復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)理論

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)理論精品PPT·值得借鑒第一頁(yè)，共三十三頁(yè)。網(wǎng)絡(luò)科學(xué)理論發(fā)展的三個(gè)時(shí)期規(guī)則網(wǎng)絡(luò)理論階段隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)理論階段復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論階段精品PPT·值得借鑒第二頁(yè)，共三十三頁(yè)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的概念復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的概念和特性精品PPT·值得借鑒第三頁(yè)，共三十三頁(yè)。1.系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)2.復(fù)雜性3.復(fù)雜系統(tǒng)4.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的概念精品PPT·值得借鑒第四頁(yè)，共三十三頁(yè)。復(fù)雜性小世界特性無標(biāo)度特性超家族特性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性IP地址網(wǎng)朋友關(guān)系網(wǎng)精品PPT·值得借鑒第五頁(yè)，共三十三頁(yè)。概率論基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)假設(shè)及檢驗(yàn)一元線性回歸分析數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)精品PPT·值得借鑒第六頁(yè)，共三十三頁(yè)。圖的基本概念圖的路和連通性圖的基本運(yùn)算樹與生成樹圖的矩陣表示圖論的基本概念精品PPT·值得借鑒第七頁(yè)，共三十三頁(yè)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究?jī)?nèi)容和意義研究的主要內(nèi)容包括：網(wǎng)絡(luò)的幾何性質(zhì)，網(wǎng)絡(luò)的形成機(jī)制，網(wǎng)絡(luò)演化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，網(wǎng)絡(luò)上的模型性質(zhì)，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，網(wǎng)絡(luò)的演化動(dòng)力學(xué)機(jī)制等。主要研究工作包括以下幾個(gè)方面：1.網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)2.網(wǎng)絡(luò)宏觀性質(zhì)的微觀生成機(jī)制（網(wǎng)絡(luò)建模）3.網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)行為和網(wǎng)絡(luò)本身的動(dòng)力學(xué)行為4.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用5.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的挑戰(zhàn)性問題精品PPT·值得借鑒第八頁(yè)，共三十三頁(yè)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究意義以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的形式來研究復(fù)雜系統(tǒng)，可以加深人們對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的深入了解。利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究成果，也可以更加深刻的認(rèn)識(shí)自然界和社會(huì)上的復(fù)雜性，對(duì)于我們認(rèn)識(shí)自然界和社會(huì)上的各種現(xiàn)象和事件有著重要意義。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究為我們提供了一種復(fù)雜性研究的新視角、新方法，并且提供了一種比較的視野，使得我們可以對(duì)各種真實(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較、研究和綜合概括。因此，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究無論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用中都有著重要意義。精品PPT·值得借鑒第九頁(yè)，共三十三頁(yè)。第二章網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與靜態(tài)特征

靜態(tài)特征指給定網(wǎng)絡(luò)的微觀量的統(tǒng)計(jì)分布或宏觀統(tǒng)計(jì)平均值。在本章中我們將對(duì)網(wǎng)絡(luò)的各種靜態(tài)特征做一小結(jié)。由于有向網(wǎng)絡(luò)與加權(quán)網(wǎng)絡(luò)有其特有的特征量，我們將分開討論無向、有向與加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。精品PPT·值得借鑒第十頁(yè)，共三十三頁(yè)。網(wǎng)絡(luò)的基本靜態(tài)幾何特征平均距離集聚系數(shù)度分布實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征精品PPT·值得借鑒第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)。平均距離（特征路徑長(zhǎng)度）L定義為所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間距離的平均值，它描述了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的平均分離程度，即網(wǎng)絡(luò)有多小，計(jì)算公式為對(duì)于無向簡(jiǎn)單圖來說，dij＝dji且dii＝0，則上式可簡(jiǎn)化為精品PPT·值得借鑒第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)。集聚系數(shù)對(duì)于無向網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)Vi集聚系數(shù)定義為C=2Mi／［ki（ki－1）］

對(duì)于有向網(wǎng)絡(luò)來說集聚系數(shù)為C=Mi／［ki（ki－1）］

根據(jù)鄰接矩陣求集聚系數(shù)公式為：精品PPT·值得借鑒第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)。度分布大多數(shù)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)的度是滿足一定的概率分布的。定義P（k）為網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點(diǎn)在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中所占的比率。

規(guī)則網(wǎng)絡(luò)：由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有相同的度，所以其度分布集中

在一個(gè)單一尖峰上，是一種Delta分布。完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)：度分布具有Poisson分布的形式，每一條

邊的出現(xiàn)概率是相等的，大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的度是基本相同的。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：具有冪指數(shù)形式的度分布：P（k）∝k?γ。指數(shù)度分布網(wǎng)絡(luò)：P（k）∝e?k/к，式中к＞0為一常數(shù)。精品PPT·值得借鑒第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)。累積度分布

若度分布為冪律分布，即P（k）∝k?γ，則相應(yīng)的累積度分布函數(shù)符合冪指數(shù)為γ－1的冪律分布

若度分布為指數(shù)分布，即P（k）∝e?k/к，則相應(yīng)的累積度分布函數(shù)符合同指數(shù)的指數(shù)分布

精品PPT·值得借鑒第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)。實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征精品PPT·值得借鑒第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)。無向網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)特征聯(lián)合度分布

聯(lián)合度分布定義為從無向網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一條邊，該邊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的度值分別為k1和k2的概率，即度度相關(guān)性

度－度相關(guān)性描述了網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)和度小的節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。若度大的節(jié)點(diǎn)傾向于和度大的節(jié)點(diǎn)連接，則網(wǎng)絡(luò)是度－度正相關(guān)的；反之，若度大的節(jié)點(diǎn)傾向于和度小的節(jié)點(diǎn)連接，則網(wǎng)絡(luò)是度－度負(fù)相關(guān)的。

精品PPT·值得借鑒第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)。集聚系數(shù)分布和聚－度相關(guān)性集聚系數(shù)分布

集聚系數(shù)分布函數(shù)P（C）表示從網(wǎng)絡(luò)中任選一節(jié)點(diǎn)，其集

聚系數(shù)值為C的概率式中，δ（x）為單位沖激函數(shù)。聚－度相關(guān)性

局部集聚系數(shù)C（k）定義為度為k的節(jié)點(diǎn)的鄰居之間存在的平均邊數(shù)＜Mnn（k）＞與這些鄰居之間存在的最大可能的邊數(shù)的比值，即

局部集聚系數(shù)C（k）與k的關(guān)系刻畫了網(wǎng)絡(luò)的聚－度相關(guān)性精品PPT·值得借鑒第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)。介數(shù)和核度

介數(shù)分為節(jié)點(diǎn)介數(shù)和邊介數(shù)兩種，反映了節(jié)點(diǎn)或邊在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的作用和影響力。節(jié)點(diǎn)的介數(shù)Bi定義為

邊的介數(shù)Bij定義為精品PPT·值得借鑒第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)。

介－度相關(guān)性可以用B（k）～k表示，它定義為所有度為

k的節(jié)點(diǎn)的介數(shù)平均值隨著k的變化關(guān)系。

節(jié)點(diǎn)介數(shù)分布Pv（B）定義為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)介數(shù)為B的節(jié)點(diǎn)數(shù)占網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比例。

邊介數(shù)分布Pe（B）定義為網(wǎng)絡(luò)中邊介數(shù)為B的邊數(shù)占網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)的比例。核度

一個(gè)圖的k－核是指反復(fù)去掉度值小于k的節(jié)點(diǎn)及其連線后，所剩余的子圖，該子圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)就是該核的大小。

節(jié)點(diǎn)核度的最大值叫做網(wǎng)絡(luò)的核度。

節(jié)點(diǎn)的核度可以說明節(jié)點(diǎn)在核中的深度，核度的最大值自然就對(duì)應(yīng)著網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中最中心的位置。精品PPT·值得借鑒第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)。度中心性度中心性分為節(jié)點(diǎn)度中心性和網(wǎng)絡(luò)度中心性。節(jié)點(diǎn)vi的度中心性CD（vi）定義為網(wǎng)絡(luò)G的度中心性CD定義為精品PPT·值得借鑒第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)。介數(shù)中心性介數(shù)中心性分為節(jié)點(diǎn)介數(shù)中心性和網(wǎng)絡(luò)介數(shù)中心性。節(jié)點(diǎn)vi的介數(shù)中心性CB（vi）定義為網(wǎng)絡(luò)G的介數(shù)中心性CB可簡(jiǎn)化為精品PPT·值得借鑒第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)。網(wǎng)絡(luò)密度

網(wǎng)絡(luò)密度指的是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)之間聯(lián)絡(luò)的緊密程度。網(wǎng)絡(luò)G的網(wǎng)絡(luò)密度d（G）定義為連通集團(tuán)（子圖）及其規(guī)模分布

連通集團(tuán)（子圖）就是指網(wǎng)絡(luò)G中的一個(gè)子圖，在這個(gè)子圖內(nèi)，任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都至少存在一條簡(jiǎn)單路徑。

把網(wǎng)絡(luò)的各連通分支中階數(shù)最大的一個(gè)稱為最大連通分支

連通圖G的連通程度通常叫做連通度。點(diǎn)連通度定義為精品PPT·值得借鑒第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)。邊連通度定義為

連通集團(tuán)的規(guī)模分布反映了網(wǎng)絡(luò)G中的各種規(guī)模的連通分支的數(shù)目分布情況。實(shí)證研究表明，對(duì)于大量的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，連通集團(tuán)的規(guī)模也存在冪律分布。例如，科學(xué)家合作網(wǎng)的連通子圖規(guī)模分布。精品PPT·值得借鑒第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)。PPT內(nèi)容概述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)理論。精品PPT·值得借鑒。2.網(wǎng)絡(luò)宏觀性質(zhì)的微觀生成機(jī)制（網(wǎng)絡(luò)建模）。以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的形式來研究復(fù)雜系統(tǒng)，可以加深人們對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的深入了解。靜態(tài)特征指給定網(wǎng)絡(luò)的微觀量的統(tǒng)計(jì)分布或宏觀統(tǒng)計(jì)平均值。C=Mi／［ki（ki－1）］。大多數(shù)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)的度是滿足一定的概率分布的。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：具有冪指數(shù)形式的度分布：P（k）∝k?γ。指數(shù)度分布網(wǎng)絡(luò)：P（k）∝e?k/к，式中к＞0為一常數(shù)。節(jié)點(diǎn)核度的最大值叫做網(wǎng)絡(luò)的核度。節(jié)點(diǎn)vi的度中心性CD（vi）定義為。節(jié)點(diǎn)vi的介數(shù)中心性CB（vi）定義為。網(wǎng)絡(luò)G的網(wǎng)絡(luò)密度d（G）定義為。連通集團(tuán)（子圖）就是指網(wǎng)絡(luò)G中的一個(gè)子圖，在這個(gè)子圖內(nèi)，任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都至少存在一條簡(jiǎn)單路徑。把網(wǎng)絡(luò)的各連通分支中階數(shù)最大的一個(gè)稱為最大連通分支。連通圖G的連通程度通常叫做連通度。平均入度＜kin＞和平均出度＜kout＞為。介數(shù)是用來衡量通過網(wǎng)絡(luò)中某節(jié)點(diǎn)或某條邊的最短路徑的數(shù)目第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)。有向網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)特征入度分布和出度分布

平均入度＜kin＞和平均出度＜kout＞為

入度分布和出度分布分別記為Pin（k）和Pout（k），分別表示網(wǎng)絡(luò)中任意取出一個(gè)節(jié)點(diǎn)，其入度值和出度值剛好為k的概率。

入（出）度分布與平均入（出）度之間具有如下關(guān)系式精品PPT·值得借鑒第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)。累積入度分布和累積出度分布聯(lián)合度分布基于弧的方式：基于節(jié)點(diǎn)的方式精品PPT·值得借鑒第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)。平均距離和效率平均距離和效率

由于有向網(wǎng)絡(luò)里的弧是帶有方向的，所以從節(jié)點(diǎn)vi到vj之間的距離dij和從節(jié)點(diǎn)vj到vi之間的距離dji是不同的。距離dij定義為從節(jié)點(diǎn)vi出發(fā)沿著同一方向到達(dá)節(jié)點(diǎn)vj所要經(jīng)歷的弧的最少數(shù)目，而它的倒數(shù)1／dij稱為從節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj的效率，記為εij。

有向連通簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)的平均距離L

因?yàn)樾士梢杂脕砻枋龇沁B通網(wǎng)絡(luò)，所以可以定義有向網(wǎng)絡(luò)的效率LC為精品PPT·值得借鑒第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)。介數(shù)

節(jié)點(diǎn)的介數(shù)Bi定義為

式中，Njl表示從節(jié)點(diǎn)vj到vl的最短路徑條數(shù)，Njl（i）表示從節(jié)點(diǎn)vj到vl的最短路徑經(jīng)過節(jié)點(diǎn)vi的條數(shù)。

邊的介數(shù)Bij定義為

式中，Nlm表示從節(jié)點(diǎn)vl到vm的最短路徑條數(shù)，Nlm（eij）表示從節(jié)點(diǎn)vl到vm的最短路徑經(jīng)過邊eij（方向相同）的條數(shù)。介數(shù)精品PPT·值得借鑒第二十九頁(yè)，共三十三頁(yè)。加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)特征點(diǎn)權(quán)

節(jié)點(diǎn)vi的點(diǎn)權(quán)Si定義為

對(duì)于無向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，點(diǎn)權(quán)Si還可以用鄰接矩陣元素表示為

對(duì)于有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)可以定義入權(quán)和出權(quán)單位權(quán)精品PPT·值得借鑒第三十頁(yè)，共三十三頁(yè)。介數(shù)分布和漏斗效應(yīng)

介數(shù)是用來衡量通過網(wǎng)絡(luò)中某節(jié)點(diǎn)或某條邊的最短路徑的數(shù)目。在科學(xué)家網(wǎng)絡(luò)