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高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊第1課時對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)第四章對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)4.3.3對數(shù)函數(shù)y=logax的圖像和性質(zhì)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.通過具體實(shí)例,了解對數(shù)函數(shù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用描點(diǎn)法或借助計算工具畫出對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).(直觀想象)3.知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1).(數(shù)學(xué)抽象)激趣誘思某種物質(zhì)的細(xì)胞進(jìn)行分裂,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……,則1個這樣的細(xì)胞分裂x次后得到的細(xì)胞個數(shù)y如何表示?反之,如果知道一個細(xì)胞經(jīng)過x次分裂后得到了1024個細(xì)胞,該如何求解x的值呢?知識點(diǎn)撥一、對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念(1)一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫作對數(shù)函數(shù),其中a稱為底數(shù),由定義可知,對數(shù)函數(shù)具有以下基本性質(zhì):①定義域是(0,+∞);②圖象過定點(diǎn)(1,0).(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).兩者的定義域與值域正好互換.2.兩種特殊的對數(shù)函數(shù)以10為底的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù)函數(shù),記作y=lgx;以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù)為自然對數(shù)函數(shù),記作y=lnx.3.反函數(shù)對數(shù)函數(shù)表示為y=logax(a>0,且a≠1),指數(shù)函數(shù)表示為y=ax(a>0,且a≠1),指數(shù)函數(shù)y=ax是對數(shù)函數(shù)y=logax的反函數(shù),對數(shù)函數(shù)y=logax也是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù),即它們互為反函數(shù).名師點(diǎn)析1.判斷一個函數(shù)是不是對數(shù)函數(shù)的依據(jù):(1)形如y=logax;(2)底數(shù)a滿足a>0,且a≠1;(3)真數(shù)為x,而不是x的函數(shù).2.根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系知,y=logax可化為ay=x,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可知在對數(shù)函數(shù)中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.3.同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域.微練習(xí)(1)下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是(
)A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)微拓展1.若函數(shù)y=f(x)圖象上有一點(diǎn)(a,b),則點(diǎn)(b,a)必在其反函數(shù)圖象上;反之亦然.2.單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)與原函數(shù)有相同的單調(diào)性.3.若一個奇函數(shù)存在反函數(shù),則這個反函數(shù)也是奇函數(shù).二、對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象和性質(zhì)
圖象性質(zhì)(1)定義域:(0,+∞)(2)值域:R(3)過定點(diǎn)(1,0),即x=1時,y=0(4)當(dāng)x>1時,y>0;當(dāng)0<x<1時,y<0(4)當(dāng)x>1時,y<0;當(dāng)0<x<1時,y>0(5)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于正無窮大;當(dāng)x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大(5)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大;當(dāng)x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于正無窮大名師點(diǎn)析1.對數(shù)函數(shù)的圖象都在y軸的右側(cè),y軸可以看成對數(shù)函數(shù)圖象的漸近線,x的取值越接近于0,圖象越接近y軸.2.對數(shù)函數(shù)函數(shù)值的符號常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約,注意對底數(shù)a的分類討論.3.兩個底數(shù)都大于1的對數(shù)函數(shù),圖象在第一象限內(nèi)越接近x軸,底數(shù)越大;兩個底數(shù)都大于0小于1的對數(shù)函數(shù),圖象在第四象限內(nèi)越接近x軸,底數(shù)越小.微練習(xí)(1)(多選題)若函數(shù)y=logax的圖象如圖所示,則a的值不可能是(
)A.0.5
B.2
C.e
D.π(2)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上不單調(diào)遞增的是(
)A.y=5x
B.y=lgx+2C.y=x2+1(3)函數(shù)f(x)=loga(x-2)的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)
.
解析(1)∵函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴0<a<1,只有選項A不符合題意.(3)由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x-2=1,即x=3時,y=0,即函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(3,0).答案(1)BCD
(2)D
(3)(3,0)探究一對數(shù)函數(shù)的概念例1(1)已知函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)·logmx是對數(shù)函數(shù),則m=
.
(2)已知對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.分析(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的形式定義確定參數(shù)m所滿足的條件求解即可;(2)根據(jù)已知設(shè)出函數(shù)解析式,代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出對數(shù)函數(shù)的底數(shù),然后利用指對互化解方程.(1)解析由對數(shù)函數(shù)的定義可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因?yàn)閙>0,且m≠1,所以m=2.答案2②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.反思感悟1.對數(shù)函數(shù)是一個形式定義:2.對數(shù)函數(shù)解析式中只有一個參數(shù)a,用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)解析式時只需一個條件即可.變式訓(xùn)練1(1)若函數(shù)f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是對數(shù)函數(shù),則a=
.
(2)點(diǎn)A(8,-3)和B(n,2)在同一個對數(shù)函數(shù)圖象上,則n=
.
解得a=4.(2)設(shè)對數(shù)函數(shù)為f(x)=logax(a>0,且a≠1).則由題意可得f(8)=-3,即loga8=-3,探究二指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用例2(2020四川宜賓高一檢測)已知函數(shù)f(x)=log2x,若函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù),則f(g(2))=(
)A.1 B.2 C.3 D.4解析∵g(x)是f(x)的反函數(shù),∴g(x)=2x.∴g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.答案B要點(diǎn)筆記涉及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的問題,一定注意前提是“同底數(shù)”,且它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱;反之,兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱,則這兩個函數(shù)互為反函數(shù).變式訓(xùn)練2已知函數(shù)g(x)=f(x)+x2是奇函數(shù),當(dāng)x>0時,函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則g(-1)+g(-2)=(
)A.-7 B.-9 C.-11 D.-13解析由題意知f(x)=2x,故當(dāng)x>0時,g(x)=2x+x2.∵g(x)為奇函數(shù),∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.∴g(-1)+g(-2)=-11.答案C探究三與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題例3(1)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)?
)A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1) D.[0,1](2)已知函數(shù)
的值域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)f(x)的定義域是
.
解析(1)由題意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,0)∪(1,+∞).故選A.反思感悟定義域問題注意事項(1)要遵循以前已學(xué)習(xí)過的求定義域的方法,如分式分母不為零,偶次根式被開方式大于或等于零等.(2)遵循對數(shù)函數(shù)自身的要求:一是真數(shù)大于零;二是底數(shù)大于零且不等于1;三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性,有針對性地解不等式.探究四對數(shù)函數(shù)的圖象例4函數(shù)y=log2x,y=log5x,y=lgx的圖象如圖所示.(1)指出三個函數(shù)分別對應(yīng)于哪個圖象,并說明理由;(3)從(2)的圖中你發(fā)現(xiàn)了什么?解(1)①對應(yīng)函數(shù)y=lgx,②對應(yīng)函數(shù)y=log5x,③對應(yīng)函數(shù)y=log2x.這是因?yàn)楫?dāng)?shù)讛?shù)全大于1時,在x=1的右側(cè),底數(shù)越大的函數(shù)圖象越靠近x軸.反思感悟?qū)?shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律(1)對于幾個底數(shù)都大于1的對數(shù)函數(shù),底數(shù)越大,函數(shù)圖象向右的方向越接近x軸;對于幾個底數(shù)都大于0且小于1的對數(shù)函數(shù),底數(shù)越大,函數(shù)圖象向右的方向越遠(yuǎn)離x軸.以上規(guī)律可總結(jié)成x>1時“底大圖低”.實(shí)際上,作出直線y=1,它與各圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即各函數(shù)的底數(shù),如圖所示.(2)牢記特殊點(diǎn):對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)
變式訓(xùn)練3作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)區(qū)間.解先畫出函數(shù)y=lgx的圖象(如圖①).再將該函數(shù)圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖②).最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對稱翻折到x軸上方(原來在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖③).由圖易知函數(shù)的定義域?yàn)樵趨^(qū)間(1,+∞),值域?yàn)閇0,+∞),函數(shù)在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增.探究五利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小例5比較下列各組中兩個值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).分析(1)構(gòu)造函數(shù)f(x)=log3x,利用其單調(diào)性比較大小;(2)分別比較兩個對數(shù)與0的大小;(3)分類討論底數(shù)a的取值范圍,再利用單調(diào)性比較大小.解(1)(單調(diào)性法)因?yàn)閒(x)=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.(2)(中間量法)因?yàn)閘og23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)(分類討論法)當(dāng)a>1時,函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<loga3.141.綜上所述,當(dāng)a>1時,logaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時,logaπ<loga3.141.反思感悟比較兩個對數(shù)式大小的常用方法(1)底數(shù)相同真數(shù)不同時,用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;(2)底數(shù)不同真數(shù)相同時,用對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)的關(guān)系來比較,也可用換底公式轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的函數(shù);(3)底數(shù)和真數(shù)都不同,則尋求中間值作媒介進(jìn)行比較;(4)對于有多個數(shù)值的大小比較,則應(yīng)先根據(jù)每個數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,以及它們與“0”和“1”的大小情況進(jìn)行分組,再比較各組內(nèi)的數(shù)值的大小即可.對于含有參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較,要注意對底數(shù)是否大于1進(jìn)行分類討論,不過對于這一類的大小比較問題,并不是底數(shù)為參數(shù)時,就一定要討論,而應(yīng)遵循的原則是盡量回避或推遲討論.變式訓(xùn)練4(2020全國3,文10)設(shè)a=log32,b=log53,c=,則(
)A.a<c<b B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b答案A素養(yǎng)形成互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系我們知道,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖象有什么關(guān)系呢?下面,請你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和計算工具,探索幾個問題,親自發(fā)現(xiàn)其中的奧秘吧!(1)在同一直角坐標(biāo)系中,畫出指數(shù)函數(shù)y=2x及其反函數(shù)y=log2x的圖象.你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的圖象有什么對稱關(guān)系嗎?(2)取y=2x圖象上的幾個點(diǎn),如P1,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?它們在y=log2x的圖象上嗎?為什么?(3)如果點(diǎn)P0(x0,y0)在函數(shù)y=2x的圖象上,那么P0關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)在函數(shù)y=log2x的圖象上嗎?為什么?(4)根據(jù)上述探究過程,你可以得到什么結(jié)論?(5)上述結(jié)論對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)及其反函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)也成立嗎?為什么?答案(1)y=2x與y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱.(3)設(shè)P0(x0,y0)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為P0'(y0,x0),P0'在y=log2x的圖象上.因?yàn)橛蒔0(x0,y0)在y=2x的圖象上可得y0=,從而x0=log2y0,所以P0'(y0,x0)在y=log2x的圖象上.(4)y=2x與y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱.當(dāng)堂檢測1.函數(shù)f(x)=+lg(x+1)的定義域?yàn)?
)A.[-1,3) B.(-1,3)C.(-1,3] D.[-1,3]答案C2.函數(shù)
在區(qū)間[1,2]上的值域是(
)A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]答案A3.(2021江蘇鹽城高一期末)設(shè)a與b均為實(shí)數(shù),a>0,且a≠1,已知函數(shù)y=loga(x+b)的圖象如圖所示,則a+2b的值為(
)A.6 B.8 C.10 D.12解析令f(x)=y=loga(x+b),由圖可知,f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,答案C4.若函數(shù)f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是
.
解析令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的圖象恒過定點(diǎn)(2,2).答案(2,2)5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,則a,b,c的大小關(guān)系為
.
解析因?yàn)閒(x)=log0.2x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,即1>a>0>c.同理log26>log22=1,所以b>a>c.答案b>a>c6.已知函數(shù)f(x)=log3x.(1)作出這個函數(shù)的圖象;(2)若f(a)<f(2),利用圖象求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)作出函數(shù)y=log3x的圖象如圖所示.(2)由圖象知,函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)0<a<2時,恒有f(a)<f(2),故所求a的取值范圍為(0,2).高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊第2課時習(xí)題課對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用第四章對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)4.3.3對數(shù)函數(shù)y=logax的圖像和性質(zhì)探究一解對數(shù)不等式例1(1)滿足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合為
.
反思感悟?qū)?shù)不等式的三種考查類型及求解方法(1)形如logax>logab的不等式,借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.(2)形如logax>b的不等式,應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)的形式,再借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用換底公式化為同底的對數(shù)進(jìn)行求解或利用圖象求解.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)為減函數(shù),則不等
的解集為
.
探究二對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題例2(1)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-1)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.反思感悟?qū)?shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解方法及注意問題(1)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類:一類是外層函數(shù)為對數(shù)函數(shù),即y=logaf(x);另一類是內(nèi)層函數(shù)為對數(shù)函數(shù),即y=f(logax).①對于y=logaf(x)型的函數(shù)的單調(diào)性,有以下結(jié)論:函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)u=f(x)(f(x)>0)的單調(diào)性在a>1時相同,在0<a<1時相反.②研究y=f(logax)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,一般用換元法,即令t=logax,則只需研究t=logax及y=f(t)的單調(diào)性即可.(2)研究對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,一定要注意先研究函數(shù)的定義域,也就是要堅持“定義域優(yōu)先”的原則.探究三對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題例3已知函數(shù)f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).(1)求函數(shù)y=f(x)-g(x)的定義域;(2)判斷函數(shù)y=f(x)-g(x)的奇偶性.解(1)由于f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),反思感悟?qū)?shù)型復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷方法對數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù),但與某些函數(shù)復(fù)合后,就具有奇偶性了,如y=log2|x|就是偶函數(shù).證明這類函數(shù)奇偶性的方法是利用函數(shù)奇偶性的定義,并結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).答案1探究四與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域與最值問題例4求下列函數(shù)的值域:(1)y=log2(x2+4);解(1)y=log2(x2+4)的定義域?yàn)镽.∵x2+4≥4,∴l(xiāng)og2(x2+4)≥log24=2.∴y=log2(x2+4)的值域?yàn)閇2,+∞).(2)設(shè)u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,又u>0,∴0<u≤9.反思感悟與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域與最值問題的處理方法(1)求解最值問題,一定要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的二次函數(shù)的最大值、最小值問題,一般要轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題,求二次函數(shù)的最值時常用配方法,配方時注意自變量的取值范圍.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的復(fù)合函數(shù)值域的步驟:①分解成兩個函數(shù)y=logau,u=f(x);②求f(x)的定義域;③求u的取值范圍;④利用單調(diào)性求解y=logau(a>0,且a≠1)的值域.變式訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值時x的值.解∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,9],∴0≤log3x≤1,∴6≤(log3x+3)2-3≤13,∴當(dāng)x=3時,函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.素養(yǎng)形成與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象變換問題
答案(-∞,-2)反思感悟函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象
y=loga(x+b)(a>0,且a≠1)
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