指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)〔一〕指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1．根式〔1〕根式的概念根式的概念符號表示備注如果xn=a，那么％叫做a的n次方根一n>1且ngN*當(dāng)n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)n/a零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時,正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)±na(a>0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根〔2〕.兩個重要公式ra n為奇數(shù)①nan=< ra(a>0)|a|=< /八、n為偶數(shù)I-a(a<0)②(n/a)n=a〔注意a必須使nja有意義〕。2.有理數(shù)指數(shù)冪〔1〕冪的有關(guān)概念m.①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:an=nam(a>0,m、m1 1,八②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a-n=——=-=(a>0,m、m naman '③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.注：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的運(yùn)算?！?〕有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①aras=ar+s(a>0,r、s￡Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s￡Q);③(ab)產(chǎn)arbs(a>0,b>0,r￡Q);.3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象可2二產(chǎn)定義域R值域〔0,+8〕性質(zhì)〔1〕過定點(diǎn)〔0,1〕〔2〕當(dāng)x>0時，y>1;x<0吐0<y<1(2)當(dāng)x>0時，0<y<1;x<0時,y>1⑶在〔-8,+8］上是增函數(shù)〔3〕在〔-8,+8〕上是減函數(shù)注：如下圖，是指數(shù)函數(shù)〔1〕y=ax,〔2〕y=bx,〔3〕，y=cx〔4〕，y=dx的圖象，如何確定底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系？提示：在圖中作直線x=1，與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即ci>di>1>ai>bi,??.c>d>1>a>b。即無論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大?！捕硨?shù)與對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)的概念〔1〕對數(shù)的定義如果ax=N（a>。且a豐1），那么數(shù)x叫做以a為底，N的對數(shù)，記作x=logN，其中aa叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)?！?〕幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為aa>0,且a中1lOgNa常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN2、對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則〔1〕對數(shù)的性質(zhì)〔a>0,且a中1〕：①log1=0，②loga=1，③a10ga=N，④logaN=N。a a a〔2〕對數(shù)的重要公式：①換底公式：logN=10g：（a,8均為大于零且不等于1,N>0）；blogba②logb=一alogab〔3〕對數(shù)的運(yùn)算法則:如果。>0,且awl,M>0,N>0那么①log(MN)=logM+logN；②log=logM-log；；aJy a a③logMn=nlogM(neR)；a a④log bn=一logb。amma3、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象a>10<a<1J內(nèi)=1乙：口而X'IX-\Ll叩r[0性質(zhì)[1〕定義域：〔0,+8〕〔2〕值域：R〔3〕當(dāng)x=1時，y=0即過定點(diǎn)〔1,0〕〔4〕當(dāng)0<x<1時，ye(-8,0)；當(dāng)x>1時，ye(0,+8)〔4〕當(dāng)x>1時，ye(-8,0)；當(dāng)0<x<1時，ye(0,+8)〔5〕在〔0,+8〕上為增函數(shù)〔5〕在〔0,+8〕上為減函數(shù)注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a,b,c,d與1的大小關(guān)系提示：作一直線y=1,該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。/.0<c<d<1<a<b.4、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱。〔三〕冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義形如y=xa〔a￡R〕的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)注：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置。2、冪函數(shù)的圖象1注：在上圖第一象限中如何確定y=x3,y=x2,y=x,>=X2,y=x-i方法：可畫出x=x0；、 、 1當(dāng)x0>1時，按交點(diǎn)的上下，從高到低依次為y=x3,y=x2,y=x,y=x2,y=x-i；、 、 1當(dāng)0<x0<1時，按交點(diǎn)的上下，從高到低依次為y=x-i,y=x2,y=x,y=x2,y=x3。

3、幕函數(shù)的性質(zhì)y=xy=x2y=x31y=%2y=x-i定義域RRR0,+8]{x1xeH且xw0}值域R0,+8〕R0,+8〕{y1ye尺且y豐。}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x￡0,+8〕時，增；x￡（-8,0］時，減增增x￡(0,+8)時，減；x￡(-8,0)時，減定點(diǎn)〔1,11三：例題詮釋，舉一反三知識點(diǎn)1：指數(shù)冪的化簡與求值例1.（2022育才A）1 1+(0.02)-2X(0.32)2]+1 1+(0.02)-2X(0.32)2]+0.06250.25[(3—)一3(5_)0.5+(0.008)-3〔1〕計(jì)算:8 9〔1〕計(jì)算:41 .— : :—a3—8a3b z_22Tb a?3：a2 .(a3— )x：__⑵化簡：4b3+23rab+a3 5aa?3,a變式：〔2022執(zhí)信A〕化簡以下各式〔其中各字母均為正數(shù)〕：(a2?b-1)-2?a2?b3〔1〕 Ja?b55a3?b-2?(-3a-2b-i)+(4a2?b-3)2.6i1.5-3i1.5-3X+80.25X<2+(3/2X<3)6—知識點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用=（1）.例2.（2022廣附A）已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式（,）a（3）b,以下五個關(guān)系式： ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有 〔〕A.1個 B.2個 C.3個 D.4個變式：〔2022華附A〕假設(shè)直線y=2a與函數(shù)y=1a，-11（a>0且a豐1）的圖象有兩個公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.知識點(diǎn)3：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

例3.〔2022例3.〔2022省實(shí)B〕已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，(%)二2-x+i+2無可函數(shù)。〔I〕求匕的值；〔II〕推斷函數(shù)/G)的單調(diào)性;〔山〕假設(shè)對任意的teR，不等式f(t2—21)+f(212—k)<0恒成立，求k的取值范圍.e% a變式：〔2022東莞B〕設(shè)a>0f(x)=-+/是R上的偶函數(shù).〔1〕求a的值；〔2〕求證：f(x)在〔0，+8〕上是增函數(shù).知識點(diǎn)4：對數(shù)式的化簡與求值例4.〔2022云浮A〕計(jì)算：〔1〕log1(2—V3)2+3〔2〕2(lg22)2+lg22?lg5+d(igV2)2—Ig2+1；〔3〕—lg32—-1g8s+lgv'245.2 493變式：〔2022惠州A〕化簡求值.〔1〕1og2^27+1og212--1og242-1;〔2〕(1g2)2+1g2?1g50+1g25;〔3〕(1og32+1og92)?(1og43+1og83).知識點(diǎn)5：3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 8例5.〔2022深圳A〕對于0<a<1,給出以下四個不等式：①log(1+a)<log(a+-); ②log(1+a)〉log(1+-)；a aa a aa11④a1+a>a1+a; 其中成立的是〔〕〔A〕①與③〔B〕①與④〔C〕②與③〔D〕②與④、, 、 , r1 1...一一變式3〔2022韶關(guān)船已知0<,<^>1,">1,貝"1oga-』Og.b，logbb的大小美系是1 ,, 1A.log-1 ,, 1A.log-<logb<log一ababb1 ,,1,1C.logb<log-<log-a bbab1/I1B.logb<log-<log-a abbb1 11,D.log-<log-<logbbbaba例6.〔2022廣州B〕已知函數(shù)f(x)=1ogax(a>0,aW1),如果對于任意x￡[3,+8〕都有|f(x)|三1成立，試求a的取值范圍.&變式3〔2022廣雅B〕已知函數(shù)f〔x〕=1og2(x2-ax-a)在區(qū)間〔-8, 1-.J]上是單調(diào)遞減函數(shù).求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

知識點(diǎn)6：幕函數(shù)的圖象及應(yīng)用11例7.(2022佛山B)已知點(diǎn)(五2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)-2,-，在冪函數(shù)g(x)的圖I4)象上.問當(dāng)x為何值時有：〔1〕f(x)>g(x)；〔2〕f(x)=g(x)；〔3〕f(x)<g(x).變式：［2022揭陽B〕已知冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3〔m￡Z〕為偶函數(shù)，且在區(qū)間〔0,+8〕上是單調(diào)減函數(shù).〔1〕求函數(shù)f(x)； 〔2〕商量F〔x〕afO-七的奇偶性.四：方向預(yù)測、勝利在望..，、一1一x.〔A〕函數(shù)f(x)=lg 的定義域?yàn)椤病硏-4D.(—8,1]U(4,+8)A.(1,4)B.1,4) C.(D.(—8,1]U(4,+8).〔A〕以下四個數(shù)中的最大者是〔〕(A)(ln2)2 (B)ln(ln2) (C)In<2 (D)山23〔B〕設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為-,則a=()(A)-c2 〔B〕2 〔C〕242 〔D〕4.〔A〕已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時，f(x)=lgx.設(shè)"f(|)，b=f(|),c=f(2)，則〔〕〔A〕a<b<c 〔B〕b<a<c 〔C〕c<b<a〔D〕c<a<b[2ex-1,x<2,.〔B〕設(shè)fx)=| 則不等式fx)>2的解集為〔〕Ilog(x2-1),x>2,、 3 _(A)〔1,2〕D〔3,+8〕 (B)f<10,+8〕(C)〔1,2〕D〔<10,+8〕 (D)〔1,2〕6.〔A〕設(shè)P=log3,Q=log2,R=log(log2)，則〔〕2 3 2 3R<Q<PB,P<R<QC,Q<R<PD.R<P<Q7.(4)已知10glb<10gla<log8.22b>27.(4)已知10glb<10gla<log8.22b>2a>2c〔B〕以下函數(shù)中既1c，則()22a>2b>2cC.2c>2b>2a是奇函數(shù)，又是區(qū)間［1,1］上單調(diào)遞減的是〔D.2c>2a〕9.〔A〕f(x)=sinx(C)f(x)=1(ax+a-x)(B)(D)f(x)=-|x+1|f(x)=ln2—x2+x〔A〕函數(shù)J=Jog］(3x-2)的定義域是：〔2A[1,y) B(2,+8)C[2,1]310.(A)已知函數(shù)J=log=kx的圖象有公共點(diǎn)ADG,1］3且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,則k1A.—-4B.4C.1D.211.〔B〕假設(shè)函數(shù)f(x)=ax+b-1(a>0且a豐1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則肯定有〔〕A.0<a< >0A.0<a< >0c.0<a<1Kb<012.(B)假設(shè)函數(shù)/(x)=loga>1Kb>0D.a>1且Z?<0x(0<a<l)在區(qū)間［a,2a］上的最大值是最小值的3倍，則a=〔〕AQ.QA.—— B.——4 213.(A)已知0<x<y<a<1〔A〕log(町)<0a〔C〕1<log(孫)<2a14.〔A〕已知f(x6)=log4〔A〕3C.則有〔〔B〕0<log2〔B〕81D.2a〔D〕log(孫)>2a那么f(8)等于〔〔C〕181〔D〕—20)上單調(diào)遞增0)上單調(diào)遞增B.D..〔B〕函數(shù)y=lg|x〔〔〕A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(一口C.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,十^)上單調(diào)遞增lg(4—x).〔A〕函數(shù)y=——一的定義域是 _x一3

是偶函數(shù)，在區(qū)間(一-0)上單調(diào)遞減是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,十3上單調(diào)遞減.〔B〕函數(shù)y=a1-x(a>0a豐1)的圖象恒過定點(diǎn)A,假設(shè)點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0(mn>0)上，則—+1的最小值為mn/、 ［ex,x<0. //1、、.〔A〕設(shè)g(x)=< 則g(g(-))= ^Inx,x>0. 2.〔B〕假設(shè)函數(shù)f(x)=J2x2+2a-a-1的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為..(B)假設(shè)函數(shù)f(x)=log(x+%he2+2a2)是奇函數(shù)，則a=.a1一1+x.紇)已知函數(shù)f(x)=-log ，求函數(shù)f(x)的定義域，并商量它的奇偶性和單調(diào)x21-x性.參考答案：三：例題詮釋，舉一反三2例1.解：〔1〕9,〔2〕a26b-3+(a6b-3+(a3b-2)=一⑶110=-⑶110a〔2〕 4ab2例2.解：B變式：解：(0,1)；1例3.解：〔I〕b=1 〔II〕減函數(shù)。 〔m〕k<-3變式：解：〔1〕a=1.〔2〕略例4.解：〔1〕-1. 〔2〕1. 〔3〕1.2

7x1248x42x2變成J噬⑵2. 7x1248x42x2222 2 2 4例5.解：選D。變式：解：C例6.解：(1,3]U[1,1〕3變式：解：{a|2-2屋Wa<2}例7.解：〔1〕當(dāng)%>1或％<-1時，f(x)>g(x)；〔2〕當(dāng)x=±1時，f(x)=g(x)；〔3〕