2023-2024學(xué)年河北高二年級上冊階段測試（線上）數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北高二上冊階段測試數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.在空間直角坐標系中，A(2,l,3),1(3,2,1),則AB=()

A.(1,1,-2)B.(-1,-1,2)C.(5,3,4)D.(6,2,3)

【正確答案】A

［分析】直接根據(jù)空間向量的坐標表示法則計算可得；

【詳解】解：因為A(2,l,3),B(3,2,l),所以AB=(3,2,1)—(2,1,3)=(1,1,—2)

故選：A

2.如圖,已知直線44,4的斜率分別為占，為次3,則()

A.kl<k2<k3B.ki<kl<k2

C.k3<k2<klD.ki<k3<k2

【正確答案】D

【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.

【詳解】解：設(shè)直線444的傾斜角分別為四，％，。3，

由題圖知，直線4的傾斜角6為鈍角，??.κ<o.

又直線44的傾斜角。2,。3均為銳角，且%>%，

.?.O<k3<k2,

kl<k3<k2.

故選：D.

3.已知空間向量α=(l,(U),b=(x,L2),且〃為=3，則向量α與人的夾角為()

【正確答案】D

【分析】利用空間向量的坐標運算，求出向量α與》的夾角的余弦值，進而可求夾角.

【詳解】因為“%=x+0+2=3,所以x=l,所以6=(1,1,2),

則有1d=Jl+1=后,W=Jl+1+4=＞/6,

,ah3G

所以8SS'=麗==①

11TC

因為＜α,b＞e[0,π∣,所以＜。力＞=:，

6

故選:D.

4.直線人的傾斜角為60。，右經(jīng)過點”(I，6),N(2,2G),則直線乙與直線4的位置關(guān)系是

()

A.平行B.垂直C.重合D.平行或重合

【正確答案】D

【分析】求出直線MN的斜率，根據(jù)R4的斜率關(guān)系，即可求解.

【詳解】由點M(I,K),w(2,2√3),可求得直線4的斜率&=拽二@=6，

因為直線《的傾斜角為60。，所以直線4的斜率勺=tan60。=G,

則有占=內(nèi),則直線4與直線4平行或重合.

故選：D.

5.等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差不為0,若生，％，4成等比數(shù)列，則｛%｝前6項的和為()

A.-24B.-3C.3D.8

【正確答案】A

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差d("*0),由%，%，%成等比數(shù)列求出"，代入$6可得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差或4*0),

?.?等差數(shù)列｛%｝的首項為1,%,生，4成等比數(shù)列，

?，?(01+2d1=(q+60(q+5d),且q=l,d≠0,

解得d=-2,

{α,,}前6項的和為56=6αl+~^~d=6×1+-×(-2)=-24.

故選：A.

6.已知直線蛆+4y-2=0與直線2x-5y+"=0互相垂直，垂足為(Lp)廁"+”-，等于

()

A.24B.20C.4D.0

【正確答案】D

【分析】由兩直線垂直得m=10,進而根據(jù)垂足是兩條直線的交點代入計算即可得答案.

【詳解】由兩直線垂直得M2+4X(-5)=0,解得加=10,

所以原直線直線如+"-2=0可寫為IoX+4y-2=0,

又因為垂足為(1,P)同時滿足兩直線方程，

10×l+4p-2=0

所以代入得

2×l-5p+n=0

P=-2

?=-12

所以p=10-12+2=0,

故選:D

7.圓心在第一象限，且半徑為1的圓與拋物線y2=2x的準線和雙曲線弓-4=1的漸近線都

169

相切，則圓心的坐標是()

?-(M)b?(H)c?(M)或(留d??T)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，求出漸近線方程，結(jié)合條件設(shè)出圓心坐標，再利用點到直

線的距離公式求得參數(shù)，從而得到所求.

【詳解】由雙曲線方程可得0=4,b=3,c=5

3r3V

漸近線方程y==和y=_三，即3x-4y=0和3x+4y=0.

44

拋物線丁=2》的準線為了=-；

根據(jù)圓心在第一象限，且半徑為1的圓與拋物線丁=2x的準線相切，設(shè)圓心A的坐標為

（~,m）,（m>O）.

①當(dāng)圓與雙曲線鳥-<=1的漸近線3x-4y=0相切時，圓心A到直線3x-4y=0的距離即為

169

圓的半徑1,即"2""'

②當(dāng)圓與雙曲線3-4=1的漸近線3x+4y=0相切時，圓心4到直線3x+4y=0的距離即為

169

圓的半徑1,即"2+4"]="?=：.

則圓心的坐標是：七手或C）.

故選：C

8.明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）

所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）、

（2）、（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別裝、||、y,設(shè)圖⑴、（2）、（3）中橢

圓的離心率分別為e∣?g、e1,則（）

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的離心率公式可知，橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大，比

較出三個橢圓的長軸長與短軸長的比值大小，由此可得出結(jié)論.

所以橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大.

因為Aal.44,If≈1.24,￥=1.43,則H所以。勺乂.

94579745

故選：A.

方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(I)定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、C的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e

的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、C的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

二、多選題

9.(多選)點(1,1)在圓(x-4y+(y+α)2=4的內(nèi)部，則。的取值不可能是()

A.-2B.--

2

C.?D.2

【正確答案】AD

【分析】求出實數(shù)。的取值范圍，即可得出合適的選項.

【詳解】由已知條件可得(l-α)2+(l+α)2<4,即2∕+2<4,解得-l<α<l.

故選：AD.

TT

10.三棱錐A-BCD中，平面ABD與平面Ba)的法向量分別為勺,％，若則二

面角A-Bo-C的大小可能為()

πeπ

A.—B.—

63

C.—D.—

36

【正確答案】BC

【分析】由二面角的大小與法向量夾角相等或互補即可求得結(jié)果.

【詳解】二面角的大小與法向量的夾角相等或互補，

，二面角A-BD-C的大小可能為■或勿—

333

故選：BC.

11.下列說法中正確的是()

A.平面α的法向量垂直于與平面α共面的所有向量

B.一個平面的所有法向量互相平行

C.如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直

D.如果向量〃、b與平面α共面，且向量”滿足"J.。，nlb，那么"就是平面ɑ的一個法

向量

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)法向量的定義可判斷A、B選項的正誤；利用空間中平面與平面的位置關(guān)系與

法向量之間的關(guān)系可判斷C選項的正誤：根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，由法向量的定義可知，平面α的法向量垂直于與平面α共面的所有

向量，A選項正確；

對于B選項，一個平面的所有法向量互相平行，B選項正確；

對于C選項，由空間中平面與平面的位置關(guān)系與法向量之間的關(guān)系可知，如果兩個平面的

法向量垂直，那么這兩個平面也垂直，C選項正確；

對于D選項，只有當(dāng)〃、。不共線時，才能得出結(jié)論，依據(jù)是線面垂直的判定定理：如果一

條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直，D選項錯誤.

故選：ABC.

本題考查平面法向量定義的應(yīng)用，同時也考查了平面間的位置關(guān)系與法向量之間的關(guān)系，考

查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知直線ax+y—2=0與圓心為C的圓(x—I/+。一")2=4相交于A,8兩點，且△A8C

為等邊三角形，則實數(shù)”的值為()

A.-B.--C.4+λ∕j^5D.4—VFs

33

【正確答案】CD

【分析】設(shè)圓心C到直線AB的距離為4,由AABC為等邊三角形可得d=√L利用點到直

線距離公式求“?

【詳解】設(shè)圓心C到直線AB的距離為d,

?.?圓的方程為(x—l)2+(y-α)2=4

二圓心C(IM),圓的半徑為2,CA=CB=2,

又AABC為等邊三角形，.?.d=石,

Iα+4—21

由圓心C(l,α)到直線Or+y-2=0的距離d=

√a2+l

(24-2)2

=3

a2+1

故選：CD.

三、填空題

13.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為=2"-l,則其前"項和5,=.

【正確答案】2n+'-n-2,"wΛΓ

【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，求和時采用分組求和法，利用等比數(shù)列的前〃項和公式，求

得答案.

【詳解】因為4=2"-l,

所以S“=2-1+22—1+23—1++2"-i

=(2+22++2,,)-n=2(1~2)-n

1-2

=2"+'-n-2,nwN”

故2"j-2,neN'

14.已知m,”,”,?>∈R,且滿足3機+4〃=6,6。+86=1,則j(/n-ɑ)?+(〃一的最小值為

【正確答案】H

【分析】設(shè)點4九〃),B(a,b)

【詳解】設(shè)點AO,"),B(a,b),直線∕∣:3x+4y-6=0,直線∕2：3x+4y-；=0

由題意可知A(，〃，〃)點在直線4：3x+4y-6=0上，點B(a,b)在直線4：3x+4y-；=0上

所以IABl=?∣(m-a)2+(n-b)2

由題意可知《與4平行，故A、B之間的最小距離即為兩平行線之間的距離

曲平-ιo

,H

故4而

15.若雙曲線，一y2=i(α>0)的右焦點與圓χ2+∕-4χ=o的圓心重合，貝IJa=

【正確答案】√3

【分析】分別求出雙曲線的右焦點坐標以及圓的圓心坐標，列方程即可求解.

【詳解】由［―V=I可得￠2=/+1,所以C=G71，

礦

?2+1,0),

由V+y2-4χ=0可得(X-2『+丁=4,

所以圓心坐標為(2,0),

2

由題意可得：√Π+1=2>解得α=g或α=-6(舍)

故答案為.6

16.已知圓C:(X-3)2+V=4,點M在拋物線T：∕=4x上運動，過點M引直線4，4與

圓C相切，切點分別為尸，Q,則IPQl的取值范圍為.

【正確答案】［2√2,4)

【分析】設(shè)出點M的坐標(7,s),探討出ICMl的取值范圍，借助四邊形MPCQ的面積計算,

把IPa表示為ICMl的函數(shù)即可作答.

【詳解】如圖，連接CP,CQ,CM,依題意，CP工MP,CQ,MQ,而ICPl=ICQ∣=2,

而IMPl=IMQI,則CM垂直平分線段PQ,于是得四邊形MPCQ的面積為RjePM面積的2

倍，

從而得;IPQI?ICMI=2?g∣CP∣?∣MP∣,即

2∣CP∣?∣MP∣=4j∣CMjCp2=4h4

L-ICMl-ICMIVlCMI2'

設(shè)點MQ,s),而C(3,0),52=4r(f≥0),則∣CM∣2=(r-3)2+s2=∕-2f+9=Q-l)2+8≥8,

當(dāng)且僅當(dāng)Ul時取‘'=",VZ≥0,∣CM∣2∈[8,+∞),

4114

因此得°＜兩針5,即六一而U'得2夜"QK4,

所以IPa的取值范圍為[2√Σ,4)?

?[2√2,4)

四、解答題

17.（1）已知直線4經(jīng)過點（U）且與直線4：x+2y-l=O垂直，求直線《的方程.

（2）已知直線&與X軸，）'軸分別交于A8兩點，AB的中點為（2,1）,求直線&的方程.

【正確答案】（1）y=2x—i；（2）x+2y-4-0.

【分析】（1）由垂直關(guān)系可得直線4的斜率，進而由點斜式得到方程；

（2）設(shè)出A（α,0）,B（0,6）,利用中點坐標公式得到兩點坐標，從而得到直線方程.

【詳解】（1）直線《的斜率K=-g,則心=2,

故直線4的方程為＞=2x-l;

（2）設(shè)A（a,0）,3（0,6）,AB的中點為（2,1）,知—,

則直線4的方程為x+2y-4=0.

18.已知動圓過點20,2）,且與直線/：y=-2相切.

（1）求動圓圓心〃的軌跡方程；

（2）若過點尸且斜率1的直線與圓心〃的軌跡交于48兩點，求線段A8的長度.

【正確答案】（1）/=8y；（2）16.

（1）由題意分析圓心例符合拋物線定義，然后求軌跡方程；

（2）直接聯(lián)立方程組，求出弦長.

【詳解】解：（1）圓〃過點尸（0,2）,且與直線/：y=-2相切

點M到直線/的距離等于IMFI

由拋物線定義可知點M的軌跡是以尸（0,2）為焦點、以Ly=-2為準線的拋物線,

依題意，設(shè)點M的軌跡方程為f=2py（p>0）,則=2,解得。=4,

所以，動圓圓心M的軌跡方程是/=8），.

(2)依題意可知直線AB:y=x+2,設(shè)A(XI,/),8(%,%)

y=χ+2

聯(lián)立得d-8χ-16=0,則χ+X2=8y+y=n

X2=8yl2

所以，線段A8的長度為IABI=M+%+P=12+4=16.

（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標準方程；

（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問

題.

19.設(shè)數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為S〃，且25.=34-1.

（1）求數(shù)列｛“〃｝的通項公式；

n

（2）設(shè)加二7，求數(shù)列｛加｝的前〃項和Th.

l96〃+9

【正確答案】（1）an=3n-i（2）Tn=^----.

44×3,,

【分析】（1）由4=S“-S,?（〃≥2）求得數(shù)列｛ɑ“｝是等比數(shù)列，從而易得其通項公式；

（2）由錯位相減法求和.

【詳解】（1）由2SΛ,=3",,-1,①

得2Sιlτ=3α,ι-l(n>2),②

①一②，得2α,,=3a?-3a?_,,Λall=3?.∣("?2),

又251=3《-1=2。|,，4/=1,

???{〃〃}是首項為L公比為3的等比數(shù)列,

.?.an=3nl.

(2)由(1)得，加=Fr，

?T123n

/〃=3+3+鏟+…+F'

1123n

-7H=-+—÷?-÷???+—,

33'32333〃

兩式相減，得IT"='+?+/+…+擊一段

1」

_3〃〃_32/7+3

n,

^11^F^2^2×3

3

.E96〃+9

??Tn=--------.

44x3”

20.已知圓C.X2+j2+2x-4y÷3=0

⑴若不過原點的直線/與圓C相切，且在X軸，y軸上的截距相等，求直線/的一般式方程;

(2)從圓C外一點P(x,y)向圓引一條切線，切點為M,O為坐標原點，且有IPM=IP求

點P的軌跡方程.

【正確答案】(I)X+y+i=0或χ+y-3=o

⑵2x-4y+3=0

【分析】(1)先由配方法求得圓C的標準方程，得到圓心C(T,2),半徑為拉，再由題設(shè)

條件設(shè)得直線/為x+y-b=(),再利用相切4=r得到關(guān)于b的方程，從而求得直線/的一般

式方程；

⑵利用圓的切線長的性質(zhì)及InWl=IPOI,得到∣pof=∣PC「-，，再利用兩點距離公式代

入化簡，即可求得點尸的軌跡方程.

【詳解】3)由f+∕+2χ-4y+3=0配方得(x+iy+(y-2)2=2,所以圓C的圓心C(-l,2),

半徑為?∣2?

因為直線/在X軸，)，軸上的截距相等，所以設(shè)直線/為χ+y=6,即χ+y-b=O,

∣-l+2-?∣

則由直線/與圓C相切得=72,解得A=-I或6=3,

√Γ+T

直線/的方程為χ+y+∣=o或χ+y-3=o.

(2)由圓上切點的性質(zhì)知IPM「=|PC「-',

又因為IPM=IPa，所以IPOr=∣PC∣2-2,

所以x2+y2=(x+iy+(y_2)2_2,整理得2x-4y+3=0,

故點P的軌跡方程為2x-4y+3=0.

21.已知橢圓的中心在原點，焦點在X軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1),

平行于OM的直線/在)，軸上的截距為〃，(m*0),/交橢圓于A,B兩個不同點.

(I)求橢圓的方程；

(II)求，"的取值范圍；

(III)求證直線M4,MB與X軸始終圍成一個等腰三角形.

【正確答案】(I)—+^-=1；(II)-2<mv2且機≠0;(HI)證明見解析.

82

22

【分析】(I)設(shè)出橢圓方程=+2=l(a>6>0),根據(jù)題意得出關(guān)于。的方程組，從而

ab

求得橢圓的方程；

(H)根據(jù)題意設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個不同交

點，利用A>O即可求出，"的取值范圍；

(DI)設(shè)直線MA,的斜率分別為"k2,根據(jù)題意把所證問題轉(zhuǎn)化為證明QHb=O即可.

2[a=2b

【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為=+4=l(a>b>0),由題意可得41,,解得

a-b-7+*

2=82v2

a,,，???橢圓方程為r土+乙=1；

[h-=282

(II)Y直線/平行于OM,且在y軸上的截距為機，kOM??,

所以設(shè)直線/的方程為y=；x+，〃，

1

y=-x-?-m

2_

2

由彳22消兀，得W+2/nr+2m-4=0

三+匕=1

82

：直線/與橢圓交于A,B兩個不同點，

所以△=(2/?)2-4(2W2-4)>O,解得-2<m<2,ιn≠0,

所以〃?的取值范圍為(-2,0)5。，2)?

(III)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為Q,k2,只需證明k∕+%2=0即可,

2

設(shè)A(XI,y),8(々,當(dāng))，由(II)xl+x2=-2m,xlx2=2m-4,

則仆二2"—，&二2T

x1-2X2-2

2

由％2+2〃K+2ιrr-4=O可得x1+x2+-2m,xlx2=Itn-4,

?i~?Λ~?_(X~~1)一3~^2)+(%~~l)(x∣~~2)

而K+&l

玉一2X,—2(x∣—2)(%2—2)

(―F+5-l)