復(fù)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期春季課題《7.1復(fù)數(shù)的概念》教科書(shū)書(shū)名：普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)（A版）必修第二冊(cè)出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)1.能夠通過(guò)方程的解，感受引入復(fù)數(shù)的必要性，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根)在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用，并能夠從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程中，歸納出數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，體會(huì)擴(kuò)充的合理性及人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用．2.能夠明晰復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的基本結(jié)構(gòu)，會(huì)對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，會(huì)用Venn圖表示數(shù)集之間的關(guān)系，知道兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義，能利用復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)相等的含義解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．3.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.掌握復(fù)平面、復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)．教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：1.數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程和方法；對(duì)i的規(guī)定和理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念；2.復(fù)數(shù)的兩種幾何意義及復(fù)平面、復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)等概念．教學(xué)難點(diǎn)：1.數(shù)系擴(kuò)充的基本思想及虛數(shù)單位i的引入；2.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)回顧，再現(xiàn)思想思考：截至目前，我們都學(xué)習(xí)過(guò)哪些數(shù)集？這些數(shù)集之間有什么關(guān)系？預(yù)設(shè)回答：自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集。后面的數(shù)集包含前面的數(shù)集，即后一個(gè)數(shù)集是前一個(gè)數(shù)集的擴(kuò)充。追問(wèn)：為什么要擴(kuò)充數(shù)系？從滿足社會(huì)發(fā)展需要的角度，以視頻的形式簡(jiǎn)單回顧數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程。從解決數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的角度，通過(guò)在特定數(shù)集中求解方程回顧數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程。在自然數(shù)集中無(wú)解，引入負(fù)整數(shù)使其有解。在整數(shù)集中無(wú)解，引入分?jǐn)?shù)使其有解。在有理數(shù)集中無(wú)解，引入無(wú)理數(shù)使其有解?！究偨Y(jié)】數(shù)系擴(kuò)充的原則（1）引入新數(shù)，即增加新元素；（2）加法與乘法滿足交換律、結(jié)合律及分配律均得到保留，即原數(shù)集中的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立。（二）創(chuàng)設(shè)情境，引出新數(shù)問(wèn)題：在實(shí)數(shù)集中有解嗎？為什么無(wú)實(shí)數(shù)解？預(yù)設(shè)回答：在實(shí)數(shù)集中無(wú)解，因?yàn)樵趯?shí)數(shù)集中對(duì)-1開(kāi)平方?jīng)]有意義。追問(wèn)：聯(lián)系從自然數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的過(guò)程，你能給出一種方法，使該方程有解？預(yù)設(shè)回答：引入新數(shù)擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，使負(fù)數(shù)開(kāi)方在新數(shù)集中有意義。師：引入新數(shù)i，并介紹相關(guān)數(shù)學(xué)史——數(shù)學(xué)家歐拉。規(guī)定，把新引進(jìn)的數(shù)添加到實(shí)數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實(shí)數(shù)之間仍然能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對(duì)加法滿足分配律（即保留原有的運(yùn)算律及運(yùn)算性質(zhì)）。（三）建構(gòu)新知，感知復(fù)數(shù)思考：數(shù)系擴(kuò)充保留運(yùn)算律，那么在實(shí)數(shù)集中引入新數(shù)i后，新的數(shù)集中包含哪些數(shù)?預(yù)設(shè)+引導(dǎo)：實(shí)數(shù)a實(shí)數(shù)b與i相乘，如：3i，-2i，，等，結(jié)果記作bi實(shí)數(shù)a與bi相加，如：2+3i，4-2i，等，結(jié)果記作a+bi實(shí)數(shù)a=a+0ibi=0+bi歸納復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：所有實(shí)數(shù)以及i都可寫(xiě)成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴(kuò)充后的新數(shù)集中。復(fù)數(shù)的概念：把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。i叫做虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：z=a+bi(a,b∈R)，其中a為實(shí)部，b為虛部。注意：復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。如：3+2i的實(shí)部是3，虛部是2的實(shí)部是，虛部是的實(shí)部是，虛部是1-0.2i的實(shí)部是0，虛部是-0.2思考：復(fù)數(shù)可以像實(shí)數(shù)那樣比較大小嗎？師：一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小。追問(wèn)：如何判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)相等呢？z1=a+bi,z2=c+di若z1=z2，則a=c且b=d.每個(gè)復(fù)數(shù)都可以由實(shí)部和虛部這兩個(gè)實(shí)數(shù)唯一確定，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類。思考：用韋恩圖表示出復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系。（小組合作）（四）典例分析，理解概念例1當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m?1)i是下列數(shù)？（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).分析：因?yàn)閙∈R，所以m+1與m?1都是實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的取值。解：(1)當(dāng)m?1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)m?1≠0，即m≠1時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；(3)當(dāng)m+1=0且m?1≠0時(shí)，即m=?1時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)。（五）建構(gòu)新知，幾何感知1.復(fù)數(shù)的兩種幾何意義思考：我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。那么，復(fù)數(shù)有什么幾何意義呢？復(fù)數(shù)z=a+bi實(shí)部為a，虛部為b，可以確定唯一的有序數(shù)對(duì)（a,b），而有序數(shù)對(duì)（a,b）又可以確定實(shí)部為a，虛部為b的復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)z與有序數(shù)對(duì)就建立起了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。那么有此關(guān)系，同學(xué)們思考一下，可以想到復(fù)數(shù)的幾何表示方法嗎？預(yù)設(shè)回答：想到點(diǎn)師：有序數(shù)對(duì)（a,b）可以確定橫坐標(biāo)為a，縱坐標(biāo)為b的點(diǎn)，而點(diǎn)（a,b）又可以確定有序數(shù)對(duì)（a,b），因此，有序數(shù)對(duì)與點(diǎn)就可以建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。引入復(fù)平面概念：建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面。其中X軸叫做實(shí)軸，Y軸叫做虛軸，實(shí)軸的點(diǎn)代表實(shí)數(shù)，虛軸的點(diǎn)除了原點(diǎn)以外代表純虛數(shù)。比如：復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（-2,3）對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)-2+3i點(diǎn)（-2,0）對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)-2-5i對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0,-5）0對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0,0）復(fù)數(shù)z=a+bi可以唯一確定復(fù)平面上橫坐標(biāo)為a，縱坐標(biāo)為b的點(diǎn)Z，而點(diǎn)Z（a,b）又可以唯一確定實(shí)部為a，虛部為b的復(fù)數(shù)。因此復(fù)數(shù)可以與復(fù)平面的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這個(gè)是復(fù)數(shù)的一種幾何意義。思考：平面向量可以用直角坐標(biāo)系中有序數(shù)對(duì)來(lái)確定，復(fù)數(shù)與有序數(shù)對(duì)也是一一對(duì)應(yīng)的，你能用平面向量來(lái)表示復(fù)數(shù)嗎？師：想用平面向量來(lái)表示復(fù)數(shù)，需要找到平面向量與復(fù)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，因此只要找到復(fù)平面上的點(diǎn)與向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，便可以解決這個(gè)問(wèn)題。思考：如何建立向量與點(diǎn)之間的一對(duì)應(yīng)關(guān)系？由向量相等定義可知任何一個(gè)向量都可以通過(guò)平移變成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量。向量的終點(diǎn)會(huì)唯一確定，而又會(huì)唯一的去確定終點(diǎn)Z，建立起點(diǎn)與向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。復(fù)數(shù)與點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，而點(diǎn)又與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，就可以建立起復(fù)數(shù)與原點(diǎn)為起點(diǎn)向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是復(fù)數(shù)的另外一種幾何意義。注：為了方便起見(jiàn)，我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說(shuō)成點(diǎn)Z或；相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)。2.復(fù)數(shù)的模的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記做或(即根號(hào)下實(shí)部的平方加上虛部的平方)。幾何意義：復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)O的距離.例2設(shè)復(fù)數(shù)z1=4＋3i，z2=4-3i(1)在復(fù)平面內(nèi)畫(huà)出復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量；(2)求復(fù)數(shù)z1，z2的模，并比較它們的模大小.解：(1)如圖所示(2)|z1|=|4+3i|=|z2|=|4?3i|=所以|z1|=|z2|.問(wèn)：復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有什么樣的關(guān)系？由于復(fù)數(shù)z1，z2實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)，因此他們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)該是橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反，關(guān)于X軸對(duì)稱的。3.共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于零的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)，也叫做共軛虛數(shù)。共軛復(fù)數(shù)用表示，如果z=a+bi，則問(wèn)：若z1