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文檔簡介
廣東省東莞市黃江鎮(zhèn)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)
試題
學(xué)校:姓名:班級:考號:
一、單選題
1.把一元二次方程--3x=l化為一般形式,則它的一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為()
A.1,—3B.3,-1C.-3,—1D.—3,1
2.下列圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是()
3.已知二次函數(shù)y=g(尤-6y+3下列說法:①其圖像的開口向下;②其圖像的對稱軸
為直線下一6;③其圖像頂點坐標(biāo)為(6,3);④當(dāng)尤<6時,y隨尤的增大而減小.則
其中說法正確的有
A.1個B.2個C.3個D.4個
4.某種芯片實現(xiàn)國產(chǎn)化后,經(jīng)過兩次降價,每塊芯片單價由128元降為88元.若兩次
降價的百分率相同,設(shè)每次降價的百分率為x,根據(jù)題意,可列方程
A.128(1-N)=88B.88(1+x)2=128
C.128(1-2x)=88D.128(1-x)2=88
5.如圖,在RtABC中,/&1C=9O。.將RtABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)47得到
及AA'3'C,點A在邊8'C上,則的大小為()
6.二次函數(shù)y=--2x-2與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是()
A.0個B.1個C.2個D.3個
7.如圖所示,在一幅矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條相同寬度的邊框,制成一幅長為80c〃z,
寬為50c機的掛圖,設(shè)邊框的寬為xc%,如果風(fēng)景畫的面積是2800c/,下列方程符合
題意的是()
50cm
80cm
A.(50+x)(80+x)=2800B.(50+2x)(80+2x)=2800
C.(50-x)(80-x)=2800D.(50-2尤)(80-2x)=2800
8.把拋物線y=/先向左平移i個單位再向上平移i個單位,所得到拋物線的表達(dá)式為
()
A.y=x2+lB.y=(%+l)2+lC.y=(x-l)2-lD.y=(^+l)2-l
9.若A,X2是一元二次方程尤2-2無一3=0的兩個根,貝!|x;+考+再超的值是()
A.-7B.-1C.1D.7
10.已知二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aw0)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:@a+b+c<0;
②a-b+c<0;③b+2a<0;④abc>0,其中正確的個數(shù)是()
二、填空題
11.若關(guān)于x的一元二次方程f+6x-c=0有一根為-2,則c的值為.
12.拋物線>=以2+法+°過點4(-1,6),3(3,6),則此拋物線的對稱軸是直線尤=_
13.若關(guān)于x方程W+S+b)x+6=。的一個根是3,那么另一個根是
14.如果方程近2+2x+1=0有兩個不等實數(shù)根,則實數(shù)上的取值范圍是.
15.若點尸。小-加+3)關(guān)于原點的對稱點Q在第三象限,那么根的取值范圍是
三、解答題
16.用合適的方法解下列方程:
⑴尤2-7X+12=0;
試卷第2頁,共4頁
⑵尤2+4X+1=0.
17.拋物線的圖像如圖所示,其中點A為頂點.
(1)寫出點A,B的坐標(biāo);
⑵求出拋物線的解析式.
18.如圖,將一個含30。角的三角板A3C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△££>(?,點3、C、E共
(2)若AB=1,求BE的長.
19.已知相,"是方程/_2工一1=0的兩個根.求3裙_6m-7的值.
20.已知關(guān)于尤的一元二次方程N+(2A+3)x+N=0有兩個不相等的實數(shù)根x/,X2.
(1)求左的取值范圍;
11
(2)若丁+7=-1,求上的值.
21.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B,C的坐標(biāo)分別是(-2,-4),(0,-4),(1,-1),ABC
繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到44^G.
(1)畫出△4片a,并寫出點G的坐標(biāo);
⑵畫出,ABC關(guān)于原點。對稱的△AAQ.
22.如圖,已知二次函數(shù)y=^_4x+c的圖像與坐標(biāo)軸交于點4-1,0)和點8(0,-5).
(2)已知該函數(shù)圖像的對稱軸上存在一點尸,使得AASP的周長最小.請求出點尸的坐
標(biāo);
(3)在(2)的條件下,在x軸上找一點使得A4PM是等腰三角形,請直接寫出所
有符合條件的點M的坐標(biāo).
23.正方形A3CD的邊長為5,E,尸分別是AB,8c邊上的點,且ZH)尸=45。.將DAE
繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△naw.
(1)求證:EF=AE+CF-
(2)當(dāng)AE=2時,求石尸的長.
試卷第4頁,共4頁
參考答案:
1.C
【分析】根據(jù)一元二次方程的一般式即可求出答案.
【詳解】解:化為一般式為:尤2-3元-1=0
???故一次項系數(shù)為-3,常數(shù)項為:-1
故選:C.
【點睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=Q力,c是常數(shù)且存0),在
一般形式中辦2叫二次項,bx叫一次項,c是常數(shù)項.其中。力,c分別叫二次項系數(shù),一次項
系數(shù),常數(shù)項.
2.A
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念逐個排查即可解答.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋
找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后兩部
分重合.
【詳解】解:A、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,符合題意;
B、該圖形不是中心對稱圖形,是軸對稱圖形,不符合題意;
C、該圖形不是中心對稱圖形,是軸對稱圖形,不符合題意;
D、該圖形不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,不符合題意.
故選:A.
3.B
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知。=3>0,所以函數(shù)的開口向上,故①不正確;根據(jù)解析式
可知函數(shù)的對稱軸為x=6,故②不正確;根據(jù)函數(shù)的頂點式可知函數(shù)的頂點為(6,3),故
③正確;根據(jù)函數(shù)的圖像可知當(dāng)尤<6時,函數(shù)的圖像在對稱軸的左邊,y隨x增大而減小,
故④正確,綜上,即可得.
【詳解】解::函數(shù)的解析式丫=:(》-6)2+3中的4=;>0,
2z
.??函數(shù)的開口向上,
故①不正確;
:函數(shù)的對稱軸為戶6,
故②不正確;
:函數(shù)的頂點式可知函數(shù)的頂點為(6,3),
答案第1頁,共13頁
故③正確;
?.?當(dāng)尤<6時,函數(shù)的圖像在對稱軸的左邊,y隨尤增大而減小,
故④正確,
綜上,只有③④正確,
故選:B.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).
4.D
【分析】根據(jù)該藥品的原售價及經(jīng)過兩次降價后的價格,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,
此題得解.
【詳解】解:依題意得:128(1-x)2=88.
故選:D.
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方
程是解題的關(guān)鍵.
5.A
【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/A'=/BAC=90。,ZAG4,=47°,然后在直角△A(方中利
用直角三角形兩銳角互余求出AB'.
【詳解】解:在RtAABC中,/BAC=90。,將RtAABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)48。得到必
△ABC',
ZA,=Z.BAC=90°,ZAC4,=47°,
.-.ZS,=90°-ZAC4,=43°.
故選A.
【點睛】本題考查了轉(zhuǎn)的性質(zhì):對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段
的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì).
6.D
【分析】畫出二次函數(shù)y=x2—2x—2的圖像,根據(jù)圖像進(jìn)行解答.
【詳解】先審題,二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點,有兩種情況.第一與y軸的交點,即尤=0的時
候,求得y=-2,這是一個交點.第二與尤軸的交點,即y=0,就是求二次方程無2—2x—2
=0的解,求得兩解.因此,可解得有3個交點.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點的求法,令尤=0和j=0分別解2個方程是
本題的解題關(guān)鍵.
答案第2頁,共13頁
7.D
【分析】根據(jù)圖求出風(fēng)景畫的長、寬,再利用矩形的面積公式即可得出答案.
【詳解】由題意得:風(fēng)景畫的長為:(8。-2x)57,寬為:(50-2x)cm
利用矩形的面積公式得:(8。-2x)(50-2x)=2800
故選:D.
【點睛】本題考查了一元二次方程的幾何應(yīng)用,依據(jù)題意求出風(fēng)景畫的長、寬是解題關(guān)鍵.
8.B
【分析】直接利用二次函數(shù)平移規(guī)律得出平移后解析式.
【詳解】解:將拋物線y=f先向左平移1個單位再向上平移1個單位,得到的拋物線的函數(shù)
表達(dá)式為y=(x+iy+1.
故選:B.
【點睛】本題考查函數(shù)圖像的平移,要求熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減,上加下減,并用
規(guī)律求函數(shù)解析式.理解和掌握函數(shù)圖像平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
9.D
hr
【分析】利用兩根之和為玉+尤2=-一,兩根之積為國%=—,計算即可.
aa
【詳解】解::4、々是一元二次方程/一2尤-3=0的兩個根,
再+x2=2,x[x2=-3,
???片+君+西兄2=(%+%2)2―F%2=4—(—3)=7,
故選:D.
【點睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系的公式.
10.B
【分析】①據(jù)當(dāng)X=1時圖象在X軸下方,得出yVO,即a+b+c<0判斷即可;
②據(jù)當(dāng)x=-l時圖象在x軸上方,得出y>0,即a-b+c>0判斷即可;
③據(jù)對稱軸X=-=<1,得出2a+b>0進(jìn)行判斷;
2a
④由圖象開口向上判斷出a>0,由對稱軸在y軸右側(cè)得出b<0,由拋物線與y軸交于負(fù)半
軸,c<0判斷即可.
【詳解】解:①當(dāng)x=l時圖象在x軸下方時,y<0,
答案第3頁,共13頁
即a+b+c<0,①正確;
②當(dāng)x=-l時圖象在x軸上方,y>0,
即a-b+c>0,②錯誤;
③由拋物線的開口向上知a>0,
Vx=<1,
la
.*.2a+b>0,③錯誤;
④:圖象開口向上,
:對稱軸在y軸右側(cè)
.*.b<0,
???拋物線與y軸交于負(fù)半軸,
.".c<0,
/.abc>0,④正確,
,正確的結(jié)論有2個;
故選:B.
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號由
拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定是解題的關(guān)鍵.
11.-8
【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系數(shù)的值.
【詳解】解:把x=-2代入方程有:4-12-c=0
c=-8.
故答案為:-8.
【點睛】此題考查的是一元二次方程的解,把方程的解代入方程可以求出字母系數(shù)的值.
12.1
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),先根據(jù)點A(T6),3(3,6)的縱坐標(biāo)相等可
知兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出對稱軸直線即可,根據(jù)題意得出
兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解::點A(T6),現(xiàn)3,6)的縱坐標(biāo)相等,
.??兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,
答案第4頁,共13頁
.,?拋物線的對稱軸為:直線X=—^-=1,
2
故答案為:1.
13.2
【分析】設(shè)方程的另一個根是"3由根與系數(shù)的關(guān)系兩根之積等于6,即3機=6,然后求解
即可.牢記“一元二次方程加+云+。=0(。叫的兩根之和等于-:,兩根之積等于亍,是解
題的關(guān)鍵.
【詳解】解:設(shè)方程的另一個根是北
根據(jù)題意得:3m=6,解得:m=2,
方程的另一個根是2.
故答案為:2.
14.左<1且上片0
【分析】本題考查了一元二次方程加+6x+c=0(aw0)的根的判別式A=62-4oc:當(dāng)A〉。,
方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)A=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)A<0,方程沒有實數(shù)
根.也考查了一元二次方程的定義.根據(jù)一元二次方程依2+法+。=0(。#0)的根的判別式
^=b2-4ac,由題意得人力0且A>0,即22-4X^X1>0,然后求出兩個不等式的公共部分
即可.
【詳解】解:???方程區(qū)2+2》+1=0有兩個不等實數(shù)根,
.?.左/0且A=2z-4x左xl=4-4上>0
解得左<1且左片0,
故答案為:左<1且人力0.
15.0<m<3
【分析】由題意知點尸必在第一象限,根據(jù)第一象限的坐標(biāo)特征,可列出關(guān)于根的一元一
次不等式組,解不等式組即可求得加的取值范圍.
【詳解】???點尸(m,-m+3)關(guān)于原點的對稱點。在第三象限
二?點尸(m,-m+3)在第一象限
則(f-mm>+03>0
解不等式組得:0〈根<3
答案第5頁,共13頁
故答案為:0<加<3
【點睛】本題考查了兩點關(guān)于原點對稱的性質(zhì),點在各個象限的坐標(biāo)特征,解一元一次不等
式組,掌握這些知識是解決本題的關(guān)鍵.
16.(1)玉=3,x2=4
(2)%=—2—A/3,/=—2+A/3
【分析】(1)運用因式分解法解一元二次方程即可;掌握運用因式分解法解一元二次方程是
解題的關(guān)鍵;
(2)先配方,然后運用直接開平方即可解答;掌握配方法是解題的關(guān)鍵.
【詳解】(1)解:%2一7%+12=0
(x-3)(x-4)=0,
尤―3=0或%-4=0,
%=3,4=4;
(2)解:X2+4x+l=0
%?+4%=—1f
/+4%+4=-1+4,
(x+2『=3,
尤+2=土幣)>
玉=-2->/3,=-2+-\/3.
17.(1)42,-4),5(0,4)
(2)y=2(x-2)2-4
【分析】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識,
解題關(guān)鍵是通過圖像獲得所需信息.
(1)觀察圖像,即可確定點A,8的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2-4利用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】(1)解:根據(jù)圖像可知,42,-4),8(0,4);
答案第6頁,共13頁
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2-4,
將點W。,4)代入,
可得4a-4=4,解得4=2,
所以拋物線的解析式為y=2(%-2)2-4.
18.(1)150
⑵2+6
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識,
理解并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
(1)根據(jù)點3、C、E共線,/ACB=30。,由/ACE=180。-NACB即可求得答案;
(2)首先根據(jù)“直角三角形中,30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得AC=2,再根據(jù)
勾股定理解得BC=JAC?-AB?=6,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=C4=2,即可獲得答
案.
【詳解】(1)解::點B、C、E共線,ZACB=30°,
:.ZACE=180°-ZACB=150°,即旋轉(zhuǎn)角=150。.
故答案為:150;
(2)解:,:?B90?,ZACS=30°,AB=1,
:.AC=2AB=2,
BC=VAC2-AB2=73,
又ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到AEDC,
:.CE=CA=2,
:.BE=CE+BC=2+43.
19.-4
【分析】將"z代人方程--2x-1=0可得病-2根=1,然后再對3m2-6”7-7變形得到
3(m2-2m)-7,然后整體代人即可解答;掌握一元二次的解以及代數(shù)式的靈活變形是解題
的關(guān)鍵.
【詳解】解:是方程--2%-1=0的一個根,
答案第7頁,共13頁
nr—2m—1=0,BPm2—2m=1,
3m2-6m—1=3(w?—2a)-7=3x1—7=-A-.
3
20.(1)k>-(2)k=3.
4
【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△>(),即可得出關(guān)于左的不等式,解之即可得
出左的取值范圍;
2
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x/+x2=-24-3,xIX2=k,結(jié)合上+工=-1即可得出關(guān)于
X]x2
上的分式方程,解之經(jīng)檢驗即可得出結(jié)論.
【詳解】(1);關(guān)于尤的一元二次方程N+(24+3)x+%2=0有兩個不相等的實數(shù)根,
;.△=(2/+3)2-4k2>0,
3
解得:Q-=;
4
(2)Xi>&是方程N+(24+3)x+N=0的實數(shù)根,
.".xi+x2=-2k-3,xiX2=k2,
解得:ki=3,fe=-1>
經(jīng)檢驗,k!=3,左2=-1都是原分式方程的根,
又,:k>-—,
4
k=3.
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式,解題的關(guān)鍵是:(1)牢記“當(dāng)A>0時,
方程有兩個不相等的實數(shù)根”;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合'+1找出關(guān)于左的分式方程.
龍]x2
21.(1)圖見解析,G(l,l)
(2)圖見解析
【分析】此題考查旋轉(zhuǎn)畫圖,中心對稱作圖,
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定A、崗、G,然后順次連接即可畫出圖形,最后寫出C1的坐標(biāo);
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵;
答案第8頁,共13頁
(2)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)確定4、與、G,然后順次連接即可畫出圖形.掌握中心對稱的
性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【詳解】(1)解:如圖:△Age即為所求;點點C1的坐標(biāo)為(u).
(2)解:如圖:與C?即為所求.
22.(1)y=x2-4.r-5;(2)點尸的坐標(biāo)為(2,-3);(3)四(5,0)或(一1一3四,0)或(30-1,0)
或(2,0).
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可;
(2)先求解拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo),由AC兩點關(guān)于關(guān)于對稱軸對稱,連接3c
交對稱軸與尸點,則AABP的周長最短,再求解BC的解析式即可得到答案;
(3)先求解AP的長度,分別以A尸為圓心,AP為半徑畫弧,得到與x軸的交點符合題意,
作AP的垂直平分線與x軸的交點也符合題意,從而可得答案.
【詳解】解:(1)根據(jù)題意,把點4T0)和點8(0,-5)代入函數(shù)解析式.得
0=a-(-l)2-4x(-l)+c
-5=a-02-4x0+c
a=l
解得
c=-5'
二次函數(shù)的表達(dá)式為y=Y-4x-5;
(2)令y=0,得二次函數(shù)y=/-4x-5的圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)C(5,0);
由于尸是對稱軸尤=2上一點,
連接A8,由于=后,
答案第9頁,共13頁
要使AAB尸的周長最小,只要上4+尸3最小;
由于點A與點C關(guān)于對稱軸x=2對稱,連接BC交對稱軸于點P,
則R4+PB=3P+PC=3C,根據(jù)兩點之間,線段最短,可得上4+PB的最小值為5C;
因而5C與對稱軸x=2的交點尸就是所求的點;
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
b=-5k=l
根據(jù)題意可得0=5』解得
b=-5
所以直線BC的解析式為y=%-5;
x=2x=2
因此直線3C與對稱軸1=2的交點坐標(biāo)是方程組〈的解,解得
y=x—5y=-3'
所求的點P的坐標(biāo)為(2,-3);
(3)4(-1,0),尸(2,-3)*
AP=^/(-1-2)2+(0+3)2=3近,
以A為圓心,AP為半徑畫弧,交無軸于監(jiān),加2,
OMX=OA+AMl=OA+AP=l+3>f2,OM2=AM2-OA=AP-OA=3y/2-l,
答案第10頁,共13頁
.-.Mjf-l-3"0),此(3拒-10),
以尸為圓心,AP為半徑,交九軸于加3,
由等腰三角形的三線合一得到:4
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