六年級奧數(shù)知識試題「分解質(zhì)因數(shù)」

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質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不肯定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，.

例1○+(□+△)=209.

在○、□、△中各填一個質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.

解：209可以寫成兩個質(zhì)數(shù)的乘積，即

209=1119.

不論○中填11或19，□+△肯定是奇數(shù)，那么□與△是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定△內(nèi)填2.當○填19，□要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此○填11，而□填17.

這個算式是11(17+2)=209，

11(2+17)=209.

解例9的首要一步是把209分解成兩個質(zhì)數(shù)的乘積.把一個整數(shù)分解成假設(shè)干個整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講解并描述的主要內(nèi)容.

一個整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).

任何一個合數(shù)，假如不考慮因數(shù)的順次，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如

360=222335.

還可以寫成360=23325.

這里23表示3個2相乘，32表示2個3相乘.在23中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方.

例2有四個同學，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的'年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少?

解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)

5040=243257.

再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個連續(xù)自然數(shù)的乘積：

243257=78910.

所以，這四名同學的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個數(shù)(包括1和它本身).為尋求一般方法，先看一個簡約的例子.

我們知道24的約數(shù)有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對于較大的數(shù)，假如一個一個地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.

由于24=233，所以24的約數(shù)是23的約數(shù)(1，2，22，23)與3的約數(shù)(1，3)之間的兩兩乘積.

11，13，21，23，221，223，231，233.

這里有42=8個，即(3+1)(1+1)個，即對于24=233中的23，有(3+1)種選擇：1，2，22，23，對于3有(1+1)種選擇.因此共有(3+1)(1+1)種選擇.

這個方法，可以運用到一般情形，例如，

144=2432.

因此144的約數(shù)個數(shù)是(4+1)(2+1)=15(個).

例3在100至150之間，找出約數(shù)個數(shù)是8的全部整數(shù).

解：有8=7+1;8=(3+1)(1+1)兩種狀況.

(1)27=128，符合要求，

37150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.

(2)23=8，

813=104，817=136，符合要求.

33=27;

只有275=135符合要求.

53=135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個數(shù)合要求：128，104，135，136.

利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出假設(shè)干個整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進行質(zhì)因數(shù)分解，例如

720=24325，168=2337.

那么每個公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是

233=24.

在求最小公倍數(shù)時，很明顯每個質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請留意720中有5，而168中無5，可以認為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是

243257=5040.

例4兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個數(shù)是90，另一個數(shù)是多少?

解：180=22325，

30=235.

對同一質(zhì)因數(shù)來說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從22與2就知道，一數(shù)中含22，另一數(shù)中含2;從32與3就知道，一數(shù)中含32，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是

90=2325.

就知道另一數(shù)是

2235=60.

還有一種解法：

另一數(shù)肯定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在