=cos(a+Q),

OP、OR=cosa-cos/3+^na-<-sin/3)=cos(<z+/3)，正確；

D：由題意得：。4。勺=lxcosa+Oxsina=cos。，

OP,OP3=cos/3xcos(cr+尸)+(—sin/7)xsin(a+J3)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般來說w0鳥故錯誤；

2.B

【解析】

若a?c=b?c,貝ll,c=。，推不出°=6;若a=b,則Q.C=〃,C必成立，

故"a-c=h-c"是“a=h”的必要不充分條件

3.C

【解析】

4.A

【解析】

AB的模為2,根據正六邊形的特征，可以得到AP在A5方向上的投影的取值范圍是(-h3),

結合向量數(shù)量積的定義式，可知APAB等于AB的模與AP在AB方向上的投影的乘積,

所以AP-A3的取值范圍是(一2,6),

5.D

【解析】卜］=5,|“=6,〃.8=一6，.?.々?(Q+h)=W+<2-/?=52-6=19.

,+〃卜J(a+Z?)=飛J+2a?b+b,-525-2x6+36=7，

Q'(Q+O)1919

因此，COS<。,〃+>>=*］----T=----=一.

〃.卜+〃5x735

6.D

【解析】由已知可得：4為=田年cos60°=lxlxg=g.

.215

A：因為(a+2份力=am+2h=-+2xl=-^0,所以本選項不符合題意；

22

B：因為(2a+6)為=2am+/=2x‘+l=2w0,所以本選項不符合題意；

2

-2I3

C：因為(a-26)"=a?〃-2b=—―2x1=-二。0,所以本選項不符合題意；

22

..21

D：因為(2a—3小=2"2一/=2x—―1=0,所以本選項符合題意.

2

7.A

【解析】由已知，4一匕=(2,3)-(3,2)=(-1,1),所以|“_切=J(_l)2+f=五,

8.B

【解析】因為(a—Z?)_LZ?,所以(a—b)-b=a?b—力=。，所以a2=Z7~，所以cosO=

a-b\b\21兀

麗=訴=5'所以。與匕的夾角為丁故選民

9.C

［解析］由BC=AC-A8=(1,7-3),=#+(-3)2=1,得/=3,則3C=(1,()),

AB.BC=(2,3)?(1,())=2xl+3x0=2.故選C.

10.C

【解析】因為向量。力均為單位向量

所以|。一3加=|3a+Z?|-3b)~=(3a+〃)"oj一6。仍+9片=91+6。/+//

所以“Ia-3引=|3a+例”是“alb”的充要條件

11.A

【解析】設〃=(%,6,0=(1,0),。=(加,小,

111111

Z\兀兀71

則由e)=5得a?e=a-ecos—,x=5J%一+/,y—i>/3x,

3

由-4；.3+3=0得病+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,

因此，，-'的最小值為圓心(2,0)到直線y=±6x的距離乎=g減去半徑1,為

百-1.選A.

12.A

【解析】連接BD,取AD中點為0,可知△A3。為等腰三角形，而A8，BC,AZ)，C。,

所以△BCD為等邊三角形，BD=6設。E=/OC(OK/W1)

Q3

=3Z2--Z+-(0</<1)

22

]21

所以當/=一時，上式取最小值一，選A.

416

點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量

都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數(shù)求最值。

13.A

【解析】根據向量的運算法則，可得

BE^-BA+-BD=-BA+-BC^-BA+~(BA+AC)

222424、'

=-BA+-BA+-AC^-BA+-AC,

24444

所以旗=』48-工4。，故選A.

44

14.B

【解析】因為小(2。一。)=2。2一。/=2|。|2_(-1)=2+1=3,

15.C

【解析】如圖所示，連結

由=2MA,CN=2NA可知點M,N分別為線段AB,AC上靠近點A的三等分點,

則BC=3MN=3(0N-0M),

由題意可知：0加2=『=1，OM?ON=lx2xcosl20=—1，

結合數(shù)量積的運算法則可得：

BCOM=3(0N-OM)OM=30N0M-30M2=一3-3=-6.

本題選擇C選項.

16.C

【解析】因為ZAO8=NCOD>90，0A<0C，0B<0D,

所以O8OC>0>OAO8>OC。。，故選C.

17.B

【解析】建立如圖所示的坐標系，以BC中點為坐標原點，則A(0,Ji),B(-l,0),C(l,0),

設P(x,y),則PA=(-x,百一y),PB=(-1-x,-y),PC=(\-x,-y),

則PA.(PB+PC)=2x2-2百y+2y2=2[x2+(y-^)2-6

二當X=0,)=立時，取得最小值2x(—=)=-],故選：B.

y242

18.A

【解析】若三九<0,使機=/1〃，則兩向量機〃反向，夾角是180。，那么

m-n=|m||n|cosl800=-|m||n|<0；若那么兩向量的夾角為(90。,180°],并不一

定反向，即不一定存在負數(shù)X,使得機=/1〃，所以是充分而不必要條件，故選A.

19.A

【解析】

由卜+加卜1一身平方得&2+24%+/=°2一2&%+62,即石名=。,則

2

20.-

5

【解析】由題意，設。=(1,0),/?=(0,2),c=(〃?,〃)，貝i](a—=〃?-2"=0,即m—1n,

又向量d在方向上的投影分別為x,y,所以d=(x,y),

所以?—￡在c方向上的投影z=3：")"m[x-\)+ny_2x-2+y

Cylm2+n2亞

即2x+y-亞z-2,

所以x2+y2+z2=B22+12+(-V5)-(^x2+y2+z2^>-^(2x+y-y/5zy=1,

2

x--

5

xJ工z

12

當且僅當.27-V5即Jy=-時,等號成立，所以F+V+z?的最小值為一.

5

2x+y-y/5z=2

小

z=----

I5

21.3正

【解析】；,一4=5—力/=/+/—2a?8=9+1(一2=25/.|^|=3V2.

10

22..

3

【解析】a=(3,l),b=(l,0),;Z=a+^=(3+Z,l),

tz±c,/.?4c=3(3+A:)+lxl=0(解得上=—與，故答案為：—與.

3

23.

5

【解析】因為。一加=(1,3)—4(3,4)=(1—343—44),所以由(。一勸)可得,

3Q

3(1-32)+4(3-4/1)=0,解得％=：.故答案為：

8

24.-

5

Q

【解析】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：2*4—/lx5=0,解方程可得：2=-

28

25.—

29

【解析】Q2^-^|<V2,UUITIT3

「?4—4q,,+1<2,<?~)

424228

=-(1-----------------------)

T29.

'5+3et-e235+3x-

4

26.史或0

5

【解析】三點共線，.?.可設PA=4PQ(/l>0),

VPA=mPB+[^->n^PC,：.m。"尸B+1|-沙C,即尸…小Dy

4A

若mwO且mJ,則民D,C三點共線，“(2一”’)「即2=3,

21+-;-=12

A,A,

：AP=9,，AJD=3,???/W=4,AC=3,Nfi4C=90°,，BC=5,

設CZ)=x,ZCDA=0,則BD=5-x,ZBDA^n-O.

一口明小研士工田田■陽cAD2+CD2-AC2x,川AD2+BD2-AB1(5T)2-7

??根據余弦定理可付COS。=--------------==，COS(乃一。)=---c5nc------------

2ADCD62ADBD6(5-x)

Vcos0+cos(^-^)=O,???★(：/)I。,解得尤=竺，...CO的長度為史.

66(5-X)55

當加=0時，PA=|pc,C,。重合，此時CO的長度為0,

33

當加=一時，PA=：PB,8,0重合，此時24=12，不合題意，舍去.

22

27.5

【解析】由aJ./?可得a-〃=0，又因為a=(1,-1),匕=(/M+1,2m—4),

所以a/=l?(租+1)+(-1>(2加-4)=(),即〃2=5,故答案為：5.

28.G

【解析】因為a,b為單位向量，所以a=8=1

所以卜+0=J(a+Z?)=J"|+2a-/?+|z?|=j2+2a.b=1,解得：2a.0=-l

所以1={(a—b)一2a.1+.故答案為：6

29.也

2

【解析】由題意可得：?=lxlxcos45.由向量垂直的充分必要條件可得：

2

fka—b\a-0,即：kxa-a-b=k--^-=0>解得：左.故答案為：.

kJ222

30.乖).

【解析】如圖，過點。作￡>f7/CE,交A8于點凡由BE=2E4,。為BC中點，知

BF=FE=EA,AO=OD.

3(212.2、1232

=--AB.AC——AB+AC=W——AB+-AC=A&AC,

2(33J22

得，三=%』即網故必="

22AC

31.8.

【解析】向量Q=(-4,3),〃二(6,m)，〃_L/?，則Q?/?=0,—4x6+3加=0,m=8-

32.一也

10

12x(-8)+2x6V2

W析]cos<ci,b>=]-r-j—r=1.——.=--------

\a\]b\亞百xj(—8>+6210-

2

33.一.

3

【解析】因為C=2Q—，a-b=0所以a?c=2a2—#a?b=2,

_a-c22

|C|2=4|4『-4，^Q.〃+5|〃/=9,所以|C|二3,所以cosva,c>=同時=詼§=§

34.-1.

【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則5(26,0),D(坐

因為AD〃8C,ZBAD=30°,所以NCB4=150°,

因為AE=3E,所以NB4E=NA8E=30。，

所以直線BE的斜率為g,其方程為y=*(x—26),

直線AE的斜率為-立,其方程為曠=-走X.

3-3

=也,y=-i,所以E(百,一1).

所以8O.AE=（￥，$?（G,-1）=-1.

1

35.7i-arccos-,TI

3

【解析】由題意：耳(—3,0),^(V2,0)

設尸(x,y)，＜2(x,-y),因為E尸?耳尸W1,則』—2+y2P

22

與5+三=1結合^4-2/-2+/<1,又ye｝血,0]=>/e[l,2]

22cos”與至=-3+4/-1,

與土+二=1結合，消去X,可得:

42/+2丁+2L3

所以8￡7i-arccosg,TI

36.V2+V3

【解析】設A（xi,yi）,B（X2,y2）,0A=（xi,yi）,OB-（X2,y2）,

由x/+y]2=l,X22+y22=l,XlX2+yiy2=；,可得A,B兩點在圓x2+y2=l上，

且Q4?O3=lxlxcosNAOB二;，即有NAOB=60。，即三角形OAB為等邊三角形,

友+弘-1|」々+%-1|

AB=1,的幾何意義為點A,B兩點到直線x+y-1=0的距離di與

d2之和，顯然A,B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=l平行,

可設AB：x+y+t=O,(t＞0),由圓心O到直線AB的距離＜1=4，

可得2/一j=1,解得t=立，即有兩平行線的距離為［上=也±包

V22b2

即k'一1+民選T的最大值為加+百,故答案為血+目.

37.3

【解析】設A(a,2〃)(a>0),則由圓心。為AB中點得。［彎,〃)，易得

C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0f與y=2x聯(lián)立解得點0的橫坐標程=1,所以

0(1,2).所以46=(5-4,—2。),0)=(1-等,2-“,

由A8.CO=0得+(-2〃)(2—a)=0,ci~-2a—3=0,〃=3或口=-]

因為。>0,所以。=3.

38.-1

【解析】a=(1,0),/?=(-1,m),:.ma-b=(m,0)-(-l,ni)=+,

由aJ_(ma-b)得：。?(根。-6)=0,1.a?(ma—b)=m+T=U,BPm=-\.

39.—

2

【解析】由題可得2a+b=(4,2),-.c/Z^a+b),c=(l,/l)

.?.4入一2=0,即入=L,故答案為!

22

40.I、6、P4

【解析】建立平面直角坐標系，如圖所示；

則記為的四個點是A(0,3),B(1,0),C(7,I),D(4,4),

線段AB,BC,CD,DA的中點分別為E,F,G,H,

易知EFGH為平行四邊形，如圖所示；

設四邊形重心為M(x,y),則M4+M8+MC+"O=0，

由此求得M(3,2),即為平行四邊形EFGH的對角線交于點6，

則符合條件的直線Lp一定經過點￡,且過點P,的直線有無數(shù)條：

由過點耳和g的直線有且僅有1條，過點鳥和2的直線有且僅有1條，

過點E和丹的直線有且僅有1條，所以符合條件的點是＜、8、巴.

41.6

【解析】A0-AP=|A0HAP|cos6?S4O||AP|K2x(2+l)=6.所以最大值是6.

42.2A/3

【解析】???平面向量力與〃的夾角為60°，|。|=2,網=1

:?a?b=2xlxcos600=1-

：.\a+2b\=?a+2b丫=^a2+4a-b+(2bf=44+4+4=2后故答案為2百.

43.

【解析】設圓心坐標為C(—L/〃)，則40,⑼，焦點廠(1,0),AC=(],O)AF=(1,-??)

m=±6,由于圓。與＞軸得正半軸相切，則取利=6,所求圓得圓心為(-1,6)，半徑

為1.

3

44.—

11

--12

【解析】A6-AC=3x2xcos60°=3,AQ=§A8+§AC，則

I2J2/J,127

ADAE^(-AB+-AC)(AAC-AB)^-x3+—x4——x9——x3=—4=丸=」.

33333311

【解析】由題意，設q=(1,0),e2—(0,1),

則Gq—e2=（百，-1）,C]+入e,=（1,九）;

2

又夾角為60。，（百e「e；）?（e；+〉e；）=73-^=2Xy/1+Axcos60°,

46.2

【解析】由題意可得-2x3+3機=0,解得加=2.

47.7

【解析】由題得a+6=（加一1,3），因為（&+/?）?a=0,所以一（加一1）+2x3=0,解得相=7.

48.-3

【解析】由a〃匕可得-lx6=2/l=/l=-3.

49.3

【解析】以OA為x軸，建立直角坐標系，則A（l