2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷四附參考答案

2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷（4）

一、單選題

1.設(shè)集合乂={%|%2—4%+330},N={x|log2x<1},則集合MnN=（）

A.（—oo,1]B.（0,1]C.[1,2]D.（—8,0]

2.已知z=±一亨”且z2+aZ+b=0,其中a,b為實數(shù)，貝（I（）

A.a=1,b=0B.a=-1,b=0

C.a=Ifb=1D.a=-1,b=-1

3.已知向量五，石滿足a7=10,且石=（一3,4）,則五在加上的投影向量為（）

A.（—6,8）B.（6,—8）C.（一卷，卷）D.（0，一芻

4.大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：每一個比1大的數(shù)

（每個比1大的正整數(shù)）要么本身是一個素數(shù)，要么可以寫成一系列素數(shù)的乘積，如果不考慮這些

素數(shù)在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的，即任何一個大于1的自然數(shù)N（N不為素數(shù)）能

唯一地寫成N=p『”相……（其中%是素數(shù)，區(qū)是正整數(shù)，lWYk,P1<p2<-<pk），將

上式稱為自然數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且N的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有即+a2+…+幺個素數(shù).從360的標(biāo)準(zhǔn)分解

式中任取3個素數(shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.6B.13C.19D.60

5.已知a,BG（0,兀），則“sina+sin0<是"sin（a+0）<'的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.斐波那契數(shù)列{a”}滿足臼=。2=1，ari=an_1+an_2（n>3）,其每一項稱為“斐波那契數(shù)”.如

圖，在以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼成的長方形中，利用下列各圖中的面積關(guān)系，推出

展升…+說023是斐波那契數(shù)列的第（）項.

a2023

n=1n=2n=3n=4n=5

A.2022B.2023C.2024D.2025

7.已知圓臺。1。的上、下底面半徑分別為r,R,高為h,平面Q經(jīng)過圓臺01。的兩條母線，設(shè)a截此

圓臺所得的截面面積為S,則()

A.當(dāng)hNR-r時,S的最大值為(R+2r)九

22

B.當(dāng)日2R-r時，S的最大值為繆乜")1

2(/?—r)

C.當(dāng)九<R-r時，S的最大值為(R+2r)九

22

D.當(dāng)/i<R—r時，S的最大值為(R+r)MD+(?T)]

2(R—r)

8.設(shè)雙曲線E：l(a>0,b>0)的右焦點為凡M(0,3b)，若直線2與E的右支交于力，B

兩點，且F為△MAB的重心，則直線，斜率的取值范圍為()

A.(當(dāng)之,V5)U(>/3?+00)B.(―^―,V3)U(y/3,+co)

C.(-oo,—V6)U(―V6,——^―)D.(—co,—V6)U(―V6,——^―)

二、多選題

9.總和生育率有時也簡稱生育率，是指一個人口群體的各年齡別婦女生育率的總和.它反映的是一名

婦女在每年都按照該年齡別現(xiàn)有生育率生育的假設(shè)下，在育齡期間生育的子女總數(shù).為了了解中國人

均GOPx(單位：萬元)和總和生育率y以及女性平均受教育年限z(單位：年)的關(guān)系，采用

2012~2022近十年來的數(shù)據(jù)(修，％,4)。=1,2,…，10)繪制了散點圖，并得到經(jīng)驗回歸方程2=

7.54+0.33%,y=2.88-0.41x.對應(yīng)的決定系數(shù)分別為此，帽，貝U()

2012年2016年2018年2022年

2.012

11

.8

1

.46O

樹

的9

卅2

足

，

衣8

7

人均GDP/萬元

A.人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān)

B.女性平均受教育年限和總和生育率負(fù)相關(guān)

c.c<C

D.未來三年總和生育率將繼續(xù)降低

10.在棱長為1的正方體ZBCD—4B1C1D1中，點M,N分別是棱為。1，AB的中點，則()

A.異面直線MD與CN所成角的余弦值為|

B.1D]N

C.點N到平面4的0的距離為卓

D.平面MNC截正方體所得的截面是五邊形

11.已知曲線C是平面內(nèi)到定點F(0,1)和定直線，：y=-l的距離之和等于4的點的軌跡，若PQo,

加)在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于x軸對稱

B.曲線C上任意一點到原點的距離都不超過后

C.曲線C及其內(nèi)部共包含了19個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)

D.點Pg,y0)到點Q(l，-|)和點F(0，1)的距離之和最小為|

12.已知1,Qi，做，…，Qn，2為等差數(shù)列，記5九=。1+。2^--bccn,Tn=ara2an,貝ij

()

A.當(dāng)為常數(shù)B.懷為常數(shù)

c.Sn隨著n的增大而增大D.Tn隨著n的增大而增大

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=5sinx+3cosx,則曲線y=/(%)在點(3,5)處的切線方程

為.

14.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)“，我國

擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島

上取兩點C,D,測得CD=35m,Z.ADB=135°,乙BDC=Z.DCA=15",Z.ACB=120°,則A、B

兩點的距離為m.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為/+y2-8%+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一

點，使得以該點為圓心，3為半徑的圓與圓C有公共點，貝弘的最小值為.

16.已知函數(shù)/（%）=alnx—2x（a。0）,若不等式%。>2e2xf（x）+e2xcos（/（久））對x>0恒成立,則

實數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題

17.若函數(shù)/（K）=COS（&）X—修）—V5cos（（ox+金），其中3>0.

（1）若3=2,求/'（6；

（2）若/⑺在區(qū)間4，芻上沒有零點，求3的取值范圍.

18.記數(shù)列｛an｝的前n項和為%,即=1,—.給出下列兩個條件：條件①：數(shù)列｛an｝和數(shù)列圖+

的｝均為等比數(shù)列；條件②：2"國+2=-%2+--+2即=7；%1+1.試在上面的兩個條件中任選一個，補

充在上面的橫線上，完成下列兩問的解答：

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）

（1）求數(shù)列｛a”｝的通項公式；

V-i2n

（2）記正項數(shù)列｛bn｝的前ri項和為T九，b1=a29b2=a3f4Tn=bn-bn+1,求〉[（—1）也加+1].

=i=]

19.已知四棱錐P—ABC。的底面是棱長為2的菱形，^BAD=60°,PD=顯，若乙PDC=

乙PDB,且PD與平面4BCD所成的角為45。，E為4D的中點，點尸在線段P4上，且PC〃平面BE四

(1)求親

(2)求平面PBE與平面BEF夾角的余弦值.

20.甲、乙是北京2022冬奧會單板滑雪坡面障礙技巧項目的參賽選手，二人在練習(xí)賽中均需要挑戰(zhàn)

3次某高難度動作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種.

(1)甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為表設(shè)X為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

(2)乙在第一次挑戰(zhàn)時，成功的概率為0.5,受心理因素影響，從第二次開始，每次成功的概率

會發(fā)生改變其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0」；若前一次失

敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0.1.

(i)求乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次的概率；

(ii)求乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率.

22

21.已知圓0：x+y=5,橢圓廠=1的左右焦點為％,F2,如圖P為圓上任意一點，過

P分別作橢圓兩條切線切橢圓于兒B兩點.

(1)若直線PA的斜率為2,求直線PB的斜率；

(2)作PQ14B于點Q,判斷點P在運動的過程中，AQF1F2的面積是否存在最大值，如果存在,

求出最大值，如果不存在，說明理由.

22.設(shè)函數(shù)/(%)=裂■+aM,其中awR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在兩個極值點，設(shè)極大值點為與，勺為/(x)的零點，求證：近一打？"2.

參考答案

L【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】A,B

10.【答案】A,B,D

11.【答案】B,C

12.【答案】A,C,D

13.【答案】6x+2y-3兀-10=0

14.【答案】35V5

15.【答案】-I

4

16.【答案】(0,2e]

17.【答案】(1)解：因為f(%)=COS(6O%+$—分—V5cos(3%+若)

=sin{a)x+$)—V3cos(cox+金)=2sin(a)x—與)，

當(dāng)3=2,所以f(x)=2sin(2x一亨)，

所以/(看)=2sm(^-=2(sE,cos70sts配力

_2(V6_V2)_V6-V2

(2)解：由(1)知/(%)=2sin3%—%

、1/兀//7Trj_LTTCO7T7TTTCO7T

當(dāng)4Vx<2時，-4--4<COX_4<-2-_4,

要使/（X）在4，芻上無零點,

no)n、.

則限4-短NNkn

解得4k+1W3W2k.+5，k€Z，

rQ

則4k+l<2k+^故kW.，

又3>0,

當(dāng)k=。時，1W3W,，

當(dāng)k=-1時>—3W3W義，即0<3W/，

當(dāng)k<一2時，3<0舍去.

綜上：3的取值范圍為(0,1]U[1,|]

18?【答案】(1)解：選條件①：

?.?數(shù)列｛Sn+&｝為等比數(shù)列，

(52+的)2=(Si+ai)(S34-%),

即(2d[+a2)?=2(21(2(11+0.2+。3),

?.?%=1,且設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，

(2+q)2=2(2+q+q2)>

解得q=2或q=0(舍)，

nn1

an=aiqT=2~,

選條件②：

nn1

2ar+2~a2+???+2an=幾即+1…①，

n1n2

:.2~a1+2~a2+…+2an_]=(n—l)an(n>2),

即2%]+2"%2H—+2，八_]=2(n—l)an(n>2)②,

由①②兩式相減得：2azi=nan+1-2(n-l)an(n>2),

即an+i=20noiN2)，

nn-1

令2di4-2a2+…+2a?=nan+i中n=1得出a?=2al也符合上式，

故數(shù)列為首項ai=1,公比q=2的等比數(shù)列，

nin-1

則a；,=a1q~=2

(2)解：由第一問可知，不論條件為①還是②，都有數(shù)列｛&J為首項劭=1，公比q=2的等比數(shù)

列，即即=2所1,

則比=@2=2,/72=。3=4,

,?147n=bn-bn+1…③,

?1?4%=hn-i-bn(n>2)-④，

由③④兩式相減得:4(〃-%)=bn-bn+1-砥-1?bn(n>2),

即4bn=bn-(hn+1-fon-i)(n>2),

???數(shù)列｛/｝為正項數(shù)列，

則勾+1一g_1=4(n>2),

則數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別都成公差為4的等差數(shù)列，

2n\-i2n

[(-1)1也+1]=4)[(-l)lTJ=4(—T1+72-73+74T----T2n-1+72n)，

Z1=1乙T=1

2TI

即〉[(一1)也加+1]=4俗2+0+力6T---卜丹九)，

數(shù)列｛%｝前2n項中的全部偶數(shù)項之和為：4n+鳴工x4=2n2+2n?

i2n

則〉[(—1)'匕也+1]=8n2+87t.

乙臼=1

19.【答案】(1)解：連接4C0BE=。，連接BOC4C=G,由菱形4BCD知G是BD,4C中點，而E

為40的中點,

則。為△ABC的重心，有40=|AG=.4C,

因為PC//平面BEF,平面PAC0平面BEF=OF,PCu平面PAC,因止匕F0//PC,

1

所R二i以、|/麗F=4/。=

3-

(2)解：菱形力BCD中，由/BCD=60。，知ADCB為等邊三角形，有DC=DB,又上PDC=

乙PDB,

則△PD8三APDC,即有PB=PC,取BC的中點M,連接PM,DM,則8C_LPM,BCJ.DM，

而PMCOM=M,且兩相交直線在平面內(nèi)，于是BCJ?平面PMD,而BCu平面力BCD,有平面

PMD1平面ABCD,

在平面PMO內(nèi)過P做PH1DM于點H,平面PMOCI平面ABC。=DM,

從而PHJ?平面ABC。，NPDH是PD與平面ABCD所成的角，則NPDH=45。，

因為PD=V6,則PH=DH=陋,又DM=B，因此”與M重合,

以“為坐標(biāo)原點，HD,HB,HP為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

P（0,0,V3）,B（0,1,0）,4（遮，2,0）,D（V3,0,0）,E（遙，1,0），PB=（0,1,一遮）,

而=｝麗=（一孚，-|,孚）,則“竽，當(dāng)）,前=（-苧，弟,配=（遮,0,0））

fm-BE=V3%!=0

設(shè)平面BEF的法向量沆=（打，y［，zi）,則（一一73173，令zi=—1,得

I771?EF=---+1丫］+百-Z］=0

m=(0,V3,-1),

設(shè)平面PBE的法向量五=(x,y,z),則1元/"=6葭°,令z=l,得五=(0,V3,1)，

''"(n-P5=y-V3z=0'7

工目/一f沅五V3x/3-lxl1

FzEcos〈m,切=曬=^2-=2'

所以求平面PBE與平面BEF夾角的余弦值為去

20.【答案】(1)解：由題意得，X?B(3,I),則P(X=k)=或&)<1一｝3-上，其中卜=

0,1,2,3,

則X的分布列為:

X0123

p1331

8888

則E(X)=3x1=|.

(2)解：設(shè)事件4為“乙在第i次挑戰(zhàn)中成功"，其中i=l,2,3.

(i)設(shè)事件B為“乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次”，則8=4五+工人2,

則P(B)=P(AM+P(五&)=P(Ai)P(&|4)+P(A^P{AM

=0.5x(1-0.6)4-(1-0.5)x0.4=0.4.

即乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次的概為0.4.

(ii)因為P(A2)=P^A2+AM=P(AI)P(42MI)+P(五)PG^I五)

=0.5x0.6+0.5x0.4=0.5,

且P(A243)=P(i41242i43+才14243)=P(414243)+P(414243)

=0.5x0,6x0.7+0.5x0.4x0.5=0.31,

所以「(公|七)=用符=牌=0.62.

即乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率為0.62.

21.【答案】(1)解：設(shè)P(x0,y0),切線y-y。=-彳0),則郎+*=5，

(x22_

222

由］彳+'-1得：(1+4/c)%+8/c(y0—kx0)x+4(y0-kx0')-4=0,

(y-%=k(x-x0)

2

由d=0得：(4-XQ)/C+2xoyok+1-羽=0,

設(shè)切線PA,PB的斜率分別為自，卜2,則的七=3；―^2=~~~,_^02\=—

4一場4一(5一羽)

又直線PA的斜率為2,則直線PB的斜率為-今

(2)解：當(dāng)切線P4PB斜率都存在時，設(shè)4Qi，%),BQ2，y2)-

切線24,PB方程為y—%=左(%-i=1,2)

由(1)得：(4一呼)I+2/%匕+1-W=0,i=1,2(*)

由點A,B在橢圓上，得竽+蠟=1,i=i,2代入(*)得：(2y/t+m)2=0，即發(fā)=一卷，

1,2,

切線PZ,PB的方程為竽+=1,i=1,2,

由于P在切線PA,PB上,則空+匕20=1，i=L2,所以直線4B為零+y0y=1,

由PQJ./1B得：直線PQ方程為y—y()=誓0-%0)，聯(lián)立直線AB,

4勺(1+3m)_4_%(1+3尤)一1

解得XQ帝16九一5°,二一舄+16冰一5加

由四+羽=5得：Q點軌跡方程為金％2+5y2=1，且焦點恰為Fi，P2,

當(dāng)切線24,PB斜率有一個不存在時，不妨設(shè)PB斜率不存在，且B(2,0),P(2,1),4(0,1)，

直線方程為y=—上+1,PQ方程為y-1=2(%-2),解得Q(。，卷)，也在橢圓會/+5y2=1

上，

綜上，點Q的軌跡為橢圓號2+5y2=1，

所以，59低=加/2|*%|4*2百*洛=空僅當(dāng)Q在橢圓號2+5、2=I的短軸端點時

取到等號.

22.【答案】⑴解：由八盼=言+2以=今(2。靖一1)

①aW0時，，由2。/一1<0,令f'(x)=0，解得x=0,

所以％<00寸，/(%)>0,x>0時，/(x)<0.

則/(x)在(一8,0)單調(diào)遞增，在(0,+8)單調(diào)遞減；

②a>0時，由八%)=等&一分

(i)a=,時，因為％(短一1)20,則/(x)20,/(x)在(一8,+8)單調(diào)遞增，

(ii)aG(0,今時:/'(%)