高中數(shù)學(xué)-11 費(fèi)馬 （以費(fèi)馬為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）解析版

【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】

專題11費(fèi)馬

（以費(fèi)馬為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）

一、單選題

1.十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：”對(duì)任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于x,y,z的方程

x"+y"=z"沒(méi)有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯?懷爾斯給出了證

明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（）

A.對(duì)任意正整數(shù)〃，關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"都沒(méi)有正整數(shù)解

B.對(duì)任意正整數(shù)”>2,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

C.存在正整數(shù)”42,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

D.存在正整數(shù)”>2,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)命題的否定形式，直接寫(xiě)出命題的否定即可

【詳解】

命題的否定形式為，原命題的題設(shè)不變，結(jié)論改否定；

故只有D滿足題意；

故選：D

2.費(fèi)馬數(shù)是以法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的一組自然數(shù)，具有形式為22"+1（記做工），其中

〃為非負(fù)數(shù).費(fèi)馬對(duì)〃=0,1,2,3,4的情形做了檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這組費(fèi)馬公式得到的

數(shù)都是素?cái)?shù)，便提出猜想：費(fèi)馬數(shù)是質(zhì)數(shù).直到1732年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)月=2^+1

為合數(shù)，宣布費(fèi)馬猜想不成立.數(shù)列｛4｝滿足4=log2（￡-l）,則數(shù)列｛。,,｝的前〃項(xiàng)

和5.滿足S,>2020的最小自然數(shù)是（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得到4,=2",利用等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式求得S“=2"“-2,進(jìn)而求得

5“>2022的最小自然數(shù),得到答案.

【詳解】

由題意，可得數(shù)列｛〃,,｝滿足a,,=log2（E,—l）=log222"=2",

利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S"=2'（1-2，，）=2"+,-2,

1—2

當(dāng)〃=9時(shí)，可得與=2">-2=1022；

當(dāng)”=10時(shí)，可得品>=2"-2=2046,

又由=2e-2"=2">0,所以S“單調(diào)遞增，

所以S“>2022的最小自然數(shù)為10.

故選：B.

3.費(fèi)馬小定理：若。是質(zhì)數(shù)，且。，P互質(zhì)，那么。的（P-1）次方除以。所得的余數(shù)

恒等于1.依此定理，若在數(shù)集｛2,3,5,6｝中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為P,另一個(gè)作

為。，則所取的兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為（）

A.—B.-C.-D.；

12432

【答案】A

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率求解.

【詳解】

樣本點(diǎn)（2,3）表示p=2,a=3,余類推，則樣本空間

Q=｛（2,3）,（2,5）,（2,6）,（3,2）,（3,5）,（3,6）,（5,2）,（5,3）,（5,6）,（6,2）,（6,3）,（6,5）｝,共有12

個(gè)樣本點(diǎn).

記事件A表示“所取的兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理”，則事件A所含的樣本點(diǎn)為（2,3）,

（2,5）,（3,2）,（3,5）,（5,2）,（5,3）,（5,6）,共7個(gè).

7

所以所取的兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率「（A）.

故選：A.

4.皮埃爾?德?費(fèi)馬，法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對(duì)數(shù)學(xué)做出

了重大貢獻(xiàn).其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若P是質(zhì)數(shù)，且整數(shù)4與?；ベ|(zhì)，那么。的0-1

次方除以P的余數(shù)恒為1.后來(lái)人們稱之為費(fèi)馬小定理.以此定理，若在數(shù)集｛2,3,4｝

中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為P,另一個(gè)作為“，則所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概

率為（）

A.-B.|C.1D.-

3326

【答案】C

【解析】

【分析】

利用列舉法求出所取兩個(gè)數(shù)所有結(jié)果，在選?。≒M）符合費(fèi)馬小定理包含的基本事件個(gè)

的個(gè)數(shù)，由此能求出所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率.

【詳解】

解：在數(shù)集｛2,3,4｝中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為P,另一個(gè)作為“，

基本事件總數(shù)有（2,3）,（2,4）,（3,4）,（3,2）,（4,2）,（4,3）,

所取兩個(gè)數(shù)（P，a）符合費(fèi)馬小定理包含的基本事件有：

（2,3）,（3,2）,（3,4）共3個(gè),

所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為尸==3=彳1.

62

故選：C.

5.數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了￡,=22"+1（〃=

0,1,2,…）是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出

g=641*6700417,不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)=log/月—1乂〃=1,2,）,5“表示數(shù)列｛%｝的

前n項(xiàng)和，若32S“=63a"，貝lj”=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系求得通項(xiàng)公式，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

2n

因?yàn)樵?2^+1（"=0,1,2,…）,^an=log4（Fn-1）=log42"=2-',

所以｛刖｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1,公比為2,所以S〃=里二為=2〃一1

1-2

所以32（2"—D=63x2"T,解得〃=6,

故選：B

6.點(diǎn)尸在_43C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)上4+P8+PC取到最小值時(shí)，則稱該點(diǎn)為一A8C

的“費(fèi)馬點(diǎn)”.當(dāng)，45C的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)滿足如下特征：

NAP8=/8PC=/CPA=120".如圖，在，ABC中，AB=AC=近，BC=6,則其

費(fèi)馬點(diǎn)到ARC三點(diǎn)的距離之和為（）

B

A.4B.2

C.2-2百D.2+出

【答案】A

【解析】

【分析】

可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及余弦定理即可進(jìn)行求解.

【詳解】

根據(jù)題意，ABC為等腰三角形，

ZAPB=NAPC=NBPC=120。，:.PB=PC,

在，依C中，由余弦定理可得：

BC2=BP-+CP2-2BPCP-cosNBPC,

gp（x^）2=2BP2-2x（-l）BP2,解得：BP=1,

2

在ZXABP中，由余弦定理可得：

AB2=BP2+AP2-2BPAPCOSZAPB,

即（近）2=1+4L-2X（—1）XAP,解得：AP=2,

；.AP+BP+CP=4,.??其費(fèi)馬點(diǎn)至IJA,B,C三點(diǎn)距離之和為4.

故選：A

7.馬林?梅森（A/“ri"Merse，"?e,1588-1648）是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在歐幾里得、費(fèi)

馬等人研究的基礎(chǔ)上深入地研究了2。-1型的數(shù).人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢

獻(xiàn)，將形如2。-1（其中P是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)

選取兩個(gè)不同的數(shù)，至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是（）

3c5〃13r19

AA.-B.—C.—D.—

7122855

【答案】C

【解析】

【分析】

列舉法找出所有不超過(guò)20的素?cái)?shù)和梅森素?cái)?shù)，求出隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)的種數(shù)，求出至少有

一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的種數(shù)，即可得出概率..

【詳解】

可知不超過(guò)20的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個(gè)，

其中梅森素?cái)?shù)有3,7共2個(gè)

則在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有=28種，

其中至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)有C；C：+C；=13利

13

所以至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是尸=二.

28

故選：C.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：（1）素?cái)?shù)的定義：1不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，2是素?cái)?shù).（2）梅森素?cái)?shù)即是在

素?cái)?shù)中符合2。-1的數(shù).

8.皮埃爾?德?費(fèi)馬，法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對(duì)數(shù)學(xué)界做

出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若p是質(zhì)數(shù)，且小p互質(zhì),那么“的（P-I）次

方除以0的余數(shù)恒等于1,后來(lái)人們稱該定理為費(fèi)馬小定理，依此定理若在數(shù)集

{2,3,4,5,6,7}中任取兩個(gè)數(shù)，以其中一個(gè)作為p,另一個(gè)作為“，則所取兩個(gè)數(shù)不符合

費(fèi)馬小定理的概率為（）

17,13八2r3

A.—B.—C.—D.一

303055

【答案】B

【解析】

【分析】

先列舉出所有的總數(shù)，根據(jù)費(fèi)馬小定理找出兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的個(gè)數(shù)，求出兩個(gè)

數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率，再對(duì)立事件的概率的關(guān)系可求得結(jié)果

【詳解】

解：數(shù)集｛2,3,4,5,6,7｝中，質(zhì)數(shù)的2,3,5,7,

當(dāng)p=2時(shí)，?？梢匀?,5,7,共3種，

當(dāng)p=3時(shí)，。可以取2,4,5,7,共4種，

當(dāng)p=5時(shí)，&可以取2,3,4,6,7,共5種，

當(dāng)p=7時(shí)，a可以取2,3,4,5,6,共5種，

所以符合費(fèi)馬小定理的情況共有3+4+5+5=17種，

因?yàn)閺模?,3,4,5,6,7｝中任取兩個(gè)數(shù)，且有序，共有星=30種，

所以所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為1與7，

所以所取兩個(gè)數(shù)不符合費(fèi)馬小定理的概率為1-為17=荒13，

故選:B

9.概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個(gè)“賭金分配'’的問(wèn)題：博弈水平相當(dāng)?shù)募住?/p>

乙兩人進(jìn)行博弈游戲每局比賽都能分出勝負(fù)，沒(méi)有平局.雙方約定，各出賭金150枚金

幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時(shí)甲贏了2局，乙贏了

1局.向這300枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概

率”的知識(shí)，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（）

A.甲150枚，乙150枚B.甲225枚，乙75枚

C.甲200枚，乙100枚D.甲25枚，乙50枚

【答案】B

【解析】

【分析】

列舉出若游戲繼續(xù)進(jìn)行到結(jié)束的所有情況，計(jì)算出甲乙各自勝出的概率，從而決定他

們各自賭金的份額.

【詳解】

由題可知，對(duì)單獨(dú)每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為g.

若游戲繼續(xù)進(jìn)行，最多再進(jìn)行2局即可分出勝負(fù)：

[U第四局甲高.比姆吉束，甲勝出，柩率為g

②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為

224

③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結(jié)束，乙勝出，概率為=

224

則甲勝出的概率為:+!=?，則甲應(yīng)該分得賭金的?，即300x^=225枚，

24444

乙分得賭金75枚.

故選：B.

10.數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出猜想：

E,=22"+l(weN')是質(zhì)數(shù).直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出

怎=6400417,不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)a“=log式工-l)-l(〃eN*),若存在“eM,使不

),2ryn

等式上+—++--<%成立，則實(shí)數(shù)九的取值范圍是()

%出々2%

22

A.A...-B.4>—C.2.1D.A>1

33

【答案】B

【解析】

【分析】

2"2"11

由已知條件可得q=2T,從而得力二產(chǎn)而刁=再一而廿進(jìn)而可

2

求得上2+—2++工印—再由y=i一幅工在“上單調(diào)遞增，可求

32，，+1-12—1

得答案

【詳解】

2

解：Fn=2+1（〃=0,1,2,…）,

由于4=log2（工-1）-I=log2（22"+1-1）-1=2"-1,

則互「QTbe'T）

11

2222"

--------+---------++-------------

%%。2。344+1

=1?-----1----1------1------------1-----F

22-122-123-1

11

4----------------------:------

2"-12"+'-1

=1——J—,

因?yàn)閥=i-2■:在N上單調(diào)遞增，

2—1

2222"

----F---++-----

2"+|-1-3

故后

故選：B.

11.費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均

小120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形

三邊的張角相等，均為120。.根據(jù)以上性質(zhì)，已知4-2,0),8(2,0),C(0,4),P為

MC內(nèi)一點(diǎn)，記/"(尸)=|網(wǎng)+|PB|+|PC|,則“P)的最小值為()

A.2GB.4+2百

C.4+6D.2+6

【答案】B

【解析】

【分析】

由費(fèi)馬點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為120。，求出費(fèi)馬點(diǎn)M,再根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)是與

三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)求出f(P).

【詳解】

設(shè)0(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由4-2,0),8(2,0),C(0,4),

知|AC|=|BC|=2V5,K,ABC為銳角三角形，

因此，費(fèi)馬點(diǎn)M在線段OC匕設(shè)用(0,〃)，如圖,

則△M4B為頂角是120。的等腰三角形，故〃=|。8仙1130。=孚，

所以/(尸).J(M)=|M4|+|MB|+|MC|=4A+4-/2=4+26

貝的最小值為4+2、5.

故選：B

12.費(fèi)馬數(shù)列｛工｝是以數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬(Pie/redeFe/7??c〃，1601~1665年)命名

的數(shù)列，其中工=2二+1.例如片=2，+1=22+1=5.因?yàn)榻??=3.4.所以今的

整數(shù)部分是1位數(shù)；因?yàn)轸?等=15.12,所以.的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則等

白217”2“13

的整數(shù)部分位數(shù)最接近于()(1g2ko.3010)

A.240B.600C.1200D.2400

【答案】D

【解析】

【分析】

214

先表示出耳3，心，作近似處理得冬笈)，再取以10為底的對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)即可求解

耳322

【詳解】

所呼手

由于13=2支+1,%=22'4+1與1相比都非常大,

「13乙

F2產(chǎn)

所以1g上nlgK=2力g2-2"lg2=2覆館2。2"xO.3010=8912x0.3010=2682.512,

耳32~

故21()2682.512

5

又因?yàn)镼由＜102682口26s3,吁的整數(shù)位數(shù)為"+1位,

所以善的整數(shù)部分位數(shù)最接近2400位.

故選：D.

13.我們把工=22'+1（〃=0,12…）叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.設(shè)

%=地2優(yōu)一1），〃=1，2,3,…，設(shè)數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為5,,,則使不等式

B+S2+S3+…+5”>2021-2〃成立的正整數(shù)”的最小值是（）

A.8B.9C.10D.116

【答案】B

【解析】

【分析】

求得q,=2"，利用等比數(shù)列的求和公式可求得S,，利用分組求和法可求得

S,+S2+S3+-+S?,由已知條件可得出關(guān)于〃的不等式，即可得解.

【詳解】

a“=log2（E—l）=bg22"=2",則如=2,故數(shù)列｛4｝是公比為2的等比數(shù)列,

則S二立也2-2，

“1-2

234,,+4,,+2

所以，S,+52+S34----+S?=（2+2+2++2'）-2/Z=^-^-2n=2-2n-4>

由E+S2+S3+…+S”>2021-2〃可得22>2025,

2'°<2025<2",所以〃+2N11,即心9.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：

（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

（2）對(duì)于｛4勿｝結(jié)構(gòu)，其中｛〃,｝是等差數(shù)列，｛〃｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和;

（3）對(duì)于｛q+2｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

（4）時(shí)于結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，公差為"（4x0），則

—利用裂項(xiàng)相消法求和.

14.費(fèi)馬數(shù)列優(yōu)｝是以數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬(PierredeFermat,1601~1665年)命名

的數(shù)列，其中E,=2?+l,例如耳=22'+l=22+l=5.因?yàn)樾?1=3.4,所以去的

整數(shù)部分是1位數(shù)；因?yàn)?=等。15.12,所以餐的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則善

F217F

2FI2

的整數(shù)部分位數(shù)最接近于(lg2*0.3010)()

A.240B.600C.900D.1200

【答案】D

【解析】

【分析】

山學(xué)的整數(shù)部分位數(shù)近似于去二■的整數(shù)部分位數(shù)，對(duì)售1取對(duì)數(shù)，求得其近似

/自T七-1

值，再根據(jù)W的整數(shù)部分位數(shù)是n+1位求解.

【詳解】

因?yàn)?3=2#+1,耳2=2*+1與1相比都非常大，

所以學(xué)的整數(shù)部分位數(shù)近似于等言的整數(shù)部分位數(shù),

耳2耳2T

而1g口）=炮（63-1）-電（片2-1），

=2l3lg2-2l2lg2=2l2lg2,

?4096x0.301=1232.896.

所以去1=10血叱

62T

而10⑵2<10皿896<]0⑵3,

因?yàn)?0"的整數(shù)部分位數(shù)是〃+1位，

所以10口32的整數(shù)部分位數(shù)是1233位，

及233的整數(shù)部分位數(shù)是1234位，

所以魯[的整數(shù)部分位數(shù)最接近1200位，

即善的整數(shù)部分位數(shù)最接近1200位，

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由10"的整數(shù)部分位數(shù)是“+1位而得解.

15.形如6=2*+1(〃eN*)的數(shù)被稱為費(fèi)馬數(shù)，費(fèi)馬完成了玲，丘尸?,與，吊的驗(yàn)證

后，于1640年提出猜想：費(fèi)馬數(shù)都是質(zhì)數(shù)，但由于巴及之后的費(fèi)馬數(shù)都實(shí)在太大了，

費(fèi)馬也未能完成驗(yàn)證及證明.直到1732年才被數(shù)學(xué)家歐拉算出巴=641x6700417不是質(zhì)

數(shù)，從而宣告了費(fèi)馬數(shù)的猜想不成立.現(xiàn)設(shè)/:帥式工若任意

2222"

neN\使不等式二+=++——</恒成立，則實(shí)數(shù)％的取值范圍是

()

A.(1,+^)B.[l,+oo)C.(g,+8)D.1,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

2"1111

由題知可=2"-1(〃eN*),——=---^—=-----------,進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)求和得

aa

??+l2—12-1an4M

2222n1

——+——++——進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立即可得答案.

4華詠a“a“+i2-1

【詳解】

解：因?yàn)?,=log2(工——居=2"+l(〃€N*),

所以a“=log,2r-1=2"-l(neN*),

一2"_2_11_]____1_

所以耳=(2--|)(2n+1-l)=門(mén)-2_―廣丁募'

2222"fl1W11"I(11)

所以---+----++-----=------+-------+.+--------

為%+i14^2)[4

因?yàn)椤癳N‘，TJ—>0,所以1一白了<1

Z—1Z—I

2222〃

所以，對(duì)任意〃EN*,使不等式+---++-----<4恒成立，則丸21.

所以，實(shí)數(shù)，的取值范圍是

故選：B

16.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬猜想形如“月=22"+1(〃eN)”是素?cái)?shù)，我們稱巴為

“費(fèi)馬數(shù)設(shè)％=log2優(yōu)-1),"=21*4,nGN-,數(shù)列｛%｝與｛4｝的前八項(xiàng)和分

別為3與1，則下列不等關(guān)系一定成立的是()

A.an<bnB.an>b?

C.S.4T“D.Sn>T?

【答案】D

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意求出4，"，從而可求出S”與(，再分析判斷即可

【詳解】

因?yàn)楣?2乎+1(weN),

2

所以q=log2(f；,-l)=log2(2"+17)=2",?eN'

所以紇=21og2a“=210g22"=2",neN,>

當(dāng)”=2時(shí)a2=l~=4,Z>,=2X2=4,

所以AB錯(cuò)誤，

因?yàn)橐?*=2,〃用一仇=2(〃+1)-2〃=2,

所以數(shù)列｛a,,｝是以2為公比，2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，｛仇｝是以2為公差，2為首項(xiàng)的等

差數(shù)列，

所以S.=2^=2”+-2,7>^U，+〃，

"1-22

當(dāng)”=1時(shí)，I=4=2,當(dāng)〃=2時(shí)，$2=(=6,

當(dāng)“=3時(shí)，&=15,n=12,由此可得當(dāng)“23時(shí)，S?>T?,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)”=3時(shí)，顯然成立，

假設(shè)當(dāng)"=%(%23,&eN*)時(shí)，成立，即2"「2>公+人則

當(dāng)〃=4+1時(shí)，S川=2**2-2=2(2?*-2)+2

>2(k2+k)+2

=(%+1)2+公+1

>(%+1)-+(Z+1),即S*+]>〃+1,

綜上，當(dāng)“23時(shí)，S”>T”,所以S,27；,

所以C錯(cuò)誤，D正確，

故選：D

二、多選題

17.費(fèi)馬數(shù)是以數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的一組自然數(shù)，具有如下形式：入=2*+1（〃=0,

1'2,若包=_i）_36”N）則（:

A.數(shù)列包｝的最大項(xiàng)為4B.數(shù)列出｝的最大項(xiàng)為外

C.數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)為4D.數(shù)列出｝的最小項(xiàng)為打

【答案】BD

【解析】

【分析】

先求出bn=Z7^T7>利用單調(diào)性求出最大項(xiàng)和最小項(xiàng)?

【詳解】

-1）-36=27^36,因?yàn)楹瘮?shù)〃〃）=2"-36單調(diào)遞增，且當(dāng)“V5時(shí)，

b“<0,當(dāng)”26時(shí)，bn>0,所以數(shù)列出｝的最大項(xiàng)為%,數(shù)列也｝的最小項(xiàng)為瓦.

故選：BD

18.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程

/一幺=@2僅>0,%彳1,。工0）表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓

上任意一點(diǎn)P（異于A,B兩點(diǎn)）向長(zhǎng)軸A8引垂線，垂足為Q,記/L.下

列說(shuō)法正確的是（）

A.M的值與P點(diǎn)在橢圓上的位置有關(guān)B.M的值與尸點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)

C.M的值越大，橢圓的離心率越大D.M的值越大，橢圓的離心率越小

【答案】BD

【解析】

【分析】

22

不妨設(shè)橢圓方程為設(shè)2(%,%)(-“<Xo<a),A(-q,O),8(4,0),

arb~

求出和橢圓的離心率e=Jl—M后,可得答案.

【詳解】

不妨設(shè)橢圓方程為5+衛(wèi)=1（。>6>0），

ab

設(shè)P*o，%)(-a<x(,<a),A(-a,O),B(a,O),則。(%,0),

所以|PQ『=y；,\AQ\=x0+a,\BQ\=a-x0,

,b2，

b22X0b2

所以M=a

?(a+x)(a-x)2，

|AQ||8Q|00L蒼7

因?yàn)镸為定值，所以M的值與P點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)，故A不正確，B正確;

橢圓的離心率e=￡=/耳=j=Jl-M，

所以M的值越大，橢圓的離心率越小，故C不正確，D正確.

故選：BD

19.我們把工=2'+1（〃=O,1,2,L）叫作“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.設(shè)

a“=log2（E,T），"=1，2，，5“表示數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，則使不等式

S,+S2+Si++S,>2021-2〃成立的正整數(shù)”的值可以是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】CD

【解析】

【分析】

由題可得4=2”，利用等比數(shù)列得前〃項(xiàng)和公式可得S,=2向-2,利用分組求和可得

S1+S2+S3+L+S,,=2"2_2"-4,化簡(jiǎn)不等式，即可求出結(jié)果.

【詳解】

rn

/；=2+l（n=0,l,2,L）,.-.a,,=log2（/=；-1）=2,/jeN'.

”號(hào)>=2向—2,

4(l-2n)M

.?.E+S2+S3++S〃=-^----^-2n=2rt+2-2n-4，

1—2

2"?-2〃-4>2021-2"n2"2>2025.

當(dāng)"=8時(shí)，左邊=1024,不滿足題意;

當(dāng)〃=9時(shí)，左邊=2048,滿足題意，

故最小正整數(shù)”的值為9.

故選：CD.

20.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程

a2-x2=ky2(k>0,AHLawO)表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì).若從橢圓

IPQF

上任意一點(diǎn)尸(異于48兩點(diǎn))向長(zhǎng)軸AB引垂線，垂足為Q,記用=則

\AQ\-\BQ\

)

2

A.方程/_%=ky\k>0,4xl,aW0)表示的橢圖的焦點(diǎn)落在x軸上

B.M的值與P點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)

C.e=yjM-\

D.M越來(lái)越小，橢圓越來(lái)越扁

【答案】BD

【解析】

【分析】

2

A.當(dāng)0<左<1時(shí)，a2<—,所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

k

B.設(shè)P(x,y),所以M=需%==J(常數(shù))，所以M的值與尸點(diǎn)在橢圓上

\AQ\-\BQ\優(yōu)一Vk

的位置無(wú)關(guān)，故B正確；

C離心率e=Jl-g)2=g7,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

D.M越來(lái)越小，橢圓的離心率越大，橢圓越來(lái)越扁，所以選項(xiàng)D正確.

【詳解】

x2y2_2

解：A.由題得/+/=】，當(dāng)0<無(wú)<1時(shí)，a2<—,所以橢圓的焦點(diǎn)在N軸上；當(dāng)

Tk

時(shí)，a2>—,所以橢圓的焦點(diǎn)在*軸匕所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

k

B.設(shè)P(x,y),不妨設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸在x軸上，則|PQ『=y2,

\AQ\-\BQ\=(X+a)(a-x)=a2-x2,

所以==：(常數(shù))，所以M的值與匕點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)，故

\AQ\-\BQ\a-xk

B正確；

X~2y~2

C.又由方程方得/+?=1,所以“是橢圓的短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值的平

T

方，即M=e)z,所以離心率0=、，耳=口7,同理可得橢圓的長(zhǎng)軸在y軸上時(shí)結(jié)

aVa

論一致.

所以選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

D.M越來(lái)越小，橢圓的離心率越大，橢圓越來(lái)越扁，所以選項(xiàng)D正確.

故選：BD

三、填空題

21.數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了

5=(21+l(“eN*)是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算

出.月=641x6700417,也就是說(shuō)得不是質(zhì)數(shù)，這個(gè)猜想不成立.設(shè)

%=/。84(工一。(〃€*),S“是數(shù)列｛q｝前〃項(xiàng)和，若2加4s”對(duì)“eN?恒成立，則，〃

的最大值是.

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】

根據(jù)條件化簡(jiǎn)得4,=2小，再求前〃項(xiàng)和，根據(jù)不等式恒成立可求解.

【詳解】

由題意可知，a?=log4(2)'=2"x—=2"」，2m<-!—=-=2"-1,顯然當(dāng)〃=1時(shí)，加取

21—2

到最大值為3.

故答案為：y

22.十七世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“當(dāng)正整數(shù)〃>2時(shí)，關(guān)于X、八z的方程

x"+y"=z"沒(méi)有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證

明，使它終成費(fèi)馬大定理，則下列四個(gè)命題：

①對(duì)任意正整數(shù)”，關(guān)于光、券z的方程x"+y"=z"都沒(méi)有正整數(shù)解；

②當(dāng)正整數(shù)〃>2,關(guān)于X、八z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解；

③當(dāng)正整數(shù)"W2,關(guān)于X、八z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解；

④若關(guān)于x、八z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解，則正整數(shù)〃42；

真命題的序號(hào)是(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))

【答案】③④

【解析】

【分析】

通過(guò)舉反例，可判斷①錯(cuò)：根據(jù)題中條件，可判斷②錯(cuò)；通過(guò)舉例，可判斷③正確；

根據(jù)互為逆否命題的命題真假性之間關(guān)系，可判斷④正確.

【詳解】

①中，當(dāng)”=1時(shí)，方程x"+y"=z"即x+y=z有正整數(shù)解（如x=y=l,z=2）,故①

錯(cuò)；

②根據(jù)費(fèi)馬大定理可得：”當(dāng)正整數(shù)〃>2時(shí)，關(guān)于X、V、Z的方程x"+y"=z"沒(méi)有正整

數(shù)解”，故②錯(cuò);

③當(dāng)〃=1時(shí)，方程x"+y"=z"即x+y=z有無(wú)數(shù)正整數(shù)解（如x=yeN+，z=2x）；

當(dāng)〃=2時(shí)，方程x"+y"=z"即/+V=z2也有無(wú)數(shù)正整數(shù)解（如蒼丫為直角三角形的

兩直角邊長(zhǎng)，z為斜邊長(zhǎng)，其中三邊長(zhǎng)均取正整數(shù)）；

因此當(dāng)正整數(shù)”42,關(guān)于*八z的方程x"+y"=z,至少存在一組正整數(shù)解；故③正

確；

④互為逆否命題的兩命題，真假性相同，”若關(guān)于X、八z的方程*"+y"=z"至少存在

一組正整數(shù)解，則正整數(shù)2”是題干中所給命題的逆否命題，故④正確.

故答案為：③④.

23.數(shù)學(xué)中有許多猜想，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想：￡=2"+1質(zhì)

數(shù)，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出F5不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)

a?=log2［log2（/;,tl-l）］（"GN"）,bn=—1:,則數(shù)列｛加｝的前21項(xiàng)和為

【答案】W21

【解析】

【分析】

先對(duì)勺=蜒2［噬2國(guó)7-1）］進(jìn)行化簡(jiǎn)，再以裂項(xiàng)相消法求數(shù)列｛加｝的前21項(xiàng)和.

【詳解】

a?=log2［log2（Fn+l-1）］=log2^log2（2-■1+1-1）］

log[log(22"")]=log2"+l

222=n+l,

所以bn—-----------=---------------=------—------

??(??+!)(?+1)(?+2)n+1n+2

則％；-~——-+LH———1_1J_2￡

23342223223-46

21

故答案為：—

24.學(xué)數(shù)學(xué)的人重推理愛(ài)質(zhì)疑，比如唐代詩(shī)人盧綸《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜

遁逃.欲將輕騎逐，大雪滿弓刀.”這是一首邊塞詩(shī)的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)

斗，既刻畫(huà)出邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情.這首詩(shī)歷代傳誦，而無(wú)人

提出疑問(wèn)，當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚以數(shù)學(xué)家特有的敏感和嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)現(xiàn)了此

詩(shī)的一些疑點(diǎn)，并寫(xiě)詩(shī)質(zhì)疑，詩(shī)云：“北方大雪時(shí)，群雁早南歸.月黑天高處，怎得見(jiàn)

雁飛？“但是，數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下

猜想耳,=2*+1,(〃=0,1,2,)是質(zhì)數(shù)，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出

羽=641x6700417不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)q=log2[log,(/;,-!)],(?=1,2,3,)，記

b“=1[J苛)，則數(shù)歹U論,｝的前2“項(xiàng)和52“二

■由2n

【答案】-—_-

2〃+1

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，化簡(jiǎn)數(shù)列通項(xiàng)公式，利用分組求和的方法求解即可.

【詳解】

?，

依題意有F?=2+1代入an=log2[log2(f；,-l)]

n

得an=log2[log?(2?'+1-1)]=log22=n,

(T嚴(yán)(2"+l)2〃+l

所以a==(-i)"+，=(一1嚴(yán)

〃(九+1)

則有52,』1+自上+?？?4-

2〃(2j(23)(34)(2〃2〃+D2/2+12〃+l

故答案為：字2〃7

25.在一個(gè)三角形ABC中，到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn),

經(jīng)證明它也滿足NAPB=NBPC=NCPA=12(),因此費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中

心，如圖，在二/WC外作等邊△ACQ,再作△AC。的外接圓，則外接圓與線段8。的

交點(diǎn)戶即為費(fèi)馬點(diǎn).若AB=1,BC=2,/C4B=9(),則24+P8+PC=.

【答案】幣

【解析】

【分析】

由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)及一的邊角關(guān)系，證得△B48APBC,從而有

DApRAi?1

震=篙=塞=：，然后在△PAB中，由余弦定理求得PAP8的長(zhǎng)，從而求得結(jié)果.

/Dix_zLJ乙

【詳解】

根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)有，ZAPB=NBPC=ZCPA=120

則NPAB+NPB4=60,5LAB=\,BC=2,ZCAB=90,

故3c=2,AABC=60,即NPBC+NPBA=60

所以NPAB=NPBC,從而有△PABAPBC

,,PAPBAB1

則r—=—=—=-,

PBPCBC2

則PC=2PB=47%,

在△P4B中，由余弦定理知，

PA2+PB2-I2=2PAPBCOS120,

解得花垣，PA=^~

77

則PC=?5,PA+PB+PC=5

7

故答案為：不

26.我們把罵=2乎+1(〃=(),1,2)叫“費(fèi)馬數(shù)”(費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家)，設(shè)

??=log2(F,-l),5,表示數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)之和，則使不等式

,2o"+l

￡廠+1++三丁〈當(dāng)■成立的最大正整數(shù)〃的值是_______

W341+1"/

【答案】5

【解析】

【分析】

由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得%,由等比數(shù)列的求和公式可得5“，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求

和，解不等式可得所求最大值.

【詳解】

2

解:由題意得，an=log2(/^—1)=log22=2",

所以=2(1-2")則高一2向1_______1

+,+2

1-2S“3“+|(2,,+1-2)(2,,+2-2)~2"-22"-2

2223

所以——+——+L+

S島S2S3SS

-2-6+6-14+,+2,,+l-2-2nt2-2

11

~2~2"+2-2'

.1163

^2~2"+2-2<T2J，

可得"丁二，解得〃<6，

2n+2-22x127

所以最大正整數(shù)〃的值為5,

故答案為：5

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和

法，解題的關(guān)鍵是由已知條件求出a.=k)g2(4,-1)=唾22*=2",從而可得

2,,+)11

2(1—2〃)=2用_2,進(jìn)而可求出考

"1-2(2"“-2)(2"+2-2)

查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.

27.著名的費(fèi)馬問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾德費(fèi)馬(1601-1665)于1643年提出的平面

幾何極值問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和

最小費(fèi)馬問(wèn)題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的

費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，則使得/4m=/82。=/。24=120。的

點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn).已知點(diǎn)尸為A8C的費(fèi)馬點(diǎn)，且AC_LBC,若|/>A|+|P8|=RPC|,

則實(shí)數(shù)2的最小值為.

【答案】2G+2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意NAP8