2023屆上海市五十二中高考考前模擬考試卷數(shù)學(xué)試題試卷

2023屆上海市五十二中高考考前模擬考試卷數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.對(duì)于任意xeR,函數(shù)f（x）滿足f（2—x）=—/（x）,且當(dāng)x..l時(shí)，函數(shù)f（x）=JMi.若

a===則a,b,c大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<hD.c<b<a

2.在函數(shù)：①），=cos|2x|；②y=|cosx|；③y=cos（2x+2）；④丫=tan（2x-?］中，最小正周期為乃的所有

函數(shù)為（）

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

21

3.如圖，在AABC中，AN=—NC,P是BN上一點(diǎn)，若AP=rAB+上AC,則實(shí)數(shù)，的值為（）

33

4,中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝

才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛,

每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

5.已知曲線/=4y,動(dòng)點(diǎn)尸在直線y=-3上，過(guò)點(diǎn)P作曲線的兩條切線44,切點(diǎn)分別為A,8,則直線A8截圓

爐+/一6），+5=0所得弦長(zhǎng)為（）

A.6B.2C.4D.2G

6.已知同=3忖=3,且（2a-b）-L（a+4A）,則2a-方在。方向上的投影為（）

720

A.一B.14C.—D.7

33

224

7.已知雙曲線x丁_1的一條漸近線方程為y=則雙曲線的離心率為（）

a2b2"

4553

A.一B.-C.-D.-

3342

廠y-

8.雙曲線G：=1（a>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為E（c,0）（c>0）,且雙曲線c的兩條漸近線與圓G：

靛一瓦-

（x—c）2+y2=J均相切，則雙曲線G的漸近線方程為（）

4

A.x±y/3y=0B.>/3x±y=0C.y/5x±y=0D.x±y/5y=0

>

9.已知小為實(shí)數(shù)，直線4：mx+y-l=O,l2：（3m-2）x+my-2=Q,貝!m=1”是“4/4”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

10.《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金肇，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何?”意

思是：“現(xiàn)在有一根金睪，長(zhǎng)五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在細(xì)的一端截下一尺，重2斤，問(wèn)各尺依次重多少?”

按這一問(wèn)題的顆設(shè)，假設(shè)金維由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開(kāi)始的第二尺的重量是（）

A.1?斤7-5匚,日

B.37斤C.—frD.3斤

22

11.在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱45C=Aga中，。為的中點(diǎn)，F(xiàn)在4G上，且DF_LAG，則下述結(jié)論:

①AG，8C；②AP=FG；③平面平面ACGA：④異面直線AG與所成角為60°其中正確命題的

C.3D.4

12.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為（）

5c5r

A.一7B.2"C.一乃D.37

32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)/(%)=(%—。)(尤+3)為偶函數(shù)，則/(2)=.

cos2a---

14.若tana=2,貝!|z--------"=____.

sin(2a-()

15.已知/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x}^e-x-x,則/(ln2)=.

16.(5分)國(guó)家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國(guó)青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上開(kāi)展2019年

全國(guó)青少年禁毒知識(shí)答題活動(dòng)，活動(dòng)期間進(jìn)入答題專區(qū)，點(diǎn)擊“開(kāi)始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動(dòng)生成20道題.已知某校高

二年級(jí)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動(dòng)中答對(duì)的題數(shù)分別是17,20,16/8,19,則這五位同學(xué)答對(duì)題數(shù)的方差

是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在AABC中，。、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，S.(a+b+c\a+b-c)=3ab.

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且AABC為銳角三角形，求G+力的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=me*-2》一加.

(D當(dāng)加=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程;

(2)若/(x)>0在(0,+8)上恒成立，求〃？的取值范圍.

19.(12分)中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”，將四

個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉膈”.在如圖所示的陽(yáng)馬P-ABCD中,底面ABCD是矩形.PA，平面ABCD,

PA=AD=2,AB=6,以AC的中點(diǎn)。為球心，AC為直徑的球面交尸。于M(異于點(diǎn)O),交PC于N(異于

點(diǎn)c）.

(1)證明：AM_L平面PCD,并判斷四面體MCZM是否是鱉腌，若是，寫出它每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若

不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)求直線ON與平面ACM所成角的正弦值.

20.（12分）已知函數(shù)/（X）=lnx-?u-//（加eR）.

(1)討論函數(shù)“X)的極值;

(2)記關(guān)于x的方程/(%)+源幺=0的兩根分別為pq(p<q),求證：Inp+\nq>2.

21.(12分)如圖在四邊形ABC。中，BA=6BC=2,E為AC中點(diǎn)，BE姮

F

(1)求AC；

TT

(2)若。=§,求AACD面積的最大值.

22.(10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=log2(|x+l|+|x-2|-m).

(1)當(dāng)m=7時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>2的解集是R,求m的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由已知可得U,一)的單調(diào)性，再由7(2-幻=-/(幻可得/(X)對(duì)稱性，可求出/(幻在(—1)單調(diào)性，即可求出結(jié)論.

【詳解】

對(duì)于任意xeR,函數(shù)/(X)滿足/(2-X)=—/(X),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,

當(dāng)XN1時(shí)，/*)=萬(wàn)是單調(diào)增函數(shù),

所以fW在定義域R上是單調(diào)增函數(shù).

因?yàn)樗浴兑?；卜《?)</

b<c<a.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..

2、A

【解析】

逐一考查所給的函數(shù)：

^=cos|2x|=cos2x,該函數(shù)為偶函數(shù)，周期T言”；

將函數(shù)y=cosx圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到>=|cosM的圖象，該函數(shù)的周期為

1c

-x2乃=乃?

2

函數(shù)y=cos,+￡|的最小正周期為了《=》；

函數(shù)…0高的最小正周期為Y=5;

綜上可得最小正周期為萬(wàn)的所有函數(shù)為①②③.

本題選擇A選項(xiàng).

點(diǎn)睛：求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)的式子，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)

誤.一般地，經(jīng)過(guò)恒等變形成"_y=Asin3x+9),j=Acos(tox+^),y=Atan(c"x+e)”的形式，再利用周

期公式即可.

3、C

【解析】

2

由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到AP=1mAC+(l-/n)AB，從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于f的方程，求出

f的值.

【詳解】

由題意及圖，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m(AN-A8)=mAN+(l-m)AB,

222

又,AN=—NC,所以AN=-AC,：.AP^-mAC+(1-zn)AB，

355

1-m=t

又AP=，A8+qAC,所以,21?解得機(jī)=:，，=:，

3—m=—66

153

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為;的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為。1,計(jì)算％=192,代入得到答案.

【詳解】

由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為;的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為外,

?、?*

則L"'J二37g，解得《=192,從而可得出=192x—=96,4=192X—=24,故/一%=96-24=72.

12\2J

1—

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

5、C

【解析】

設(shè)A,6/，?，尸。，-3),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進(jìn)而得到切線方程，將。點(diǎn)坐標(biāo)代入切線

方程，抽象出直線A3方程，且過(guò)定點(diǎn)為已知圓的圓心，即可求解.

【詳解】

圓丁+/一6＞；+5=0可化為d+(y-3)2=4.

(2\(2\

設(shè)A知卷?尤2,才，P(，,—3),

則44的斜率分別為k1吟,《吟,

2

所以44的方程為/I：丁=5(%一2)+今，即y=^x-y,

-3=—/-

2'

由于44都過(guò)點(diǎn)P0-3),所以＜

-3=￡”必

即人(”),嶼,斗)都在直線-3=5-y上，

所以直線AB的方程為一3=土，一》,恒過(guò)定點(diǎn)(0,3),

2

即直線AB過(guò)圓心(0,3),

則直線AB截圓/+/一6y+5=0所得弦長(zhǎng)為4.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

6、C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出小。，再由投影的定義計(jì)算.

【詳解】

由(2a-b)_L(a+48)

可得(2a—/?),(a+48)=2a~+7"?/?—4Z?2=0,因?yàn)閨a|=3|匕|=3,所以4m=一2.故2a—。在a方向上的投影

(2a—b)?a2cr—a?b18+220

為

|?|33

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

7、B

【解析】

由題意得出（的值，進(jìn)而利用離心率公式

可求得該雙曲線的離心率.

CT

【詳解】

hb1一八2

雙曲線二1的漸近線方程為y=±—x,由題意可得彳416

7~9

因此，該雙曲線的離心率為e

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

根據(jù)題意得到d=-T===f，化簡(jiǎn)得到a2=3b2，得到答案.

\/a2+b22

【詳解】

h,hec

根據(jù)題意知：焦點(diǎn)F（C,O）到漸近線y=-X的距離為d=/、『=-,

a7er+b~'

故/=3/，故漸近線為x±0y=O.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

9、A

【解析】

根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)m=l時(shí)，兩直線方程分別為直線h：x+y-1=0,h;x+y-2=0滿足h〃L,即充分性成立，

當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y-1=0,和-2x-2=0,不滿足條件.

、“.,,3m-2m-2

當(dāng)m=0時(shí)，則h〃12n-----=一工—，

m1-1

,3m—2m?

由------=—得m~-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

由:'73得n#2,則m=L

即“m=l”是“h〃L”的充要條件，

故答案為：A

【點(diǎn)睛】

(D本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能

力.⑵本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線qx+4y+q=0和直線的%+%丁+。2=0平行，則且兩

直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.

10、B

【解析】

依題意，金肇由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，4=4則%=2,由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)金基由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為{%},設(shè)首項(xiàng)4=4,則為=2,公差d=?二?=封=-；，

5—15—12

,7

a2=+a=—.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

設(shè)出棱長(zhǎng)，通過(guò)直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷歹是4G的中點(diǎn)推出②正的誤；利用

直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線4c與CO所成角判斷④的正

誤.

【詳解】

解：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為：2,對(duì)于①連結(jié)A片,貝iJM=AG=20,.'ZAC田產(chǎn)90。即AG與反G不垂直，又BC//BG，

；.①不正確；

對(duì)于②，連結(jié)AD,DC,,在A4￡>G中，AD=DC、=也,而。/，4G,.?.尸是A6的中點(diǎn)，所以AF=FG，，②

正確；

對(duì)于③由②可知，在AA〃C1中，。尸=百，連結(jié)CF,易知而在RtACBD中，CD=>/5,..DF1+CF2CD1,

即OE，CF,又。尸,ACt,：.DF±面ACC.A，，平面DAC,1平面ACC,A，二③正確；

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面A4G上過(guò)4點(diǎn)垂直于4G的直線為X軸，AG所在的直線為)'軸，4A所在的直線為z軸，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；

4(0,0,0),4⑼,0),G(0,2,0),4(0,0,2),C(0,2,2),￡>(73,1,1)；

AC,=(0,2,-2),CD=(73,-1,-1)；

異面直線AG與C。所成角為。，cos0=無(wú)=0,故8=90。.④不正確.

\ACt||CD|

故選：B.

本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力

以及邏輯推理能力.

12、A

【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1,圓柱的底面

半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，

半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.

貝II幾何體的體積為^=工乂3%*13+%乂12*1=2.

233

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-5

【解析】

二次函數(shù)為偶函數(shù)說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)為0,求得參數(shù)“，將x=2代入表達(dá)式即可求解

【詳解】

由/（》）=/+（3-4）》一3°為偶函數(shù)，知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0,所以3-a=O,a=3,所以/（x）=f-9,

/⑵=2?-9=-5

故答案為：-5

【點(diǎn)睛】

本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題

I

14、-

7

【解析】

4

由tanc=2,得出tan2a=—-,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式即可求出結(jié)果.

3

【詳解】

4

因?yàn)閘anc=2,所以tan2c=—-，

3

cos2acos—+sin2asin

44

sin2acos--cos2asin冗

44

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運(yùn)用齊次式求值，屬于

對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.

15、2+ln2

【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可

【詳解】

/(ln2)=/(-ln2)=eln2-(-ln2)=2+ln2.

故答案為2+In2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力

16、2

【解析】

由這五位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)個(gè)2。土；+18土1938,貝防差

?=-X[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=—=2.

55

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)C=1.(2)(26,4].

【解析】

(1)根據(jù)題意，由余弦定理求得cosC=',即可求解C角的值；

2

(2)由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到a+b=4sin(A+^],再根據(jù)AA8C為銳角三角形，求得

ITTT

利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

(1)由題意知(。+6+。)(。+6—。)=3。人，???々2+62_。2=々〃,

〃2序21

由余弦定理可知，cosC=巴士—-一,

2ab2

JT

又???Ce(O,?),，C=-.

3

ah

_--=—4r4r

(2)由正弦定理可知,sinsin,7i3、，即a=—gsinA,b=—GsinB

ABsin—33

3

，a+h=gG(sinA+sin3)sinA4-sin

=2\/3sinA+2cosA-4sin^A+—j,

又...MBC為銳角三角形'一2萬(wàn)，/即,

_.7T.兀2萬(wàn)

則一<4+—<——,所以S<4sinA+744,

363

綜上G+力的取值范圍為(26,4[.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問(wèn)題，對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊

轉(zhuǎn)角''尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式

求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)

合正、余弦定理解題.

18、(1)y=一％；(2)[2,+oo)

【解析】

(I)m=1,對(duì)函數(shù)y=/(X)求導(dǎo)，分別求出/(0)和r(0),即可求出f(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程;

(2)對(duì)/(x)求導(dǎo)，分m＞2,0＜加＜2和機(jī)＜0三種情況討論/(x)的單調(diào)性,再結(jié)合/(x)＞0在(0,+oo)上恒成立，可

求得加的取值范圍.

【詳解】

(1)因?yàn)闄C(jī)=1,所以＜(x)=e—,所以f'(x)=ex-2,

則/(O)=O,/'(O)=-1,故曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=—X.

(2)因?yàn)?(x)=me"-2%-相,所以/(x)=m&x-2,

①當(dāng)加22時(shí),/'(x)>0在(0,+8)上恒成立，則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

從而/。)>/(0)=0成立，故相>2符合題意；

②當(dāng)0(加<2時(shí)，令f'(x)<0,解得0<x<In2,即f(x)在(o,m工］上單調(diào)遞減，

m\m)

則/1111\］</(0)=0,故0<相<2不符合題意；

③當(dāng)出<0時(shí),/'(X)=根e'-2<0在(0,+8)上恒成立，即/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則/(x)</(0)=0,故加<0不

符合題意.

綜上,〃?的取值范圍為［2,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查了曲線的切線方程的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式恒成立問(wèn)題，利用分類討論是解決

本題的較好方法,屬于中檔題.

19、(1)證明見(jiàn)解析，是，ZAMC,ZAMD,ZM)C,ZMDC；(2)逅

5

【解析】

(1)根據(jù)AC是球的直徑，則又B4_L平面ABCO,得到C￡>_LQ4,再由線面垂直的判定定理得到

CO_L平面PAD,,進(jìn)而得到CDYAM,再利用線面垂直的判定定理得到AM_L平面PCD.

(2)以A為原點(diǎn)，AB，AD,AP所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CN=46=卜血；1,一2/1,2/1),由

ANLCN,解得/I,得到CN，從而得到QN=OC+CN，然后求得平面ACM的一個(gè)法向量，代入公式

ONn

sin。=求解.

HH

【詳解】

(1)因?yàn)锳C是球的直徑，則

又平面ABCD,

/.CD1PA,8,AD".8,平面PAO，

C￡＞，AW,.ITUY，平面PCD.

根據(jù)證明可知，四面體MCD4是鱉膈.

它的每個(gè)面的直角分別是44MC,ZAMD,^ADC,ZMDC.

(2)如圖，

以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,

則5（夜,0,0）,C（V2,2,0）,￡＞（0,2,0）,尸（0,0,2）,。［孝,1,0）.

M為QO中點(diǎn)，從而“（0,1,1）.

所以CP=卜起,一2,2）,設(shè)CN=4cp=（-72/1,-22,22）,

則AN=4C+CN—（血一歷,2-24,24）.

由⑷V_LCN,

得4V.CN=&（?I-0）-24（2-24）+4儲(chǔ)=1042-62=o.

由4H0得2即O'=（_一二,

（萬(wàn)］6、

所以O(shè)N=OC+CN=.

1055

\/

設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為。=（羽＞,z）.

AM?〃=y+z=0

由《.

AC-n-V2x+2y=0

取"0,y=T,z=i,得到〃=（枝,T1）.

記ON與平面4WC所成角為仇

ON-n_V6

貝!|sin0--導(dǎo)0+H

I2136

.同--+--+--?V2+1+1

K1002525

所以直線ON與平面AMC所成的角的正弦值為".

5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

20、(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)加討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；

(2)，均是方程/(力+機(jī)2%2=0的兩根，代入方程，化簡(jiǎn)換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.

【詳解】

/，、、1c2\-iwc-2m~x(l+znr)(l-2/nx)

(1)依題意，f(x)=——m-2mx=------------=--------------；

xxx

若機(jī)=0,則/'。)=:>0,則函數(shù)〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/(x)既無(wú)極大值，也無(wú)極小值；

若加>0,貝!jl+，nx>0,令/"(x)=0,解得》=」一，

2m

故當(dāng)xw(0,'-)時(shí)，/'(x)>0,單調(diào)遞增；

2m

當(dāng)xe(1-,+/)時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

2m

此時(shí)函數(shù)/(X)有極大值/(—)=(/->=In,無(wú)極小值；

2m2m2m2m2m4

若相<0,則1一2nvc>0,令/”(%)=0,解得x=一--,

m

故當(dāng)X￡(0,一‘)時(shí)，/\x)>0,/。)單調(diào)遞增；

m

當(dāng)xw(—',+oo)時(shí)，/Xx)<0,/(%)單調(diào)遞減，

m

此時(shí)函數(shù)/(x)有極大值―|-ln(一~-)-m(-)-w2(---)2=ln(一■-),無(wú)極小值;

mJmmmm

(2)依題意，lnx-m￥=0,貝ijln〃=mp,\nq=mq9

故In4—Inp=m(q_p),Inp+lnq=根(〃+/；

要證：lnp+lnq>2,即證〃z(p+q)>2,

即證：———L(〃+q)>2,即證ln，>,

q-ppp+q

設(shè)旦=f(f>l),只需證：型二D(/〉l),

Pz+1

設(shè)g(/)=lnf貝

t+1(+1)2

故g”)在(1,物)上單調(diào)遞增，故g(f)>g(l)=O,

即InfA?”",故lnp+lnq〉2.

t+l

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)極值及利