第05講 古典概型、概率的基本性質(zhì) 高頻考點精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習精講精練（藝考生基礎(chǔ)版）

第第頁第05講古典概型、概率的基本性質(zhì)(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：古典概型題型二：概率基本性質(zhì)的應(yīng)用題型三：古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用第一部分：知第一部分：知識點精準記憶知識點一：古典概型試驗具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．知識點二：古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù)．知識點三：概率的性質(zhì)1：概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）性質(zhì)1：對任意的事件，都有；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對于任意事件，因為，所以.2：互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.3：對立事件的概率（性質(zhì)4）性質(zhì)4：如果事件與事件互為對立事件，那么，；4：概率的一般加法公式（性質(zhì)6）性質(zhì)6：設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，有第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：古典概型典型例題例題1．（2022·江蘇省洪澤中學(xué)高一期中）為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，豐富學(xué)生的課余生活，某校團委開設(shè)了70個社團供學(xué)生自由選擇.現(xiàn)已知甲?乙兩位同學(xué)均準備從“創(chuàng)客空間”、“春柳文學(xué)社”、“舞龍協(xié)會”這三個社團中選擇一個報名，則這兩位同學(xué)的不同報名方案種數(shù)為（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【詳解】不妨記“創(chuàng)客空間”、“春柳文學(xué)社”、“舞龍協(xié)會”分別為，則這兩位同學(xué)的報名方案有，共9種.故選：C.例題2．（2022·上海楊浦·高三期中）同時擲兩枚般子，向上的點數(shù)之和是6的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】列表得共有36種等可能的結(jié)果，向上的點數(shù)之和是6的情況有5種，擲兩枚般子，向上的點數(shù)之和是6的概率是，故選：D例題3．（2022·廣東·順德一中高二期中）從這個數(shù)中隨機取出個不同的數(shù)為，則的概率為___________.【答案】【詳解】從個數(shù)中隨機取出個數(shù)，則有，，，，，，共種情況；其中滿足的有，，，，共種情況，的概率.故答案為：.例題4．（2022·廣東順德德勝學(xué)校高二期中）天氣預(yù)報說，在今后的三天中每一天下雨的概率均為，用隨機模擬的方法進行試驗，由???表示下雨，由?????表示不下雨，利用計算器中的隨機函數(shù)產(chǎn)生之間隨機整數(shù)的組如下：通過以上隨機模擬的數(shù)據(jù)可知三天中恰有兩天下雨的概率近似為___________.【答案】0.25##【詳解】解：由數(shù)據(jù)可知，表示恰有兩天下雨的數(shù)據(jù)為共5組，所以三天中恰有兩天下雨的概率近似為.故答案為：.例題5．（2022·浙江·寧波市北侖中學(xué)高二期中）一個盒子里裝有標號為1，2，3，4的4張標簽，隨機地選取兩張標簽，若標簽的選取是無放回的，求兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；若標簽的選取是有放回的，求兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．【答案】無放回時，概率為；有放回時，概率為【詳解】（1）選取是無放回的，，共有12種方法，其中相鄰的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6種，所以兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為.（2）選取是有放回的，，共有16種方法，其中相鄰的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6種，所以兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為.同類題型歸類練1．（2022·新疆·烏魯木齊101中學(xué)高一期末）由于夏季某小區(qū)用電量過大，據(jù)統(tǒng)計一般一天停電的概率為0.2，現(xiàn)在用數(shù)據(jù)0，9表示停電；用1、2、3、4、5、6、7、8表示當天不停電，（那么使用隨機模擬方法得到以下30個數(shù)據(jù)），38

21

79

14

56

74

06

89

53

90

14

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30

9378

63

44

71

28

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03

53

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47

63

10

94

29

43那連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為（

）A．0.260 B．0.300 C．0.320 D．0.333【答案】B【詳解】連續(xù)兩天中恰好有一天停電的情況有：79

06

89

30

93

03

10

94

29共9種，所以連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為，故選：B2．（2022·安徽·太和縣第八中學(xué)高二階段練習）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】1，2，3，4，5的5張卡片中無放回隨機抽取2張，由以下情況：，共10種情況，其中抽到的2張卡片的數(shù)字之和是偶數(shù)的有，共4種情況，所以概率為.故選：B3．（2022·浙江浙江·高三期中）從數(shù)字中任意取出兩個數(shù)字，這兩個數(shù)字不是連續(xù)的自然數(shù)的概率是__．【答案】##0.6【詳解】從中任意取出2個數(shù)共有種結(jié)果，數(shù)字是不連續(xù)自然數(shù)的情況有，共6種結(jié)果.所以數(shù)字是不連續(xù)自然數(shù)的概率為.故答案為：.4．（2022·湖北·武漢市第十七中學(xué)高二期中）從至的個整數(shù)中隨機取個不同的數(shù)．(1)寫出所有不同的取法；(2)求取出的個數(shù)互質(zhì)的概率．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）從至的個整數(shù)中隨機取個不同的數(shù)，共有以下種不同的取法，,,,,.（2）兩數(shù)互質(zhì)的取法有：，共11種，故所求概率．5．（2022·北京豐臺·高二期中）從2名男生（記為,）和2名女生（記為,）這4人中一次性選取2名學(xué)生參加象棋比賽（每人被選到的可能性相同）.(1)請寫出該試驗的樣本空間;(2)設(shè)事件為“選到1名男生和1名女生”,求事件發(fā)生的概率;(3)若2名男生,所處年級分別為高一、高二,2名女生,所處年級分別為高一、高二,設(shè)事件為“選出的2人來自不同年級且至少有1名女生”,求事件發(fā)生的概率.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解:由題知,樣本空間為;（2）由(1)知,所有的可能結(jié)果數(shù)為6個,其中滿足事件得結(jié)果數(shù)有4個,故;（3）由(1)知,所有的可能結(jié)果數(shù)為6個,其中滿足事件得結(jié)果數(shù)有3個,故.題型二：概率基本性質(zhì)的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】隨機事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且，，，即，解得，即．故選：D．例題2．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二開學(xué)考試）設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】D【詳解】對于A：若A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則，故A錯誤；對于B：若，則，故B錯誤；對于C：當A、B獨立時，，當A、B不獨立時，則不成立，故C錯誤；對于D：若，則，故D正確.故選：D例題3．（2022·全國·高一單元測試）現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：投資股市：投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率購買基金：投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率(1)當時，求的值；(2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求的取值范圍．【答案】(1)(2)（1）解∵“購買基金”的投資結(jié)果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種，且三種投資結(jié)果相互獨立，∴．又，∴．（2）記事件為“甲投資股市且獲利”，事件為“乙購買基金且獲利”，事件為“一年后甲、乙兩人中至少有一人獲利”，則，且，相互獨立．由題意可知，．∴．∵，∴．又，，∴．∴．例題4．（2022·全國·高二單元測試）從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個數(shù)的概率如下表所示：紅燈個數(shù)0123456個及6個以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母的值；(2)求至多遇到5個紅燈的概率．【答案】(1)(2)(1)由題意可得，解得.(2)設(shè)事件為遇到6個及6個以上紅燈，則至多遇到5個紅燈為事件，則.同類題型歸類練1．（多選）（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件為“第一次向下的數(shù)字為1或2”，事件為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．事件發(fā)生的概率為B．事件與事件互斥C．事件與事件相互獨立D．事件發(fā)生的概率為【答案】AC【詳解】由題意可得，故A正確；當兩次拋擲的點數(shù)為時，事件與事件同時發(fā)生，所以事件與事件不互斥，故B錯誤；事件與事件同時發(fā)生的情況有共4種，所以，又，所以，故事件與事件相互獨立，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.2．（2021·全國·高一課時練習）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則（

）A．A與B互斥 B．A與B相互獨立C． D．【答案】BCD【詳解】根據(jù)題意事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，可知兩事件互不影響，即A與B相互獨立，故B正確，A不正確；由，，所以，且，故D正確，C正確.故選：BCD3．（2022·全國·高一課時練習）設(shè)與相互獨立，且，，求．【答案】【詳解】因為與相互獨立，所以．又，，．設(shè)，則，即，解得，即．題型三：古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·江蘇·南京二十七中高二開學(xué)考試）某中學(xué)作為藍色海洋教育特色學(xué)校，隨機抽取100名學(xué)生，進行一次海洋知識測試，按測試成績(假設(shè)考試成績均在[65，90)內(nèi))分組如下：第一組[65，70)，第二組[70，75)，第三組[75，80)，第四組[80，85)，第五組[85，90)．得到頻率分布直方圖如圖.(1)求測試成績在[80，85)內(nèi)的頻率；(2)從第三、四、五組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成海洋知識宣講小組，定期在校內(nèi)進行義務(wù)宣講，并在這6名學(xué)生中隨機選取2名參加市組織的藍色海洋教育義務(wù)宣講隊，求第四組至少有1名學(xué)生被抽中的概率．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）測試成績在[80，85）內(nèi)的頻率為：（2）第三組的人數(shù)等于,第四組的人數(shù)等于，第五組的人數(shù)等于，分組抽樣各組的人數(shù)為第三組3人，第四組2人，第五組1人.設(shè)第三組抽到的３人為，第四組抽到的２人為,第五組抽到的１人為.這6名同學(xué)中隨機選取2名的可能情況有15種，如下：.設(shè)“第四組2名同學(xué)至少有一名同學(xué)被抽中”為事件,事件包含的事件個數(shù)有9種，即：,,,,.所以,事件的概率即第四組至少有一名同學(xué)被抽中的概率為．例題2．（2022·貴州·六盤水市第一中學(xué)模擬預(yù)測）對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，所得情況如下頻率分布直方圖.（1）圖中縱坐標處刻度不清，根據(jù)圖表所提供的數(shù)據(jù)還原；（2）根據(jù)圖表的數(shù)據(jù)按分層抽樣，抽取個元件，壽命為之間的應(yīng)抽取幾個；（3）從（2）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個元件，求事件“恰好有一個壽命為，一個壽命為”的概率.【答案】（1）；（2）應(yīng)抽取個；（3）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意：，即可求得的值；（2）設(shè)在壽命為之間的應(yīng)抽取個，根據(jù)分層抽樣有：，即可求解壽命為之間的應(yīng)抽取幾個；（3）記“恰好有一個壽命為，一個壽命為”為事件，由（2）知壽命落在之間的元件有個分別記，落在之間的元件有個分別記為：，從中任取個球，即可利用古典概型求解概率.試題解析：（1）根據(jù)題意：解得（2）設(shè)在壽命為之間的應(yīng)抽取個，根據(jù)分層抽樣有：解得：所以應(yīng)在壽命為之間的應(yīng)抽取個（3）記“恰好有一個壽命為，一個壽命為”為事件，由（2）知壽命落在之間的元件有個分別記，落在之間的元件有個分別記為：，從中任取個球，有如下基本事件：，，，共有個基本事件事件“恰好有一個壽命為，一個壽命為”有：，共有個基本事件答：事件“恰好有一個壽命為，另一個壽命為”的概率為.例題3．（2022·河南·高三階段練習（文））為了調(diào)查某地區(qū)程序員的工資情況，研究人員隨機抽取了該地區(qū)20名程序員作調(diào)查，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如下所示（單位：元），其中，經(jīng)計算得，．(1)求被調(diào)查的這20名程序員的平均工資；(2)在（1）的條件下，可以算得，求“，，，”的方差；(3)若從被調(diào)查的這20名程序員中隨機抽取工資不足6501元的2名程序員，求至少有1名程序員的工資在6000元以下的概率．【答案】(1)被調(diào)查的這20名程序員的平均工資(2)(3)至少有1名程序員的工資在6000元以下的概率為【詳解】（1）解：由莖葉圖可得，由于故被調(diào)查的這20名程序員的平均工資；（2）解：由方差的計算公式可知，數(shù)據(jù)的方差則所求方差；（3）解：由題意可知，這20名程序員中隨機抽取工資不足6501元的有6名，其中有3名工資在6000元以下記作，記工資在元之間的3名程序員為則6名程序員任取2人的所有抽取情況如下：，共15種情況；設(shè)至少有1名程序員的工資在6000元以下為事件，則的所有抽取情況如下：，共12種情況；則所以至少有1名程序員的工資在6000元以下的概率為.例題4．（2022·甘肅·蘭化一中高三期中（文））2022年國際籃聯(lián)女籃世界杯在澳大利亞悉尼落下帷幕，中國女籃團結(jié)一心?頑強拼搏獲得亞軍.這屆世界杯，中國女籃為國人留下了許多精彩瞬間和美好回憶，尤其是半決賽絕殺東道主澳大利亞堪稱經(jīng)典一幕.為了了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，某體育臺隨機抽取100名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表.男女合計喜愛3040不喜愛40合計100(1)將列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)？(2)在不喜愛籃球運動的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加一臺訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.附：，其中.【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）由題意進行數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表如下：男女合計喜愛301040不喜愛204060合計5050100計算所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認為喜愛籃球運動與性別有關(guān).（2）不喜愛籃球運動的觀眾中，有男觀眾20人，女觀眾40人，按照分層抽樣的方式抽取6人，有男觀眾2人，記為a、b，女觀眾4人，記為1、2、3、4.從6人中抽取2人，有：，共15個.記“所抽2人至少有一位男性”為事件A,包含：，共9個.所以.例題5．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)高二期中）某商店為了更好地規(guī)劃某種產(chǎn)品的進貨量，該商店從某一年的銷售數(shù)據(jù)中，隨機抽取了組數(shù)據(jù)作為研究對象，如表（噸）為該商品的進貨量，（天）為銷售天數(shù)：/噸/天(1)根據(jù)上述提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測進貨量為時的銷售天數(shù)；（結(jié)果四舍五入）；(2)在該商品進貨量不超過噸的前提下任取個值，求該商品進貨量恰好有個值不超過噸的概率.參考數(shù)據(jù)和公式：，，，.【答案】(1)回歸直線方程為，預(yù)測進貨量為時的銷售天數(shù)約為天(2)【詳解】（1）解：，，所以，，所以，，所以回歸直線方程為，當時，，預(yù)測進貨量為時的銷售天數(shù)為天.（2）解：進貨量不超過噸有、、、、，共個，任取個的基本事件有：、、、、、、、、、，共種結(jié)果，恰好有次不超過噸的基本事件有：、、、、、，共種結(jié)果，所以所求的概率為.同類題型歸類練1．（2022·福建·福州黎明中學(xué)高一期末）甲乙兩人玩卡片游戲：他們手里都拿著分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片，各自從自己的卡片中隨機抽出1張，規(guī)定兩人誰抽出的卡片上的數(shù)字大，誰就獲勝，數(shù)字相同則為平局.(1)求甲獲勝的概率.(2)現(xiàn)已知他們都抽出了標有數(shù)字6的卡片，為了分出勝負，他們決定從手里剩下的卡片中再各自隨機抽出1張，若他們這次抽出的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝.請問：這個規(guī)則公平嗎，為什么？【答案】（1）；（2）見解析詳解：(1)兩人各自從自己的卡片中隨機抽出一張，所有可能的結(jié)果為：，，，共36種，其中事件“甲獲勝”包含的結(jié)果為：，有15種.所以甲獲勝的概率為.(2)兩人各自從于里剩下的卡片中隨機抽出一張，所有可能的結(jié)果為：，共25種.其中卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果為：，共13種.根據(jù)規(guī)則，甲獲勝的概率為，則乙獲勝的概率為，所以這個規(guī)則不公平.2．（2022·湖南·衡陽市田家炳實驗中學(xué)高二階段練習）為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學(xué)生進行“擲鉛球”的項目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間．(1)求實數(shù)的值及參加“擲鉛球”項目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學(xué)生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率．【答案】（1）0.05，40；（2）試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測試總?cè)藬?shù)為．答：此次參加“擲鉛球”的項目測試的人數(shù)為40人．(Ⅱ)設(shè)從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學(xué)生自不同組的事件為A：由已知，測試成績在有2人，記為；在有4人，記為．從這6人中隨機抽取2人有，共15種情況．事件A包括共8種情況．所以．答：隨機抽取的2名學(xué)生自不同組的概率為．3．（2022·廣西貴港·高三階段練習（文））2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛?王亞平?葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段圓滿完成.并將進入建造階段.某中學(xué)為了激發(fā)學(xué)生對天文學(xué)的興趣.開展了天文知識比賽.高一和高二年級各有10名參賽選手，得分不低于90分的選手可獲獎.各參賽選手比賽得分的莖葉圖如圖所示.(1)從平均分來看，高一和高二哪個年級的得分更高？并說明理由.(2)從獲獎的參賽選手中任選2名參加市區(qū)舉行的天文知識比賽，求選出的2名參賽選手來自同一個年級的概率.【答案】(1)高一年級的得分更高,理由見解析.(2).【詳解】（1）設(shè)高一高二年級參賽選手得分的平均分分別為，則，，因為，所以從平均分來看，高一年級的得分更高．（2）因為得分不低于90分的選手可獲獎，所以由莖葉圖可知，高一年級有4名選手獲獎，高二年級有2名選手獲獎，記高一年級的4名選手為，高二年級的2名選手為，從這6名選手中選取2名的所有情況為，，共15種情況，選出的2名選手來自同一個年級的有共7種情況，設(shè)事件A表示”選出的2名參賽選手來自同一個年級”,所以.4．（2022·上?！じ叨ｎ}練習）某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間如下：組號第一組第二組第三組第四組第五組分組[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100](1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分；(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其中恰有1人的分數(shù)不低于90分的概率？【答案】(1)(2)74.5(3)【詳解】（1）由題意得，所以．（2）由直方圖分數(shù)在[50，60]的頻率為0.05，的頻率為0.35，的頻率為0.30，的頻率為0.20，的頻率為0.10，所以這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分的估計值為：（3）由直方圖，得：第3組人數(shù)為人，第4組人數(shù)為人，第5組人數(shù)為人．所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人．所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為