2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第10講 放縮法賦值找零點(diǎn)

第10講放縮法賦值找零點(diǎn)在基礎(chǔ)篇我們學(xué)過(guò)了零點(diǎn)問(wèn)題，會(huì)利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來(lái)確定零點(diǎn)，要應(yīng)用零點(diǎn)存在定理就必須找到一個(gè)點(diǎn)的值大于零或者小于零，而這個(gè)點(diǎn)不需要很精確，就可以完美地使用放縮法來(lái)近似計(jì)算.可將這個(gè)找點(diǎn)判定正負(fù)號(hào)的過(guò)程稱為賦值.常用的賦值方法如下：1.直接常數(shù)賦值法：代入一個(gè)常數(shù)點(diǎn)就可以判定出函數(shù)值的正負(fù)號(hào)，這個(gè)點(diǎn)也通常是一些特殊點(diǎn)，比如等.2.參數(shù)放縮賦值法:有時(shí)代入常數(shù)點(diǎn)后，會(huì)得到一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)值，比如，這時(shí)，無(wú)法直接判定出正負(fù)號(hào)，這個(gè)時(shí)候就需要利用參數(shù)賦值，結(jié)合放縮法來(lái)判定正負(fù)號(hào).3.雙量最值放縮賦值法:參數(shù)賦值和常數(shù)賦值都無(wú)法直接得到點(diǎn)，就需要一個(gè)既有參變量(參數(shù))又有常量(常數(shù))的范圍點(diǎn)，通過(guò)兩個(gè)量取最值的方式放縮，來(lái)判定出正負(fù)號(hào).參數(shù)放縮賦值法參數(shù)放縮法賦值是放縮法的一個(gè)應(yīng)用，難度較大，當(dāng)然下面的很多例題用參變分離法會(huì)非常簡(jiǎn)單，當(dāng)然這里為了講解賦值法，就不考慮參變分離法了.這類賦值法的一般解題思路如下：第一步:判定可行性，在賦值之前，需要利用極限來(lái)判定賦值的可行性，賦值也只不過(guò)是極限更精確的取點(diǎn)方式，所以如果極限判定出不存在零點(diǎn)就不用白費(fèi)功夫了.前面講過(guò)，極限也可以作為粗略的解題步驟.第二步:放縮找點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和前面所學(xué)的放縮法找到含參賦值點(diǎn)，這里需要注意，找大于零的點(diǎn)，則需往小放縮，找小于零的點(diǎn)，則往大放縮.第三步:賦值驗(yàn)證，含參賦值點(diǎn)不僅要滿足不等式，還要滿足自身取值范圍.【例1】函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求正數(shù)的取值范圍.【解析】易得切線，代入整理得，題設(shè)等價(jià)于函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，令可解得或，我們來(lái)討論兩個(gè)點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，以及比較兩個(gè)點(diǎn)的大小.（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.是唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).且，故滿足題意.（2）當(dāng)，即時(shí)，由.=1\*GB3①當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增.又滿足題設(shè).=2\*GB3②當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，.我們接下來(lái)需要找到的右邊是否存在點(diǎn)使得，此時(shí)要找函數(shù)值大于零的點(diǎn)，所以要往小放縮，我們不難看出，當(dāng)時(shí)，，所以直接對(duì)進(jìn)行去項(xiàng)放縮，.存在..在內(nèi)，存在零點(diǎn)，至少有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意.=3\*GB3③當(dāng)，即時(shí)，在上，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上希望存在，使.此外要找到函數(shù)值小于零的點(diǎn)，應(yīng)往小放縮，不難看出，當(dāng)時(shí).去項(xiàng)、放縮得（其中不等式）.存在，并注意到..在內(nèi)存在零點(diǎn).從而至少有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意.綜上所述，或.【例2】函數(shù).若方程有解，求的取值范圍.【解析】方程有解函數(shù)有零點(diǎn)..(1)當(dāng)時(shí)，(證略)無(wú)零點(diǎn).若，則，.(2)當(dāng)時(shí)，即，則為極小值點(diǎn)，，需要在的右邊賦值，使得，我們直接通討參數(shù)放縮賦值法可得.要使得，則需要往小放縮，當(dāng)時(shí)，利用去項(xiàng)放縮法可得又，由零點(diǎn)定理得有零點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，即易知是的最大值點(diǎn)，令，無(wú)零點(diǎn).于是剩下，由常數(shù)賦值法得，有零點(diǎn).=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn).=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，又經(jīng)觀察，有零點(diǎn).綜上所述或.【例3】已知函數(shù)，若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，不合題意.(2)當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，符合.(3)當(dāng)時(shí)，一方面.=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.只要找到一個(gè)點(diǎn)使得即可.若為某個(gè)負(fù)常數(shù)，因負(fù)數(shù)的任意性，無(wú)法確保，故須與有關(guān).必須選取一個(gè)含參數(shù)的值作為賦值點(diǎn)，選取過(guò)程會(huì)結(jié)合放縮法的運(yùn)用.當(dāng)時(shí)，利用單調(diào)性放縮可得，取.，使，且當(dāng)時(shí).單調(diào)遞減.在內(nèi)有唯一零點(diǎn).=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，須無(wú)零點(diǎn)，而，，即.記，令，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上或.評(píng)注:對(duì)于(3)=1\*GB3①題為何放縮找點(diǎn)的方法有很多種，比如當(dāng)時(shí)，可以直接利用單調(diào)性放縮得，【解析】得.，使，且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.在內(nèi)有唯一零點(diǎn).【例4】函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，而，利用函數(shù)單調(diào)性放縮找到的左邊.由參數(shù)放縮賦值法可得，依據(jù)零點(diǎn)定理，有且只有一個(gè)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，.令.是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故有唯一零點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，令，（極大值點(diǎn)）.列表如下：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減.=1\*GB3①在上，且單調(diào)，有且只有一個(gè)零點(diǎn).=2\*GB3②在上，顯然，注意到(2)的結(jié)論，由參數(shù)放縮賦值法可得.同理有且只有一個(gè)零點(diǎn).由=1\*GB3①=2\*GB3②得有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).注意：在上，利用函數(shù)單調(diào)性放縮找點(diǎn)，利用放縮可得同樣可以利用不等式放縮找點(diǎn)，，同時(shí)利用不等式，放縮驗(yàn)證.不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知.三個(gè)賦值點(diǎn)都是可以的.那這三個(gè)賦值點(diǎn)是如何找到的呢?我們還是從不等式開(kāi)始探究:(大于).也就是，要找小于零的點(diǎn)，就把函數(shù)往大了放縮，盡可能放縮為冪函數(shù)不等式，進(jìn)而解不等式，找到點(diǎn)，在這個(gè)點(diǎn)(大于)的基礎(chǔ)上繼續(xù)放縮，又可以得到其他點(diǎn).雙量最值放縮賦值法如果用參數(shù)賦值法找點(diǎn)實(shí)在找不到，而用直接常數(shù)賦值法也不行，我們需要把兩者結(jié)合起來(lái)取最值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性來(lái)判定函數(shù)的符號(hào).【例1】設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】.當(dāng)時(shí)，，故無(wú)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即零點(diǎn)的個(gè)數(shù).在上單調(diào)遞增.又，下一步尋找正數(shù)，使；假定，故應(yīng)將鎖定在0右側(cè)一點(diǎn)點(diǎn).下面用兩種方法來(lái)找賦值點(diǎn)，=1\*GB3①雙量最值放縮賦值法:取，依據(jù)零點(diǎn)定理途徑，存在一個(gè)零點(diǎn).=2\*GB3②參數(shù)放縮賦值法:要取小于零的點(diǎn)，需要往大放縮，當(dāng)時(shí)，由常用指數(shù)不等形整體代換可得，于是當(dāng)，即時(shí)，，，即在的左邊，，取.依據(jù)零點(diǎn)定理，有一個(gè)零點(diǎn).【例2】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】.(1)若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減..一方面，當(dāng)時(shí)，直接用常數(shù)賦值法可得.另一方面，當(dāng)時(shí)，可利用兩種賦值法得到.=1\*GB3①雙量最值放縮賦值法：存在，使，在兩側(cè)，各有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.