復變函數(shù)和積分變換期末總復習

1第一章復數(shù)與復變函數(shù)1.復數(shù)代數(shù)運算2.復數(shù)的各種表示法3.乘冪與方根運算公式4.復數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域1第一章復數(shù)與復變函數(shù)1.復數(shù)代數(shù)運算2.復數(shù)的各種表2解2解3解3解4解4解5例5

滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解5例5滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)解6

是以為焦點,以3為半長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因為圖中解解在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點.6是以為焦點,以3為半7例6

函數(shù)將平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？解又于是表示平面上的圓.(1)7例6函數(shù)將平面上的下列8解表示平面上以為圓心，為半徑的圓.8解表示平面上以為圓心，9第二章解析函數(shù)1.解析函數(shù)的概念；2.函數(shù)解析性的判別（C-R方程）3.幾個常用初等函數(shù)9第二章解析函數(shù)1.解析函數(shù)的概念；2.函數(shù)解析103.初等解析函數(shù)1)指數(shù)函數(shù)103.初等解析函數(shù)1)指數(shù)函數(shù)112)三角函數(shù)112)三角函數(shù)12(4)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù)12(4)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù)13其它復變?nèi)呛瘮?shù)的定義13其它復變?nèi)呛瘮?shù)的定義143）對數(shù)函數(shù)因此143）對數(shù)函數(shù)因此1515164)冪函數(shù)164)冪函數(shù)17典型例題證17典型例題證181819例2

函數(shù)在何處可導，何處解析.解故僅在直線上可導.故在復平面上處處不解析.19例2函數(shù)20例3

設為解析函數(shù)，求的值.解設故由于解析，所以即故20例3設21

設為平面上任意一定點,當點沿直線趨于時,有解例4

研究的可導性.21設22當點沿直線趨于時,有例4

研究的可導性.22當點沿直線23例5解方程解23例5解方程解24例6

求出的值.解24例6求出的值.解25解例7

試求函數(shù)值及其主值:令得主值:25解例7試求函數(shù)值及其26

第三章復變函數(shù)的積分1.復積分的計算公式及基本性質(zhì)2.復積分的基本定理3.柯西積分公式與高階導數(shù)公式26第三章復變函數(shù)的積分1.復積分的計算公式及基本性27積分存在的條件及計算（1）化成線積分（2）用參數(shù)方程將積分化成定積分27積分存在的條件及計算（1）化成線積分（2）用參數(shù)方程將積284.積分的性質(zhì)284.積分的性質(zhì)29

柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)29柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)30

閉路變形原理

復合閉路定理

一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末30閉路變形原理復合閉路定理一個解析函313132柯西積分公式一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.32柯西積分公式一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均33

高階導數(shù)公式33高階導數(shù)公式34調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)

任何在

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是

D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).34調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)任何在D內(nèi)解35定理區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).

共軛調(diào)和函數(shù)35定理區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).36

典型例題例1

計算的值，其中C為1）沿從到的線段：2）沿從到的線段：與從到的線段所接成的折線.解36典型例題例1計算的值，其中37說明同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同.37說明同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同.38解分以下四種情況討論：38解分以下四種情況討論：393940404141424243解為大于1的自然數(shù).

例6

計算下列積分43解為大于1的自然數(shù).例6計算下列積分44解法一不定積分法.利用柯西—黎曼方程,44解法一不定積分法.利用柯西—黎曼方程,45

因而得到解析函數(shù)45因而得到解析函數(shù)46解例8

已知求解

析函數(shù),使符合條件46解例8已知474748第四章級數(shù)1、復數(shù)列、復級數(shù)收斂充要條件2、冪級數(shù)收斂半徑求法3、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)48第四章級數(shù)1、復數(shù)列、復級數(shù)收斂充要條件2、冪級數(shù)收49常見函數(shù)的泰勒展開式49常見函數(shù)的泰勒展開式505051根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開.(2)間接展開法將函數(shù)展為洛朗級數(shù)的方法(1)直接展開法51根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運算、代換52典型例題例1

判別級數(shù)的斂散性.解發(fā)散，收斂，52典型例題例1判別級數(shù)的斂散性.解發(fā)散，收斂，53典型例題例1

判別級數(shù)的斂散性.解53典型例題例1判別級數(shù)的斂散性.解54解收斂收斂典型例題例1

判別級數(shù)的斂散性.54解收斂收斂典型例題例1判別級數(shù)的斂散性.55解

由正項級數(shù)的比值判別法知絕對收斂.典型例題例1

判別級數(shù)的斂散性.55解由正項級數(shù)的比值判別法知絕對收斂.典型例題例156例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑解56例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑解575758分析：采用間接法即利用已知的展開式來求.解例4

求在的泰勒展式.解析函數(shù)展為冪級數(shù)的方法58分析：采用間接法即利用已知的展開式來求.解例459由于59由于60例7分析：利用逐項求導、逐項積分法.解所以60例7分析：利用逐項求導、逐項積分法.解所以61例9分析:利用部分分式與幾何級數(shù)結合法.即把函數(shù)分成部分分式后,應用等比級數(shù)求和公式.解61例9分析:利用部分分式與幾何級數(shù)結合法.即把函數(shù)解62故兩端求導得62故兩端求導得636364例10解64例10解65例11解有65例11解有666667

同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式是不同的.67同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式是68解例1268解例12696970

第五章留數(shù)1、孤立奇點的判別2、留數(shù)的計算與留數(shù)定理70第五章留數(shù)1、孤立奇點的判別2、留數(shù)的計算與留71717272737374747575767677777878797980c)設及在如果那末為一級極點,且有都解析，如果為的級極點,那末b)80c)設及在如果那末為一級極點,且有都解析，如果81也可定義為記作1.定義設函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分值為在的留數(shù).的值與C無關

,則稱此定3)無窮遠點的留數(shù)81也可定義為記作1.定義設函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞82如果函數(shù)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末在所有各奇點

(包括

點)的留數(shù)的總和必等于零.

定理82如果函數(shù)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末在所有各83在無窮遠點處留數(shù)的計算計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡單.83在無窮遠點處留數(shù)的計算計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:84典型例題解求函數(shù)奇點及類型。84典型例題解求函數(shù)奇點及類型。85例4

求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).解(1)在內(nèi),85例4求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).解(1)在86解86解87解為奇點,當