壽險(xiǎn)精算學(xué)課件：多狀態(tài)模型

多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型發(fā)展背景多狀態(tài)模型是近年來(lái)在精算技術(shù)領(lǐng)域最令人激動(dòng)的成果之一。它基于隨機(jī)過(guò)程中的馬爾科夫鏈模型，有堅(jiān)實(shí)、成熟的理論基礎(chǔ)。我們前八章講授的所有精算模型都可以看做是多狀態(tài)模型的一個(gè)特例，它們都可以用多狀態(tài)模型一整套相同的理論分析，用一整套相同的符號(hào)表達(dá)，而且即使我們將更多的個(gè)體，更多的損因引入保障，也只是增加了多狀態(tài)模型中的狀態(tài)空間，在理論上和符號(hào)表達(dá)上不會(huì)增加任何難度。這極大地解決了傳統(tǒng)精算模型拓展性差的問(wèn)題。所以現(xiàn)在多狀態(tài)模型是精算師很實(shí)用的工具。第九章多狀態(tài)模型的假設(shè)條件與符號(hào)連續(xù)多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型離散多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型案例多狀態(tài)模型保費(fèi)厘定案例1生存-死亡模型Thealive–deadmodel案例2多損因死亡模型Terminsurancewithincreasedbenefitonaccidentaldeath案例3多元生命模型Thejointlifeandlastsurvivormodel案例4永久傷殘模型Thepermanentdisabilitymodel案例5失能受益模型Thedisabilityincomeinsurancemodel第九章多狀態(tài)模型的假設(shè)條件與符號(hào)連續(xù)多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型離散多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型案例多狀態(tài)模型保費(fèi)厘定假定定義為t時(shí)刻的狀態(tài)，假設(shè)共有n+1個(gè)有限狀態(tài)，即為一連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，通常假定它是一Markov過(guò)程假定1：無(wú)記憶性對(duì)于任意的時(shí)刻t和t+s，假如隨機(jī)變量Y在時(shí)刻t處于狀態(tài)i，而在時(shí)刻t+s可能處于狀態(tài)j的概率為

這意味著時(shí)刻t+s所處的狀態(tài)，只與時(shí)刻t所處的狀態(tài)有關(guān)，與時(shí)刻之前所處的狀態(tài)沒(méi)有任何關(guān)系。這個(gè)性質(zhì)在隨機(jī)過(guò)程里稱為馬爾科夫性：即未來(lái)事件的發(fā)生概率只依賴于現(xiàn)在的狀態(tài)，不依賴于過(guò)去的狀態(tài)。這個(gè)性質(zhì)也稱為馬爾科夫無(wú)記憶性。具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程稱為馬爾科夫過(guò)程（Markovprocess）。在此，我們假定多狀態(tài)模型滿足馬爾科夫性，即是一個(gè)馬爾科夫過(guò)程。假定1不是一個(gè)任何情況下都嚴(yán)格成立的假定，但是它是一個(gè)合理的技術(shù)假定。假定2：不可同時(shí)發(fā)生兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移在足夠小的一個(gè)時(shí)間區(qū)間里，只會(huì)發(fā)生一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移，不會(huì)同時(shí)發(fā)生2次及2次以上的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，即其中h為任意小的正實(shí)數(shù)。0(h)意味著，如果h趨向于0，0(h)也趨向于0。假定2不是一個(gè)任何情況下都嚴(yán)格成立的假定，但是它是一個(gè)合理的技術(shù)假定。

假定3：過(guò)程平滑對(duì)于任何狀態(tài)i和j，對(duì)于任何年齡x，假定轉(zhuǎn)移概率關(guān)于t可微。假定3是一個(gè)技術(shù)假定，以保證過(guò)程平滑，也保證了以極限的方式定義的轉(zhuǎn)移強(qiáng)度是存在的。同時(shí)還保證了當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨向于0時(shí)，轉(zhuǎn)移概率也趨向于0。符號(hào)例9.1使用多狀態(tài)模型的專業(yè)符號(hào)等價(jià)表達(dá)圖9.1-圖9.3各模型中的生存概率、死亡概率和死亡力函數(shù)。例9.1解圖9-1：生存-死亡模型例9.1解圖9-2：多重?fù)p因模型例9.1解圖9-3：多元生命模型例9.2證明對(duì)于一個(gè)一般的多狀態(tài)模型（h>0)有例9.2證明第九章多狀態(tài)模型的假設(shè)條件與符號(hào)連續(xù)多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型離散多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型案例多狀態(tài)模型保費(fèi)厘定轉(zhuǎn)移概率離散多狀態(tài)模型，實(shí)質(zhì)就是一個(gè)離散馬爾科夫鏈。在離散場(chǎng)合，我們主要關(guān)注如何基于轉(zhuǎn)移矩陣，推導(dǎo)出未來(lái)各狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移發(fā)生的概率。所謂轉(zhuǎn)移矩陣（transitionmatrix）是馬爾科夫于1907年研究馬爾科夫鏈的過(guò)程中提出的一個(gè)概念。它的定義是：給定一組狀態(tài)，在下一個(gè)單位時(shí)刻，該過(guò)程從當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)到另一狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣，轉(zhuǎn)移矩陣通常記作P轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)1.狀態(tài)集可以是有限的，也可以是無(wú)限的，即轉(zhuǎn)移矩陣可以是無(wú)窮階矩陣。2.轉(zhuǎn)移矩陣的每行元素之和為1，即例9.3以失能受益模型為例（圖9.5），假設(shè)歲的被保險(xiǎn)人年度轉(zhuǎn)移矩陣為請(qǐng)解釋該轉(zhuǎn)移矩陣中各數(shù)值的概率意義。例9.3解在轉(zhuǎn)移矩陣上標(biāo)示一下各狀態(tài)的含義，該矩陣中個(gè)數(shù)值的概率意義就非常清楚吸收狀態(tài)死亡狀態(tài)不可逆，也就是說(shuō)，如果某一時(shí)刻到達(dá)死亡狀態(tài)，則在后面的時(shí)刻將一直保持在該狀態(tài)。在隨機(jī)過(guò)程里這種狀態(tài)也稱為吸收狀態(tài)。吸收狀態(tài)之外的狀態(tài)稱為暫時(shí)狀態(tài)。存在吸收狀態(tài)的馬爾科夫鏈，稱為吸收馬爾可夫鏈(AbsorbingMarkovChain)。在壽險(xiǎn)產(chǎn)品中，通常都要考慮死亡狀態(tài)，所以壽險(xiǎn)產(chǎn)品幾乎都是吸收馬爾科夫鏈過(guò)程。例9.4使用例9.3的背景與數(shù)據(jù)，繼續(xù)深入的分析。假設(shè)目前歲的被保險(xiǎn)人90%是健康的，10%生病。且x歲~x+3歲每年的轉(zhuǎn)移矩陣相同，求：（1）三年后各狀態(tài)的發(fā)生概率。（2）x歲生病的人三年后會(huì)恢復(fù)健康的概率。例9.4解(1)第一年后，各狀態(tài)發(fā)生的概率為即x歲的被保險(xiǎn)人（當(dāng)時(shí)90%健康，10%生?。?，一年后有72.5%的被保險(xiǎn)人仍然是健康的，16.5%的被保險(xiǎn)人生病，還有11%的被保險(xiǎn)人會(huì)死亡。例9.4解第二年后，各狀態(tài)發(fā)生的概率為即x歲的被保險(xiǎn)人（當(dāng)時(shí)90%健康，10%生?。瑑赡暌院笥?2.65%的被保險(xiǎn)人仍然是健康的，15.825%的被保險(xiǎn)人生病，還有21.55%的被保險(xiǎn)人會(huì)死亡。例9.4解第三年后，各狀態(tài)發(fā)生的概率為即x歲的被保險(xiǎn)人（當(dāng)時(shí)90%健康，10%生?。暌院?，有54.88%的被保險(xiǎn)人仍然是健康的，14.14%的被保險(xiǎn)人生病，還有30.98%的被保險(xiǎn)人會(huì)死亡。例9.4解（2）轉(zhuǎn)移矩陣表示一年后各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率。同理，兩年后各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率即為三年后各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率即為矩陣的第二行第一列數(shù)據(jù)即即為x歲生病的人三年后恢復(fù)健康的概率，計(jì)算可得x歲生病的被保險(xiǎn)人，三年后恢復(fù)健康的概率為47.625%。第九章多狀態(tài)模型的假設(shè)條件與符號(hào)連續(xù)多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型離散多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型案例多狀態(tài)模型保費(fèi)厘定連續(xù)多狀態(tài)模型

在多狀態(tài)模型中，轉(zhuǎn)移強(qiáng)度是一個(gè)基本量，它決定了我們需要了解的多狀態(tài)模型中的所有信息。所有的轉(zhuǎn)移概率都能基于轉(zhuǎn)移強(qiáng)度表達(dá)出來(lái)。在連續(xù)多狀態(tài)場(chǎng)合，我們主要關(guān)注如何基于轉(zhuǎn)移強(qiáng)度，推導(dǎo)出未來(lái)哥狀態(tài)之間發(fā)生轉(zhuǎn)移的概率。停留概率的計(jì)算證明例9.5對(duì)于永久傷殘模型（圖9.4），已知求例9.5解轉(zhuǎn)移概率計(jì)算多狀態(tài)模型中，轉(zhuǎn)移概率的概率意義是：被保險(xiǎn)人在時(shí)刻處于狀態(tài)；在時(shí)刻，處于狀態(tài)的概率。如果在時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)，只發(fā)生了一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移，直接由狀態(tài)i轉(zhuǎn)到狀態(tài)j，這時(shí)稱為直接轉(zhuǎn)移。比如在生存-死亡模型中（圖9.1），就一定是直接狀態(tài)轉(zhuǎn)移，因?yàn)閺?狀態(tài)只能轉(zhuǎn)到1狀態(tài)，而且1狀態(tài)是吸收狀態(tài)，進(jìn)去就不會(huì)再出來(lái)了。但有時(shí)，在時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)，要從狀態(tài)i轉(zhuǎn)到狀態(tài)j，可能會(huì)發(fā)生多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移，這時(shí)稱為間接轉(zhuǎn)移。比如在失能受益模型中（圖9.5），在t時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)，可能會(huì)出現(xiàn)一次或多次健康→生病→→健康→生病過(guò)程。如果只出現(xiàn)一次健康→生病的過(guò)程，就是直接狀態(tài)轉(zhuǎn)移。如果出現(xiàn)多次健康→生病的過(guò)程，就是間接狀態(tài)轉(zhuǎn)移。直接轉(zhuǎn)移的轉(zhuǎn)移概率公式直接轉(zhuǎn)移圖示直接轉(zhuǎn)移概率間接轉(zhuǎn)移的轉(zhuǎn)移概率公式間接轉(zhuǎn)移要復(fù)雜一些：在t時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)，會(huì)發(fā)生不止一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移，我們把關(guān)注點(diǎn)先放著第一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移上。假設(shè)第一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移發(fā)生在時(shí)刻s，這時(shí)由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到任意某個(gè)狀態(tài)k(k不等于i）。這就意味著，在0~s時(shí)刻，該過(guò)程一直停留在狀態(tài)i，然后在s時(shí)刻，瞬間由狀態(tài)i轉(zhuǎn)到狀態(tài)k，之后在s~t時(shí)刻，會(huì)產(chǎn)生一次或多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移，使得在t時(shí)刻，過(guò)程能停留在狀態(tài)j。間接轉(zhuǎn)移概率例9.6對(duì)于永久傷殘模型（圖9.4），已知求：例9.6解例9.7使用圖9.5夫妻聯(lián)合模型，已知計(jì)算一對(duì)夫妻10年后丈夫死亡，妻子存活的概率。例9.7解Kolmogorov向前方程Kolmogorov向前方程是蘇聯(lián)偉大的數(shù)學(xué)家Kolmogorov對(duì)馬爾科夫鏈過(guò)程推導(dǎo)出的一個(gè)微分方程，方程結(jié)構(gòu)為Kolmogorov向前方程證明Kolmogorov向前方程重要性Kolmogorov向前方程揭示了由狀態(tài)i向狀態(tài)j轉(zhuǎn)移的過(guò)程中，轉(zhuǎn)移概率增量的構(gòu)成。它是由轉(zhuǎn)入強(qiáng)度減去轉(zhuǎn)出強(qiáng)度構(gòu)成。Kolmogorov向前方程還有一個(gè)重要應(yīng)用，就是當(dāng)轉(zhuǎn)移概率很難計(jì)算時(shí)，利用Kolmogorov向前方程，可以得到的轉(zhuǎn)移概率的遞推公式例9.8對(duì)于永久傷殘模型（圖9.4）已知取h=0.5，利用Kolmogorov向前方程計(jì)算例9.8解（1）x歲的被保險(xiǎn)人納入研究，當(dāng)時(shí)應(yīng)該正處于存活狀態(tài)，即，利用Kolmogorov向前方程，得到的遞推估計(jì)值為例9.8解（2）因?yàn)?，所以利用Kolmogorov向前方程，得到的遞推估計(jì)值為第九章多狀態(tài)模型的假設(shè)條件與符號(hào)連續(xù)多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型離散多狀態(tài)模型多狀態(tài)模型案例多狀態(tài)模型保費(fèi)厘定多狀態(tài)模型的年金精算現(xiàn)值厘定假定一個(gè)x歲的生命，現(xiàn)在處于狀態(tài)i，一旦轉(zhuǎn)到狀態(tài)j（j也可以等于i），每年連續(xù)給付1單位元的年金，假設(shè)利息力為

，該年金的精算現(xiàn)實(shí)值為例9.9對(duì)于永久傷殘模型（圖9.4）已知計(jì)算例9.9解例9.9解多狀態(tài)模型保險(xiǎn)受益精算現(xiàn)值厘定保險(xiǎn)受益金的支付總是與某種狀態(tài)轉(zhuǎn)移為條件的。死亡給付是狀態(tài)轉(zhuǎn)到死亡狀態(tài)支付，一種狹義的疾病保險(xiǎn)，可以在死亡或某些特殊疾病確診時(shí)給付收益金。假定從狀態(tài)i轉(zhuǎn)到狀態(tài)j就有1單位元的即刻給付；假設(shè)利息力為，該受益的期望現(xiàn)時(shí)值為例9.10對(duì)于永久傷殘模型（圖9.4）已知計(jì)算例9.10解例9.11(x)健康人群投保一個(gè)四年定期失能受益保險(xiǎn)（如圖9.5）。已知該三狀態(tài)Markov鏈轉(zhuǎn)移概率陣為該產(chǎn)品受益給付為：（1）如果被保險(xiǎn)人在第N年死亡，死亡年末給付1000N元（2）如果被保險(xiǎn)人從健康轉(zhuǎn)到失能狀態(tài)，年末給付500元假如，且狀態(tài)轉(zhuǎn)移都發(fā)生在年末，求：（1）該保險(xiǎn)產(chǎn)品躉交