江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

數(shù)學(xué)試卷2024．4注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡-并交回．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，則（）A．， B．，C．， D．，3．已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）A．212 B．168 C．121 D．1634．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，將向量繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到向量，點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值可以是（）A．2 B．1 C．3 D．6．已知正四棱錐，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個(gè)頂點(diǎn)涂色，每個(gè)頂點(diǎn)只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不同色，則不同的涂色方法有（）A．240 B．420 C．336 D．1207．已知，，，則（）A． B． C． D．8．我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說（三體II·黑暗森林）中的“水滴”是三體文明使用新型材料—強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測(cè)試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測(cè)量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長(zhǎng)軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長(zhǎng)小于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測(cè)量所得水滴角分別為，，則（）A． B．C． D．和的大小關(guān)系無法確定二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題會(huì)出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分．若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分．9．已知隨機(jī)變量X、Y，且的分布列如下：X12345Pmn若，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)；滿足：，恒成立，且在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則（）A．周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的一條對(duì)稱軸為D．函數(shù)的對(duì)稱中心為11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．B．若點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為C．底面半徑為且高為的圓柱可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題6分共16分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．展開式中項(xiàng)系數(shù)為___________．13．在三角形中、，角剛平分能交于點(diǎn)，若，則三角形面積的最大值為___________．14．已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)使得成立，若正整數(shù)的最大值為8，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，15．（13分）數(shù)列滿足，，，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求正整數(shù)，使得．16．（15分）三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，三棱錐的體積為．（1）求側(cè)棱的長(zhǎng)；（2）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，，直線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線的垂線，與線段的中垂線交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程（2）經(jīng)過曲線上一點(diǎn)作一條傾斜角為的直線，與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)Q，R，求的取值范圍．18．（17分）一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)，選手在連續(xù)摸獎(jiǎng)時(shí)，首次中獎(jiǎng)得1分，并規(guī)定：若連續(xù)中獎(jiǎng)，則第一次中獎(jiǎng)得1分，下一次中獎(jiǎng)的得分是上一次得分的兩倍：若某次未中獎(jiǎng)，則該次得0分，且下一次中獎(jiǎng)得1分．已知某同學(xué)連續(xù)摸獎(jiǎng)次，總得分為，每次中獎(jiǎng)的概率為，且每次摸獎(jiǎng)相互獨(dú)立．（1）當(dāng)時(shí)，求的概率；（2）當(dāng)時(shí)，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）當(dāng)時(shí)，判斷的數(shù)學(xué)期望與10的大小，并說明理由．19．（17分）已知函數(shù)，恒成立．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）數(shù)列滿足：，，若數(shù)列中有無窮個(gè)不同的項(xiàng)，求整數(shù)的值．參考答案題號(hào)1234567891011答案DACCBBAAACBCDACD12． 13．3 14．15．【詳解】：（1）、由已知條件可知，由于，故，，故數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，即．（2）、由，得．16．【詳解】：（1）過A在平面內(nèi)作，垂足為，側(cè)面為矩形，，又，平面，平面，平面平面，平面，平面，三棱錐的體積為，，，，，，；（2）存在滿足題意，．理由如下：如圖，以分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，則，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，存在滿足題意，．17．【詳解】（1）由圖可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，故點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）設(shè)，則直線的方程為，代入曲線的方程得，．化簡(jiǎn)可得：①，由于與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故關(guān)于的方程①的判別式為正，計(jì)算得，，因此有，②設(shè)Q，R的模坐標(biāo)分別為，，由①知，，，因此，結(jié)合的傾斜角為可知，，③由②可知，，故，從而由③得：．注1：利用的圓心到的距離小于的半徑，列出不等式，同樣可以求得②中的范圍．注2：更簡(jiǎn)便的計(jì)算的方式是利用圓冪定理，事實(shí)上，的圓心為，半徑為，故．18．【詳解】（1）摸獎(jiǎng)5次得分為3分，有如下兩種情形：情形一，恰好兩次中獎(jiǎng)，且兩次相鄰；情形二，恰好三次中獎(jiǎng)，且任意兩次都不相鄰．情形一發(fā)生的概率為．情形二發(fā)生概率為，所以；（2）的可能取值為0，1，2，3，7，其中，，，，所以的概率分布列為X01237P所以．（3）．理由如下：記該同學(xué)摸獎(jiǎng)30次中獎(jiǎng)次數(shù)為，則．若每次中獎(jiǎng)都得1分，則得分的期望為．由題中比賽規(guī)則可知連續(xù)中獎(jiǎng)時(shí)，得分翻倍，故實(shí)際總得分的期望必大于每次都得1分的數(shù)學(xué)期望．所以．19．【詳解】（1），因?yàn)楹愠闪?，且，所以是極大值點(diǎn)，即．解得．驗(yàn)證當(dāng)時(shí)符合題意．（2）由（1）知，所以原方程變形為．令，于是，原方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于直線與曲線在上有兩個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，