等比數(shù)列的前n項和 高中數(shù)學北師大版選擇性必修第二冊

第一章

數(shù)列3等比數(shù)列高中數(shù)學北師大版選擇性必修第二冊1.3.2等比數(shù)列的前n項和第一課時[教材要點]要點一等比數(shù)列的前n項和公式

na1

SnS2n－SnS3n－S2nq

×√√×2．已知等比數(shù)列{an}的首項a1＝3，公比q＝2，則S5等于(

)A．93

B．－93C．45

D．－45答案：A

3．在等比數(shù)列{an}中，S2＝7，S6＝91，則S4等于(

)A．28

B．32C．35

D．49答案：A解析：由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)得S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4),即(S4－7)2＝7×(91－S4)，解得S4＝28(舍去負值).故選A.4．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點了381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是________．192

方法歸納(1)在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個量，通過列方程組，就能求出另外兩個量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應用．(2)在解決與前n項和有關(guān)的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．

題型二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應用例2

(1)各項都是正實數(shù)的等比數(shù)列{an}，前n項的和記為Sn，若S10＝10，S30＝70，則S40等于(

)A．150

B．－200C．150或－200D．400或－50答案：A

(2)等比數(shù)列{an}中，公比q＝3，S80＝32，則a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________．24

方法歸納運用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題大大減少了運算量．跟蹤訓練2

(1)在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，則S3n＝________．63

(2)一個等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，則此數(shù)列的公比和項數(shù)分別為_______，_______．28

題型三等比數(shù)列前n項和公式的實際應用例3水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題．已知西部某地區(qū)有耕地3000萬畝需要退耕還林，國家確定2000年在該地區(qū)退耕還林的土地面積為300萬畝，以后每年退耕還林的土地面積比上一年遞增20%，那么從2000年起，到哪一年該地區(qū)基本解決退耕還林問題？(log1.23＝6)．

方法歸納解數(shù)列應用題的具體方法步驟：(1)認真審題，準確理解題意，達到如下要求：①明確問題屬于哪類應用問題，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題？是求an，還是求Sn？特別要注意準確弄清參數(shù)是多少．②弄清題目中主要的已知事項．(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學知識和數(shù)學方法，恰當引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學式子表達．(3)將實際問題抽象為數(shù)學問題，將已知與所求聯(lián)系起來，列出滿足題意的數(shù)學關(guān)系式．跟蹤訓練3一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎？

易錯辨析忽略對公比q的討論致誤例4已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________．2或8

【易錯警示】出錯原因糾錯心得解答有關(guān)等比數(shù)列求和問題時，應考慮公比q的兩種情況q＝1或q≠1，否則容易出錯．[課堂十分鐘]1．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，則a1＝(

)A．4

B．－4C．2

D．－2答案：A

答案：C

答案：C

4．等比數(shù)列{an}中，前5項和S5＝10，前10項和S10＝50，則它的前15項和S15＝________．210解析：由等比數(shù)列性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，又S5＝10，S10－S5＝40，所以S15－S10＝160，所以S15＝S5＋(S10－S5)＋(S15－S10)＝210.5．設等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an，Sn.

第一章

數(shù)列3等比數(shù)列高中數(shù)學北師大版選擇性必修第二冊1.3.2等比數(shù)列的前n項和第二課時題型一等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征例1已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且有1－q＝3a1，求{an}的前n項和．

方法歸納求等比數(shù)列前n項和時，若公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；若不等于1，它的前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后用函數(shù)性質(zhì)求解．跟蹤訓練1已知等比數(shù)列的前n項和Sn＝4n＋a，則a＝(

)A．－4

B．－1C．0

D．1答案：D

題型二等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算例2記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，求Sn.

方法歸納在等差數(shù)列{an}中，通常把首項a1和公差d作為基本量，在等比數(shù)列{bn}中，通常把首項b1和公比q作為基本量，列關(guān)于基本量的方程(組)是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的常用方法．

題型三等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合例3在公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.(1)求d，q的值；(2)是否存在常數(shù)a，b，使得對于一切自然數(shù)n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

方法歸納(1)通過等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，建立方程組，求出d，q，運用了方程的思想．(2)對于存在性問題的解題規(guī)律是首先假設存在性成立，然后從其出發(fā)進行推理論證，若找到符合題設存在的條件，則存在性成立，若出現(xiàn)矛盾，則存在性不成立．跟蹤訓練3在①q·d＝1，②a2＋b3＝0，③S2＝T2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的λ存在，求出λ的取值范圍；若不存在，說明理由．若Sn是公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和，Tn是公比為q的等比數(shù)列{bn}的前n項和，________，a1＝1，S5＝25，a2＝b2，是否存在正數(shù)λ，使得λ|Tn|<12?

答案：B

2．公差不為零的等差數(shù)列{an}的第二、第三、第六項構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為(

)A．1

B．2C．3

D．4答案：C

3．設{an}是公比為q的等比