2023初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽例題+練習(xí) 專題44 特殊的四邊形（學(xué)生版+解析版）

專題44特殊的四邊形一、三角形的中位線【典例】如圖在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,M、N分別是BE、CD的中點(diǎn).過MN的直線交AB于P,交AC于Q,線段AP、AQ相等嗎?為什么?如圖，取BC的中點(diǎn)H,連接MH,NH.∵M(jìn),H為BE,BC的中點(diǎn)，∴M∵N,H為CD,BC的中點(diǎn)，∴NH//BD,」同理∠HNM=∠QPA.【鞏固】如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=OB,點(diǎn)E,F分別是OA,OD求線段BC的長(zhǎng).二、矩形中的折疊【典例】如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB=6,BC=10.當(dāng)折痕GH最長(zhǎng)時(shí)，線段BH的長(zhǎng)為【解答】解：由題知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)GH最長(zhǎng)，設(shè)BH=x,則CH=10-x,HE=BH=x,解得x=6.8,故答案為：6.8.【鞏固】如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，(1)如圖1,將△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M恰好在BC邊的中點(diǎn)，習(xí)的值；圖2三、直角三角形斜邊上的中線M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為()A.1B.1.3C.1.2【解答】解：∵AB=3,AC=4,BC=5,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小.【鞏固】四邊形ABDE為平行四邊形，若AD=6,BC=8,則CE的長(zhǎng)為【典例】如圖，邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠ABC=30°,P為【解答】解：過A作AE⊥BC于E,設(shè)點(diǎn)P到BC的距離為h,即點(diǎn)P在平行于BC且到BC的距離為1的直線上，作點(diǎn)B關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG交直線1于點(diǎn)P,【鞏固】線段PD長(zhǎng)是點(diǎn)P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC,當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，鞏固練習(xí)1.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A,B重合，且EF=AB,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且∠EGF=90°的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論.其中錯(cuò)誤的是()A.∠GEB與∠GFB一定互補(bǔ)B.點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等C.點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等D.點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2V22.如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE,EF⊥AB,垂足為F,連接DF,時(shí)，四邊形ADFE是平行四邊形.3.如圖，矩形ABCD,AB=1,BC=2,點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上.當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為4.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠BAD=120°,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是5.如圖，在矩形ABCD中，AD=V3AB,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(到點(diǎn)A即停止),點(diǎn)N是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠MON=90°,是.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))6.如圖，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,過點(diǎn)E作EG⊥AD于G,交BD于F,連接DE,若7.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為BF中點(diǎn)，連接PD,則線段PD長(zhǎng)的取值范圍是8.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,BD為△ABC的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作BD(1)求證：四邊形BDFG是菱形：(2)若∠BAC=30°,BC=2,求四邊形BDFG的面積.(1)如圖1,E、F分別是AB、AD上的點(diǎn)，CE垂直平分BF,垂足為G,連接DG.點(diǎn)，連接MP,PQ,若PQ⊥MP,直接寫出CN的長(zhǎng).連接AC,將△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在該坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)這個(gè)落點(diǎn)為D,CD交x軸于點(diǎn)E.如果CE=5,OC、OE的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2+(m-1)x+12=0的兩個(gè)根，并且OC>OE.(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，判斷點(diǎn)(8,-20)是否在過D、F兩點(diǎn)的直線上，并說明現(xiàn)由.11.如圖1,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以等邊三角形ABE.點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合),將線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)線段AM,連接FM.(1)線段AO的長(zhǎng)為(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段BO上，且點(diǎn)M,F,C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求證：(3)連接EM.若△AFM的周長(zhǎng)為3V29,請(qǐng)直接寫出△AEM的面積.12.在菱形ABCD中，∠BAD=60°,(1)如圖1,點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，連接DE、CE、若AB=4,求線段EC的長(zhǎng)；(2)如圖2,M為線段AC上一點(diǎn)(不與A、C重合),以AM為邊向上構(gòu)造等邊三角形AMN,線段MN與AD交于點(diǎn)G,連接NC、DM,Q為線段NC的中點(diǎn)，連接DQ、MQ,判斷DM與DQ的數(shù)量關(guān)系，并(3)在(2)的條件下，若AC=√3,請(qǐng)你直接寫出DM+CN的最小值.專題44特殊的四邊形【典例】如圖在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,M、N分別是BE、CD的中點(diǎn).過MN的直線交AB于P,交AC于Q,線段AP、AQ相等嗎?為什么?如圖，取BC的中點(diǎn)H,連接MH,NH.【鞏固】如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=OB,連接EF,EM⊥BC于點(diǎn)M,EM交BD于點(diǎn)N,若∠CEF=45°,F【解答】解：設(shè)EF=x,點(diǎn)E,F分別是OA,OD求線段BC的長(zhǎng).連接BE答：線段BC的長(zhǎng)為4V5.二、矩形中的折疊【典例】如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB=6,BC=10.當(dāng)折痕GH最長(zhǎng)時(shí)，線段BH的長(zhǎng)為【解答】解：由題知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)GH最長(zhǎng)，故答案為：6.8.【鞏固】如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，(1)如圖1,將△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M恰好在BC邊的中點(diǎn)，的值；(2)如圖2,若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥BE于F,連接DF,求證DF=BC.【解答】(1)解：如圖1,∵四邊形ABCD是矩形，由折疊可得AD=AM,(2)證明：如圖2所示，延長(zhǎng)BE,AD,交于點(diǎn)G,則∠BEC=∠GED,圖2三、直角三角形斜邊上的中線M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為()A.1B.1.3C.1.2【解答】解：∵AB=3,AC=4,BC=5,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴EF,AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn).∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小.【鞏固】四邊形ABDE為平行四邊形，若AD=6,BC=8,則CE的長(zhǎng)為【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BF//CD,且BF=CD,連接DF,CF,AF,∴四邊形BDCF是平行四邊形，且∠BDC=90°,【典例】如圖，邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠ABC=30°,P為PB+PC的最小值為【解答】解：過A作AE⊥BC于E,設(shè)點(diǎn)P到BC的距離為h,即點(diǎn)P在平行于BC且到BC的距離為1的直線上，作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG交直線1于點(diǎn)P,【鞏固】如圖，菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°,點(diǎn)P是直線【解答】解：如圖，過P作PE⊥BC于E,連接AP,由菱形ABCD,可得AB=CB,∠ABP=∠CBP=∠ADP=30°,∵當(dāng)點(diǎn)A,P,E在同一直線上時(shí)，AP+PE最短，故答案為：鞏固練習(xí)1.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A,B重合，且EF=AB,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且∠EGF=90°的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論.其中錯(cuò)誤的是()A.∠GEB與∠GFB一定互補(bǔ)B.點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等C.點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等D.點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2√2又∵∠EGF=90°,四邊形內(nèi)角和是360°,B、過G作GM⊥AB,GN⊥BC,分別交AB于M,交BC于N,點(diǎn)G到邊AD,DC的距離不相等，故D正確.2.如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE,EF⊥AB,垂足3.如圖，矩形ABCD,AB=1,BC=2,點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上.當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)H,連接CH,OH,4.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠BAD=120°,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF設(shè)DE交AC于M,連接MB,DF,延長(zhǎng)BA,DH⊥BA于H,∴點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D,只有當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，取等號(hào)(兩點(diǎn)之間線段最短),∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為AB的中點(diǎn)，∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離是5.如圖，在矩形ABCD中，AD=√3AB,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(到點(diǎn)∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離是點(diǎn)N是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠MON=90°,連結(jié)MN.在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，則以下結(jié)論正確的是.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))①點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不相等；【解答】解：如圖，當(dāng)M與B點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)NO⊥BD,當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M'位置時(shí)，此時(shí)OM'⊥AB,N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了N',,,∵O≤x≤1,在x的取值范圍內(nèi)函的圖象隨x增加而減小，∵M(jìn)N2=(AB-BM)2+(AD-DN)2=AB2-2V3AB·DN)+BM2+DN2=(4AB2-2AB·BM-2V3A方法二判定④:如圖2,延長(zhǎng)MO交CD于M',則MN=NM',故答案為：①②③④.6.如圖，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,過【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BD,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,設(shè)∠DEG=a,則∠A=4a,故答案為：3.接PD,則線段PD長(zhǎng)的取值范圍是【解答】解：如圖：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P?處，CP?=BPi,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P?處，EP2=BP2,當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有BP=FP,∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P?P2,∴△ABE,△BEC、△DCP?為等腰直角三角形，8.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,BD為△ABC的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,在AF的延長(zhǎng)線上截取FG=BD,連接BG、DF.(1)求證：四邊形BDFG是菱形：(2)若∠BAC=30°,BC=2,求四邊形BDFG的面積.【解答】(1)證明：∵∠ABC=90°,BD∴四邊形BDFG是平行四邊形，∴平行四邊形BDFG是菱形；(2)解：作DH⊥AG于H,如圖所示：EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(·),:)(1)如圖1,E、F分別是AB、AD上的點(diǎn)，CE垂直平分BF,垂足為G,連接DG.點(diǎn)，連接MP,PQ,若PQ⊥MP,直接寫出CN的長(zhǎng).【解答】解：(1)①如圖1,過G作MN⊥CD于N,與AB交于點(diǎn)M,則MN//AD,∵M(jìn)N垂直平分CD,②連接CF,如圖1,∵CE垂直平分BF,延長(zhǎng)CD至H,使得DH=CD,連接FH,則CF=CH,∴AD垂直平分CH,(3)∵M(jìn)N垂直平分BP,設(shè)AP=x,PD=6-x,PQ=3+x,,(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，判斷點(diǎn)(8,-20)是否在過D、F兩點(diǎn)的直線上，并說明現(xiàn)由.設(shè)OC=x?,OE=x2,x?>x2.在Rt△COE中，解這個(gè)方程，得m=-6,m=8.∴m=8不符合題意，舍去.x1=4,x2=3.△ABC沿AC翻折后，點(diǎn)B的落點(diǎn)為點(diǎn)D.過D點(diǎn)作DG⊥x軸于G.DH⊥y軸于H.由已知條件可知D是第四象限的點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(4,2),設(shè)過D、F兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b.∴點(diǎn)(8,-20)在過D、F兩點(diǎn)的直線上.11.如圖1,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=13,BD=24,