立體幾何填空題分類匯編- 全國新高考地區(qū)近2年(2020-2021)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

第頁全國卷（新課標(biāo)）高三期末精編-立體幾何填空題型一：球體問題1．（2021·遼寧葫蘆島·高三期末）正三棱錐側(cè)棱長為，底面棱長為，三棱錐內(nèi)切球表面積是_______．2．（2021·山東聊城一中高三期末）正方體的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)在對角線上，當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的體積為______．3．（2021·江蘇常州·高三期末）如圖，在底面邊長為，高為的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為___________．4．（2021·福建三明·高三期末）已知直三棱柱的側(cè)棱長為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為__________.5．（2020·天津西青·高三期末）已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面體P﹣ABC的體積為，則該球的體積為_____．6．（2021·江蘇省新海高級中學(xué)高三期末）在三棱錐中，，，，．平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為_________．

7．（2021·山東德州·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，O為對角線與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球表面積為_________．8．（2020·廣東清遠(yuǎn)·高三期末（理））在三棱錐中，底面.若，分別是的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為__________.

9．（2020·山東德州·高三期末）中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于______.10．（2021·江蘇海門·高三期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算數(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個(gè)“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形，且，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為________．

題型二：點(diǎn)到面距離問題11．（2020·江蘇無錫·高三期末）在長方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是______.12．（2021·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高三期末）已知三個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，且，，是球面上異于??的一點(diǎn)，且平面，若球的表面積為，則球心到平面的距離為____________.13．（2021·山東菏澤·高三期末）已知四邊形是邊長為1的正方形，半徑為1的圓所在平面與平面垂直，點(diǎn)是圓上異于的任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)四面體的體積為________．

題型三：幾何體位置關(guān)系判定14．（2021·遼寧撫順·高三期末）將一個(gè)斜邊長為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為_________.15．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高三期末）已知正方體，棱長為1.點(diǎn)E是棱上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F是棱上的任意一點(diǎn)，則三棱錐的體積為______.16．（2021·遼寧沈陽·高三期末）如圖所示，正方體的棱長為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).，且，則下列結(jié)論中正確的序號是_________.①；②平面；③三棱錐的體積為定值；④△AEF的面積與的面積相等.

17．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末（理））在如圖棱長為的正方體中，點(diǎn)、在棱、上，且，在棱上，為過、、三點(diǎn)的平面，則下列說法正確的是__________．①存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為五邊形；②當(dāng)時(shí)，面與正方體的截面面積為；③只有一個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為四邊形；④當(dāng)面交棱于點(diǎn)，則、、三條直線交于一點(diǎn)．18．（2020·陜西·西安中學(xué)高三期末（理））已知矩形，，，將△ADC沿對角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐，則在翻折的過程中，有下列結(jié)論正確的有_____.①三棱錐的體積的最大值為；②三棱錐的外接球體積不變；③三棱錐的體積最大值時(shí)，二面角的大小是60°；④異面直線與所成角的最大值為90°.

19．（2021·浙江杭州·高三期末）在棱長為的正方體中，棱，的中點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在平面內(nèi)，作平面，垂足為．當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡所組成的圖形的面積等于_____________．

全國卷（新課標(biāo)）高三期末精編-立體幾何填空解析版題型一：球體問題1．（2021·遼寧葫蘆島·高三期末）正三棱錐側(cè)棱長為，底面棱長為，三棱錐內(nèi)切球表面積是_______．【答案】【分析】用正三棱錐的性質(zhì)及等體積法確定內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】設(shè)內(nèi)切球半徑為，則三棱錐高：；斜高：，表面積：，體積：，得，所以內(nèi)切球的表面積為故答案為:2．（2021·山東聊城一中高三期末）正方體的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)在對角線上，當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的體積為______．【答案】【分析】由題意得出正方體對角線的中點(diǎn)，則有是正四棱錐，的外接球就是的外接球．是，交點(diǎn)，則平面，外接球球心在上，設(shè)球半徑為，由勾股定理可求得，得體積．【詳解】正方體棱長為2，則對角線長為，，∴是中點(diǎn)，是正方體所有對角線的交點(diǎn)，因此是正四棱錐，的外接球就是的外接球．如圖，設(shè)是外接球球心，交點(diǎn)，則共線，底面，因此（∵平面），設(shè)外接球半徑為，則，即，解得，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查球的體積，解題關(guān)鍵是找到球的球心，求出半徑，解題時(shí)充分利用正方體的對稱性，得出是正四棱錐，其外接球就是三棱錐的外接球，利用正四棱錐的性質(zhì)易得其外接球球心，求得半徑．3．（2021·江蘇常州·高三期末）如圖，在底面邊長為，高為的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為___________．【答案】.【分析】設(shè)出小球半徑，結(jié)合圖形，利用已知條件，根據(jù)勾股定理，即可求出答案.【詳解】易知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，為小球球心，為大球球心，大球與正四棱柱的下底面相切與點(diǎn)，小球與正四棱柱的上底面相切與點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，如圖，由題意可知，,，所以，,因?yàn)閮蓤A相切，所以，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，即，又因?yàn)椋?故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的“切”“接”問題，主要考查學(xué)生的空間想象能力，解答時(shí)要準(zhǔn)確掌握“切”“接”問題的處理規(guī)律.(1)“切”的處理首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過做截面來解決，使截面過切點(diǎn)和球心.(2)“接”的處理抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.4．（2021·福建三明·高三期末）已知直三棱柱的側(cè)棱長為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為__________.【答案】【分析】設(shè)正三棱柱下底面和上底面的中心分別為，則的中點(diǎn)為球心，取棱中點(diǎn)，則為棱與球的切點(diǎn)，為球半徑，而到棱的距離等于，這樣利用勾股定理可求得半徑，從而得體積．【詳解】由題意三棱柱是正三棱柱，分別是棱柱下底面和上底面的中心，由對稱性知中點(diǎn)為球的球心，取中點(diǎn)（為切點(diǎn)），則（等于到棱距離．設(shè)球半徑為，由正三角形性質(zhì)知，與底面垂直，則必與底面上直線垂直，因此，解得，球體積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是利用對稱性確定球心位置求得球的半徑．從而求得球的體積．利用對稱性知正三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)為球心，而各棱與球相切的切點(diǎn)為各棱中點(diǎn)．從而易求得結(jié)論．5．（2020·天津西青·高三期末）已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面體P﹣ABC的體積為，則該球的體積為_____．【答案】【分析】根據(jù)四面體是球的內(nèi)接四面體，結(jié)合位置關(guān)系，可得棱錐的形狀，以及棱長之間的關(guān)系，利用體積公式即可代值計(jì)算.【詳解】設(shè)該球的半徑為R，則AB＝2R，2ACAB2R，∴ACR，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2，所以Rt△ABC面積SBC×ACR2，又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面體P﹣ABC的體積為，∴VP﹣ABCRR2，即R3＝9，R3＝3，所以：球的體積VπR3π×34π．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球體積的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題；本題的重點(diǎn)是要根據(jù)球心的位置去推導(dǎo)四面體的幾何形態(tài)，從而解決問題.6．（2021·江蘇省新海高級中學(xué)高三期末）在三棱錐中，，，，．平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為_________．【答案】4【分析】取中點(diǎn)，連接，，再根據(jù)題意依次計(jì)算，進(jìn)而得球的球心即為（與重合）【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，取中點(diǎn)，連接，所以，，所以平面，所以，此時(shí)，，，所以，即球的球心球心即為（與重合），半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于尋找球心，在本題中，均為直角三角形，故易得中點(diǎn)即為球心.考查空間思維能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.7．（2021·山東德州·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，O為對角線與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球表面積為_________．【答案】．【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)，證明的中點(diǎn)就是三棱錐的外接球球心，得出半徑后可求表面積．【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)榈酌妫云矫?，是菱形，則，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四點(diǎn)距離相等，即為三棱錐的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱錐的外接球表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查求三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是求出外接球球心．三棱錐的外接球球心一定在過各面外心且與此面垂直的直線上．8．（2020·廣東清遠(yuǎn)·高三期末（理））在三棱錐中，底面.若，分別是的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合題中幾何體的結(jié)構(gòu)，將題中棱錐的外接球問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球問題.【詳解】因?yàn)榈酌妫?又，所以平面，故.又，故，所以平面，所以.又，所以，故兩兩垂直.又，故該三棱錐外接球的半徑與一個(gè)棱長分別為1，，的長方體外接球半徑相同.所以三棱錐的外接球的半徑為，故外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問題，涉及線面垂直，線線垂直的性質(zhì)和判定；本題的關(guān)鍵是將棱錐的外接球問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球問題.9．（2020·山東德州·高三期末）中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于______.【答案】【分析】求出鱉臑的外接球的半徑，可求出，然后求出正方形的外接圓半徑，利用公式可求出陽馬的外接球半徑，然后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】四邊形是正方形，，即，且，，所以，的外接圓半徑為，設(shè)鱉臑的外接球的半徑，則，解得.平面，，可得，.正方形的外接圓直徑為，，平面，所以，陽馬的外接球半徑，因此，陽馬的外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積和體積的計(jì)算，同時(shí)也涉及了多面體外接球問題，解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10．（2021·江蘇海門·高三期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算數(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個(gè)“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形，且，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為________．

【答案】【分析】如圖，連接，取的中點(diǎn)為，連接，可證，設(shè)，則，利用基本不等式可求何時(shí)取最小值，又可證為三棱錐的外接球的球心，從而可求此時(shí)外接球的表面積.【詳解】如圖，連接，取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)槿庵鶠橹崩庵势矫?，而平面，故，又，，故平面，因?yàn)槠矫?，故，因?yàn)?，，故平面，因?yàn)槠矫?，?設(shè)，在直角三角形中，，同理，所以，整理得到.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，也就是時(shí)，的面積取最小值.因?yàn)槠矫妫矫?，故，故，而為直角三角形，故，故為三棱錐的外接球的球心，故外接球的直徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間中線線垂直、線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化，而三棱錐外接球的表面積體積的計(jì)算關(guān)鍵是球心位置的確定，可用球心到各頂點(diǎn)的距離相等來判斷，必要時(shí)可補(bǔ)體，通過規(guī)則幾何體的外接球來確定球心的位置.題型二：點(diǎn)到面距離問題11．（2020·江蘇無錫·高三期末）在長方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是______.【答案】【分析】利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長方體中，，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，解得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).12．（2021·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高三期末）已知三個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，且，，是球面上異于??的一點(diǎn)，且平面，若球的表面積為，則球心到平面的距離為____________.【答案】【分析】根據(jù)題中的垂直關(guān)系，確定球心，再根據(jù)球的表面積公式計(jì)算，再求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由，，并且平面，平面，，且平面，，是直角三角形和的公共斜邊，取的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知，所以點(diǎn)是三棱錐外接球的球心，設(shè)，則，則三棱錐外接球的表面積，，解得：,點(diǎn)到平面的距離.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的綜合問題，考查空間想象能力以及化歸和計(jì)算能力，（1）當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，并且側(cè)棱長為，那么外接球的直徑，（2）當(dāng)有一條側(cè)棱垂直于底面時(shí)，先找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線，球心在垂線上，根據(jù)垂直關(guān)系建立的方程.（3）而本題類型，是兩個(gè)直角三角形的公共斜邊的中點(diǎn)是外接球的球心.13．（2021·山東菏澤·高三期末）已知四邊形是邊長為1的正方形，半徑為1的圓所在平面與平面垂直，點(diǎn)是圓上異于的任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)四面體的體積為________．【答案】【分析】以D為原點(diǎn)，直線DA為x軸，直線DC為y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)其中，設(shè)平面MAB的法向量是0，，又0，，可得點(diǎn)C到平面ABM的距離有最大值，其最大值為，即可MABC的體積；【詳解】解：以D為原點(diǎn)，直線DA為x軸，直線DC為y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則，，，

依題意，可設(shè)，其中，．

設(shè)平面MAB的法向量是，AB=DC=0,1,0，AM=-1,m,n，

由a?AB=0,a?AM=0,可得取，得a=n,0,1，

又

到平面MAB的距離h=CB?aa=n1+n2∈0,22，

點(diǎn)C到平面ABM的距離有最大值，其最大值為，

當(dāng)h取得最大值時(shí)，，則，

且，題型三：幾何體位置關(guān)系判定14．（2021·遼寧撫順·高三期末）將一個(gè)斜邊長為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為_________.【答案】【分析】先求出等腰直角三角形的直角邊長，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)體圓錐的底面半徑和母線，再利用圓錐的表面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈妊苯侨切蔚男边呴L為4，所以直角邊長為，由題意可知所得幾何體是圓錐，其底面圓的半徑，母線長，則其表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓錐的表面積的問題，正確解題的關(guān)鍵點(diǎn)是：（1）要確定旋轉(zhuǎn)后所得到的幾何體是圓錐；（2）要明確圓錐的各個(gè)量：底面圓的半徑以及母線長；（3）要熟練掌握圓錐的表面積公式.15．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高三期末）已知正方體，棱長為1.點(diǎn)E是棱上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F是棱上的任意一點(diǎn)，則三棱錐的體積為______.【答案】【分析】由題意畫出圖形，再由等積法求三棱錐的體積．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如下圖所示：∵正方體棱長為1，點(diǎn)是棱上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的任意一點(diǎn).

∴故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的求法，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補(bǔ)形法、等體積法，等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值．16．（2021·遼寧沈陽·高三期末）如圖所示，正方體的棱長為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).，且，則下列結(jié)論中正確的序號是_________.①；②平面；③三棱錐的體積為定值；④的面積與的面積相等.【答案】①②③【分析】①由平面垂直可判斷，②由線面平行的定義可判斷，③棱錐底面面積不變，頂點(diǎn)到底面距離不變可判斷結(jié)論，④分析到直線的距離即可判斷.【詳解】對于①，由題意及圖形知，平面，故可得出，故①正確，對于②，由正方體的兩個(gè)底面平行，在其一面上，故與平面無公共點(diǎn)，故有EF∥平面ABCD，故②正確，對于③，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形的面積是定值，點(diǎn)到面的距離等于BD的一半，故可得三棱錐的體積為定值，故③正確，對于④，由圖形可以看出，到線段的距離與到的距離不相等，故的面積與的面積相等不正確，故④錯(cuò)誤，∴正確命題的序號是①②③.故答案為：①②③17．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末（理））在如圖棱長為的正方體中，點(diǎn)、在棱、上，且，在棱上，為過、、三點(diǎn)的平面，則下列說法正確的是__________．①存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為五邊形；②當(dāng)時(shí)，面與正方體的截面面積為；③只有一個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為四邊形；④當(dāng)面交棱于點(diǎn)，則、、三條直線交于一點(diǎn)．【答案】①②④【分析】讓從開始逐漸向運(yùn)動(dòng)變化，觀察所得的截面，從而可得正確的選項(xiàng)．【詳解】由題設(shè)可得為所在棱的中點(diǎn).當(dāng)時(shí)，如圖（1），

直線分別交與，連接并延長于，連接交于，則與正方體的截面為五邊形，故①正確.

當(dāng)，如圖（2），此時(shí)與正方體的截面為正六邊形，其邊長為，其面積為，故B正確.當(dāng)重合或重合時(shí)，如圖（3），與正方體的截面均為四邊形，故③錯(cuò)誤.如圖（4），在平面內(nèi)，設(shè)，則，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三條直線交于一點(diǎn).故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平面的性質(zhì)有3個(gè)公理及