北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)從重點(diǎn)到壓軸專題3.2數(shù)字變化類規(guī)律問(wèn)題(壓軸題專項(xiàng)講練)(原卷版+解析)

專題3.2數(shù)字變化類規(guī)律問(wèn)題【典例1】觀察下列等式：第一個(gè)等式：x1=a1×4=a3(1?14)；第二個(gè)等式：x2=a4×7=a3(14?17)；第三個(gè)等式：x3=a7×10=a3(17?1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的等式的形式，不難總結(jié)出第n個(gè)等式為：a(3n?2)×(3n+1)【解題過(guò)程】解：∵第一個(gè)等式：x1第二個(gè)等式：x2第三個(gè)等式：x3第四個(gè)等式：x4...，∴第五個(gè)等式為：x5=a第n個(gè)等式為：xn=a∴x1+x2+x3+???+x2022=a3（1?1=a=a=2022a∵a＝6067，∴原式=＝2022．故答案為：x5=a13×16=1．（2022春?昭通期末）觀察下列一組數(shù)：?32，54，?76A．?20222021 B．20242023 C．?2．（2022春?麒麟?yún)^(qū)期末）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為16，112，A．119 B．1110 C．1903．（2022?牡丹江）觀察下列數(shù)據(jù)：12，?25，310，A．12143 B．?12143 C．124．（2022?文山市模擬）一組按規(guī)律排列的單項(xiàng)式：﹣4x，7x2，﹣10x3，13x4，﹣16x5，…，根據(jù)其中的規(guī)律，第12個(gè)單項(xiàng)式是（）A．﹣31x12 B．34x12 C．37x12 D．﹣40x115．（2022春?慶云縣期末）一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2=11?a1，a3=11?a2，…，an=11?an?1，則A．1009 B．32 C．201926．（2022春?惠城區(qū)期末）填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（）A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，1617．（2022?太平區(qū)一模）小時(shí)候，我們就用手指練習(xí)過(guò)數(shù)數(shù)，一個(gè)小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，數(shù)到2022時(shí)對(duì)應(yīng)的指頭是（）A．無(wú)名指 B．食指 C．中指 D．大拇指8．（2022?公安縣模擬）現(xiàn)有一列數(shù)a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a1＝2022，a2＝﹣2020，a7＝2018，a96＝﹣2016，且滿足任意相鄰四個(gè)數(shù)的和為同一個(gè)常數(shù)，則a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值為（）A．﹣2020 B．100 C．2018 D．20229．（2022春?兩江新區(qū)期末）對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)x1可以按規(guī)則生成無(wú)窮數(shù)串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n為正整數(shù)），規(guī)則為：xn+1=1下列說(shuō)法：①若x1＝4，則生成的這數(shù)串中必有xi＝xi+3（i為正整數(shù)）；②若x1＝6，生成的前2022個(gè)數(shù)之和為55；③若生成的數(shù)中有一個(gè)xi+1＝16，則它的前一個(gè)數(shù)xi應(yīng)為32；④若x4＝7，則x1的值只能是9．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2022?麥積區(qū)模擬）觀察下列等式：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，則1+3+5+7+…+2021＝．11．（2022?藍(lán)田縣二模）有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，若開(kāi)始輸入x的值是1，可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，……，請(qǐng)你探索第2021次輸出的結(jié)果是．12．（2022?富川縣三模）觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，則3+32+33+34+…+32022+1的末位數(shù)字是．13．（2022春?和平縣期末）為了求1+2+22+23+……+299的值，可令S＝1+2+22+23+……+299，則2S＝2+22+23+……+299+2100，因此，2S﹣S＝2100﹣1，所以S＝2100﹣1．即1+2+22+23+……+299的值為2100﹣1．仿照以上推理計(jì)算：1+3+32+33+……+399的值為．14．（2022?恩施州）觀察下列一組數(shù)：2，12，27，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)記為an，且滿足1an+1an+2=2a15．（2022春?綏棱縣期末）下列式子：32+42＝52，82+62＝102，152+82＝172，242+102＝262…．請(qǐng)你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第五個(gè)等式．16．（2022春?市北區(qū)期末）也許你認(rèn)為數(shù)字運(yùn)算是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)而又枯燥的內(nèi)容，但實(shí)際上，它里面也蘊(yùn)藏著許多不為人知的奧妙，下面就讓我們來(lái)做一個(gè)數(shù)字游戲：第一步：取一個(gè)自然數(shù)n1＝3，計(jì)算n12+2得a1；第二步：計(jì)算出a1的各位數(shù)字之和得n2，再計(jì)算n22+2得a2；第三步：計(jì)算出a2的各位數(shù)字之和得n3，再計(jì)算n32+2得a3；……依此類推，則a2020＝．17．（2022?興慶區(qū)校級(jí)二模）用符號(hào)f（x）表示關(guān)于自然數(shù)x的代數(shù)式，我們規(guī)定：當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f（x）=x2；當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）=82=4．設(shè)x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），?，xn＝f（xn﹣1）．以此規(guī)律，得到一列數(shù)x1、x2、x3，?，x2022，則這2022個(gè)數(shù)之和x1+x2+x3+?+x2021+18．（2022?隴西縣二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：21×（2?1第2個(gè)等式：33×（2?1第3個(gè)等式：45×（2?1第4個(gè)等式：57×（2?1第2021個(gè)等式：．19．（2022春?廣陵區(qū)期中）如果記y=x21+x2=f（x），并且f（1）表示當(dāng)x＝1時(shí)y的值，且f（1）=121+12=12；f(20．（2022春?南京期中）（1）閱讀并填空：22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，…2n+1﹣2n＝＝（n為正整數(shù)）．（2）計(jì)算：①2100﹣299＝；②210+210﹣211＝．（3）計(jì)算：21+22+…+21000．21．（2022春?成武縣期末）著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探索問(wèn)題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請(qǐng)先觀察下列等式找出規(guī)律，并解答問(wèn)題．①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；（1）等式⑤是．（2）應(yīng)用規(guī)律探究：63+73+83+93+103的值．22．（2021秋?廣饒縣期末）請(qǐng)先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問(wèn)題．因?yàn)椋?1×2=1?12，12×3所以：11×2+12×3+13×4+?+19×10=（1?12化簡(jiǎn)下列各式并求值：（1）11×2（2）11×323．（2022?淮北一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1第2個(gè)等式：a2第3個(gè)等式：a3…請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5＝＝．（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an＝＝．（n為正整數(shù)）（3）求a1+a2+a3+……+a2022的值．24．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：把無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，可以按如下方法進(jìn)行：以0.3?為例，設(shè)0.3?由0.3?=0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3+x，解得x=1（1）請(qǐng)把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.7?化為分?jǐn)?shù)是（2）請(qǐng)把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.7?（3）將0.2?16?與0.5?25．（2022春?萊蕪區(qū)月考）如圖，從左到右，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．9&#x﹣62…（1）可求得x＝，第2009個(gè)格子中的數(shù)為；（2）判斷：前m個(gè)格子中所填整數(shù)之和是否可能為2018？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如果a，b為前三個(gè)格子中的任意兩個(gè)數(shù)，那么所有的|a﹣b|的和可以通過(guò)計(jì)算|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b為前19個(gè)格子中的任意兩個(gè)數(shù)，則所有的|a﹣b|的和為．26．（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7…按圖①中的方式排成一個(gè)數(shù)表，用一個(gè)十字框框住5個(gè)數(shù)，這樣框出的任意5個(gè)數(shù)（如圖②）分別用a，b，c，d，x表示．（1）若x＝17，則a+b+c+d＝；（2）用含x的式子分別表示數(shù)a，b，c，d；（3）直接寫(xiě)出a，b，c，d，x這5個(gè)數(shù)之間的一個(gè)等量關(guān)系：；（4）設(shè)M＝a+b+c+d+x，判斷M的值能否等于2020，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．（2021秋?公安縣期末）把正整數(shù)1，2，3，4，…，排列成如圖1所示的一個(gè)表，從上到下分別稱為第1行、第2行、第3行……，從左到右分別稱為第1列、第2列、第3列……．用圖2所示的方框在圖1中框住16個(gè)數(shù)，把其中沒(méi)有被陰影覆蓋的四個(gè)數(shù)分別記為a，b，c，d．設(shè)a＝x．（1）在圖1中，數(shù)2022排在第幾行第幾列？（2）若a+2b+3c＝387，求出d所表示的數(shù)；（3）將圖1中的奇數(shù)都改為原數(shù)的相反數(shù)，偶數(shù)不變，此時(shí)a﹣b﹣c+d的值能否為2700？如果能，請(qǐng)求出a所表示的數(shù)，并求出a在圖1中排在第幾行第幾列；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．（2021秋?長(zhǎng)春期末）如圖，在表一中，將第1行第3列的數(shù)記為[1，3]，則[1，3]＝3，將第3行第2列的數(shù)記為[3，2]，則[3，2]＝6；按照要求回答下列各題：（1）在表一中，[3，5]＝，[8，10]＝；（2）在表一中，第3行第n+1列的數(shù)可以記為[3，n+1]＝；（3）如圖，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．專題3.2數(shù)字變化類規(guī)律問(wèn)題【典例1】觀察下列等式：第一個(gè)等式：x1=a1×4=a3(1?14)；第二個(gè)等式：x2=a4×7=a3(14?17)；第三個(gè)等式：x3=a7×10=a3(17?1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的等式的形式，不難總結(jié)出第n個(gè)等式為：a(3n?2)×(3n+1)【解題過(guò)程】解：∵第一個(gè)等式：x1第二個(gè)等式：x2第三個(gè)等式：x3第四個(gè)等式：x4...，∴第五個(gè)等式為：x5=a第n個(gè)等式為：xn=a∴x1+x2+x3+???+x2022=a3（1?1=a=a=2022a∵a＝6067，∴原式=＝2022．故答案為：x5=a13×16=1．（2022春?昭通期末）觀察下列一組數(shù)：?32，54，?76A．?20222021 B．20242023 C．?【思路點(diǎn)撥】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，分子是2n+1，分母是2n，并且負(fù)正數(shù)交替出現(xiàn)，由此可得規(guī)律為(?1)【解題過(guò)程】解：∵?32=（﹣1）54=（﹣1）2?76=（﹣1）…，∴第n個(gè)數(shù)為：(?1)∴第2022個(gè)數(shù)為：(?1)故選：D．2．（2022春?麒麟?yún)^(qū)期末）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為16，112，A．119 B．1110 C．190【思路點(diǎn)撥】不難看出，其分子都是1，分母可拆分為6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，……據(jù)此可得第n個(gè)數(shù)，從而可求第9個(gè)數(shù)．【解題過(guò)程】解：∵16112120……∴第n個(gè)數(shù)為：1(n+1)(n+2)∴第9個(gè)數(shù)為：110×11故選：B．3．（2022?牡丹江）觀察下列數(shù)據(jù)：12，?25，310，A．12143 B．?12143 C．12【思路點(diǎn)撥】根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可以推算出第n個(gè)數(shù)是nn2+1×（﹣1）n【解題過(guò)程】解：根據(jù)給出的數(shù)據(jù)特點(diǎn)可知第n個(gè)數(shù)是nn2+1×∴第12個(gè)數(shù)就是12122+1故選：D．4．（2022?文山市模擬）一組按規(guī)律排列的單項(xiàng)式：﹣4x，7x2，﹣10x3，13x4，﹣16x5，…，根據(jù)其中的規(guī)律，第12個(gè)單項(xiàng)式是（）A．﹣31x12 B．34x12 C．37x12 D．﹣40x11【思路點(diǎn)撥】根據(jù)給出單項(xiàng)式的規(guī)律即可求出答案．【解題過(guò)程】解：根據(jù)前幾項(xiàng)可以得出規(guī)律，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，第n項(xiàng)的數(shù)為（﹣1）n×（1+3n）xn，∴第12個(gè)單項(xiàng)式是（﹣1）12×（1+3×12）×x12＝37x12，故選：C．5．（2022春?慶云縣期末）一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2=11?a1，a3=11?a2，…，an=11?an?1，則A．1009 B．32 C．20192【思路點(diǎn)撥】分別求出a2，a3，a4，再觀察其規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律求解即可．【解題過(guò)程】解：∵a1＝﹣1，∴a2=1a3=1a4=1…，∴這列數(shù)以﹣1，12，2不斷循環(huán)出現(xiàn)，且﹣1+12∵2021÷3＝673……2，∴a1+a2+a3+…+a2021=32×=2019＝1009．故選：A．6．（2022春?惠城區(qū)期末）填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（）A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161【思路點(diǎn)撥】第二行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律是2n+2，第一行第二個(gè)數(shù)的規(guī)律是2n，第二行第二個(gè)數(shù)是的規(guī)律是b＝ac+1，由此求解即可．【解題過(guò)程】解：第二行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律是2n+2，∴a＝10，第一行第二個(gè)數(shù)的規(guī)律是2n，∴c＝16，第二行第二個(gè)數(shù)是的規(guī)律是b＝ac+1，∴b＝160+1＝161，故選：D．7．（2022?太平區(qū)一模）小時(shí)候，我們就用手指練習(xí)過(guò)數(shù)數(shù)，一個(gè)小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，數(shù)到2022時(shí)對(duì)應(yīng)的指頭是（）A．無(wú)名指 B．食指 C．中指 D．大拇指【思路點(diǎn)撥】通過(guò)題圖可以看出，大拇指對(duì)應(yīng)的數(shù)每相鄰兩個(gè)數(shù)之間差8，所以在這個(gè)數(shù)列當(dāng)中的每個(gè)數(shù)可用代數(shù)式1+8（n﹣1）表示，中指對(duì)應(yīng)的數(shù)每相鄰兩個(gè)數(shù)之間差4，所以在這個(gè)數(shù)列當(dāng)中每個(gè)數(shù)可用代數(shù)式3+4（m﹣1），再根據(jù)2022與這兩個(gè)數(shù)據(jù)的關(guān)系，從而確定2022的位置．【解題過(guò)程】解：由題圖可得，大拇指對(duì)應(yīng)的數(shù)列用代數(shù)式表示為1+8（n﹣1），當(dāng)n＝254時(shí)，大拇指對(duì)應(yīng)的數(shù)為：2025，由題圖可得，中指對(duì)應(yīng)的數(shù)列為3+4（m﹣1），當(dāng)m＝506時(shí)，中指對(duì)應(yīng)的數(shù)為：2023，所以2022對(duì)應(yīng)的手指為：無(wú)名指，故選：A．8．（2022?公安縣模擬）現(xiàn)有一列數(shù)a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a1＝2022，a2＝﹣2020，a7＝2018，a96＝﹣2016，且滿足任意相鄰四個(gè)數(shù)的和為同一個(gè)常數(shù)，則a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值為（）A．﹣2020 B．100 C．2018 D．2022【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出所有數(shù)字依次按等于2022，﹣2020，2018，﹣2016四次一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)，即可求得此題結(jié)果．【解題過(guò)程】解：由題意得，a1+a2+a3+a4＝a2+a3+a4+a5，∴a1＝a5＝2022，同理可求得，a2＝a6＝﹣2020，a3＝a7＝﹣2018，a4＝a8，∴所有數(shù)字按四次一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)，∵96÷4＝24，∴a4＝a8＝a96＝﹣2016，即所有數(shù)字依次按等于2022，﹣2020，2018，﹣2016四次一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)，∵100÷4＝25，∴a1+a2+a3+…+a98+a99+a100＝（2022﹣2020+2018﹣2016）×25＝4×25＝100，故選：B．9．（2022春?兩江新區(qū)期末）對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)x1可以按規(guī)則生成無(wú)窮數(shù)串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n為正整數(shù)），規(guī)則為：xn+1=1下列說(shuō)法：①若x1＝4，則生成的這數(shù)串中必有xi＝xi+3（i為正整數(shù)）；②若x1＝6，生成的前2022個(gè)數(shù)之和為55；③若生成的數(shù)中有一個(gè)xi+1＝16，則它的前一個(gè)數(shù)xi應(yīng)為32；④若x4＝7，則x1的值只能是9．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)定義，x1＝4是偶數(shù)，按xn+1=12xn計(jì)算，可得x2=12x1＝2，2是偶數(shù)，同理可得x3＝1，1是奇數(shù)，按xn+1＝3xn+1代入可得x4＝4，依次可得生成的數(shù)串為4，2，1，4，2，1，???，發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)一循環(huán)，有xi＝xi②同理可得若x1＝6，生成的數(shù)串為6，3，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，???，由此可計(jì)算生成的前2022個(gè)數(shù)之和可作判斷；③計(jì)算16的前一個(gè)數(shù)，可能是32或5兩種情況，從而作判斷；④計(jì)算第4個(gè)數(shù)是7時(shí)，前3個(gè)數(shù)，分情況討論可作判斷．【解題過(guò)程】解：①若x1＝4，即xn是偶數(shù)，x2=12x1x3=12x2x4＝3x3+1＝3×1+1＝4，x5=12x???，每3個(gè)數(shù)一循環(huán)，有x1＝x4，x2＝x5，???，∴若x1＝4，則生成的數(shù)串中必有xi＝xi+3（i為正整數(shù)）；故①正確；②若x1＝6，即xn是偶數(shù)，x2=12x1x3＝3x2+1＝3×3+1＝10，x4=12x3+1x5＝3x4+1＝3×5+1＝16，x6=12x5x7=12x6x8=12x7???，從x7開(kāi)始，每3個(gè)數(shù)一循環(huán)，4+2+1＝7，∴生成的前2022個(gè)數(shù)之和＝6+3+10+5+16+8+7×]（2022﹣6）÷3]＝4752，故②錯(cuò)誤；③若生成的數(shù)中有一個(gè)xi+1＝16，則xi有兩種情況：當(dāng)xi是偶數(shù)時(shí)，16=12xi，x當(dāng)xi是奇數(shù)時(shí)，16＝3xi+1，xi＝5；若生成的數(shù)中有一個(gè)xi+1＝16，則它的前一個(gè)數(shù)xi應(yīng)為32或5；故③錯(cuò)誤；④當(dāng)x4＝7時(shí)，有兩種情況：當(dāng)x3是偶數(shù)時(shí)，7=12x3，x3＝14，x2＝28，x當(dāng)x3是奇數(shù)時(shí)，7＝3x3+1，x3＝2（不符合題意，舍）；故④錯(cuò)誤；其中正確的結(jié)論是①，1個(gè)．故選：A．10．（2022?麥積區(qū)模擬）觀察下列等式：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，則1+3+5+7+…+2021＝10112．【思路點(diǎn)撥】由所歸納規(guī)律可得1+3+5+7+…+2021＝1+3+5+7+…+（2×1011﹣1）＝10112．【解題過(guò)程】解：因?yàn)?＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，所以第n個(gè)算式是1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2；1+3+5+7+…+2021＝1+3+5+7+…+（2×1011﹣1）＝10112．故答案為：10112．11．（2022?藍(lán)田縣二模）有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，若開(kāi)始輸入x的值是1，可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，……，請(qǐng)你探索第2021次輸出的結(jié)果是2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可以寫(xiě)出前幾個(gè)輸出結(jié)果，從而可以發(fā)現(xiàn)輸出結(jié)果的變化特點(diǎn)，從而可以求得第2021次輸出的結(jié)果．【解題過(guò)程】解：由題意可得，第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，第三次輸出的結(jié)果是1，第四次輸出的結(jié)果是4，第五次輸出的結(jié)果是2，…，由上可得，輸出結(jié)果依次以4，2，1循環(huán)出現(xiàn)，∵2021÷3＝673……2，∴第2021次輸出的結(jié)果是2，故答案為：2．12．（2022?富川縣三模）觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，則3+32+33+34+…+32022+1的末位數(shù)字是3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)各數(shù)的個(gè)位數(shù)字的變化，可得出每項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字分別為3，9，7，1，…，且四次一循環(huán)，再結(jié)合“2022÷4＝505……2，3+9+7+1＝20”從而可求式子的末位數(shù)字．【解題過(guò)程】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，∴每項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字分別為3，9，7，1，…，且四次一循環(huán)．∵2022÷4＝505……2，3+9+7+1＝20，∴3+32+33+34+…+32021+1末位數(shù)字＝0×505+3+9+1＝13，故答案為：3．13．（2022春?和平縣期末）為了求1+2+22+23+……+299的值，可令S＝1+2+22+23+……+299，則2S＝2+22+23+……+299+2100，因此，2S﹣S＝2100﹣1，所以S＝2100﹣1．即1+2+22+23+……+299的值為2100﹣1．仿照以上推理計(jì)算：1+3+32+33+……+399的值為3100?1【思路點(diǎn)撥】仿照所給的解答方式進(jìn)行求解即可．【解題過(guò)程】解：令S＝1+3+32+33+……+399，則3S＝3+32+33+……+3100，因此，3S﹣S＝3100﹣1，所以S=3即1+3+32+33+……+399的值為3100故答案為：310014．（2022?恩施州）觀察下列一組數(shù)：2，12，27，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)記為an，且滿足1an+1an+2=2an+1．則a4【思路點(diǎn)撥】由題意可得an=2【解題過(guò)程】解：由題意可得：a1＝2=21，a2=12=∵1a∴2+1∴a4=1∵1a∴a5=2同理可求a6=1∴an=2∴a2022=1故答案為：15，115．（2022春?綏棱縣期末）下列式子：32+42＝52，82+62＝102，152+82＝172，242+102＝262…．請(qǐng)你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第五個(gè)等式352+122＝372．【思路點(diǎn)撥】觀察所給的式子可得：32+42＝52可變成[（1+1）2﹣1]2+[2×（1+1）]2＝[（1+1）2﹣1+2×（1+1）﹣2×1]2，82+62＝102可變成[（1+2）2﹣1]2+[2×（1+2）]2＝[（1+2）2﹣1+2×（1+2）﹣2×2]2，…，據(jù)此進(jìn)行求解即可．【解題過(guò)程】解：∵32+42＝52整理得：[（1+1）2﹣1]2+[2×（1+1）]2＝[（1+1）2﹣1+2×（1+1）﹣2×1]2，82+62＝102整理得[（1+2）2﹣1]2+[2×（1+2）]2＝[（1+2）2﹣1+2×（1+2）﹣2×2]2，…，∴第n個(gè)等式為：[（1+n）2﹣1]2+[2×（1+n）]2＝[（1+n）2﹣1+2×（1+n）﹣2n]2，∴第五個(gè)等式為：[（1+5）2﹣1]2+[2×（1+5）]2＝[（1+5）2﹣1+2×（1+5）﹣2×5]2，整理得：352+122＝372．故答案為：352+122＝372．16．（2022春?市北區(qū)期末）也許你認(rèn)為數(shù)字運(yùn)算是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)而又枯燥的內(nèi)容，但實(shí)際上，它里面也蘊(yùn)藏著許多不為人知的奧妙，下面就讓我們來(lái)做一個(gè)數(shù)字游戲：第一步：取一個(gè)自然數(shù)n1＝3，計(jì)算n12+2得a1；第二步：計(jì)算出a1的各位數(shù)字之和得n2，再計(jì)算n22+2得a2；第三步：計(jì)算出a2的各位數(shù)字之和得n3，再計(jì)算n32+2得a3；……依此類推，則a2020＝123．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)游戲的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，求出a1、a2、a3、a4、a5，再分析其規(guī)律，從而可求解．【解題過(guò)程】解：∵a1＝n12+2＝32+2＝11，∴n2＝1+1＝2，a2＝n22+2＝22+2＝6，n3＝6，a3＝n32+2＝62+2＝38，n4＝3+8＝11，a4＝n42+2＝112+2＝123，n5＝1+2+3＝6，a5＝n52+2＝62+2＝38，……∴從第3個(gè)數(shù)開(kāi)始，以38，123不斷循環(huán)出現(xiàn)，∵（2020﹣2）÷2＝1009，∴a2020＝a4＝123．故答案為：123．17．（2022?興慶區(qū)校級(jí)二模）用符號(hào)f（x）表示關(guān)于自然數(shù)x的代數(shù)式，我們規(guī)定：當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f（x）=x2；當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）=82=4．設(shè)x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），?，xn＝f（xn﹣1）．以此規(guī)律，得到一列數(shù)x1、x2、x3，?，x2022，則這2022個(gè)數(shù)之和x1+x2+x3+?+x2021+【思路點(diǎn)撥】通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)從x2開(kāi)始每3次的運(yùn)算結(jié)果循環(huán)一次，由此可知x2、x3，?，x2019循環(huán)673次，并且x2021＝4，x2022＝2，再計(jì)算即可．【解題過(guò)程】解：∵x1＝8，∴x2＝f（x1）＝f（8）＝4，x3＝f（x2）＝f（4）＝2，x4＝f（x3）＝f（2）＝1，x5＝f（x4）＝f（1）＝4，?∴從x2開(kāi)始每3次的運(yùn)算結(jié)果循環(huán)一次，∵（2022﹣1）÷3＝673…2，∴x2、x3，?，x2019循環(huán)673次，x2021＝4，x2022＝2，∵x2+x3+x4＝7，∴x1+x2+x3+?+x2021+x2022＝8+673×7+4+2＝4725，故答案為：4725．18．（2022?隴西縣二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：21×（2?1第2個(gè)等式：33×（2?1第3個(gè)等式：45×（2?1第4個(gè)等式：57×（2?1第2021個(gè)等式：20224041×（2?12021【思路點(diǎn)撥】從數(shù)字找規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解題過(guò)程】解：第1個(gè)等式：21×（2?11）＝1+11，即：第2個(gè)等式：33×（2?12）＝1+12，即：第3個(gè)等式：45×（2?13）＝1+13，即：第4個(gè)等式：57×（2?14）＝1+14，即：..．第2021個(gè)等式：2021+12×2021×（2?1即：20224041×（2?1故答案為：20224041×（2?119．（2022春?廣陵區(qū)期中）如果記y=x21+x2=f（x），并且f（1）表示當(dāng)x＝1時(shí)y的值，且f（1）=121+12=12；f(12【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意把f（2），f（3），f（13）求出來(lái)，再分析f（2）與f（12），f（3）與f（【解題過(guò)程】解：∵f（1）=121+f（2）=2f（3）=3f（13）=∴f（2）+f（12）=f（3）+f（13）=∴f（2021）+f（12021）＝1，f（2022）+f（1∴f（n）+f（1n∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(=1=1=4043故答案為：4043220．（2022春?南京期中）（1）閱讀并填空：22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，…2n+1﹣2n＝2n×（2﹣1）＝＝2n（n為正整數(shù)）．（2）計(jì)算：①2100﹣299＝299；②210+210﹣211＝0．（3）計(jì)算：21+22+…+21000．【思路點(diǎn)撥】（1）由所給的等式進(jìn)行分析，不難得出結(jié)果；（2）利用（1）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可；（3）利用（1）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）∵22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，…∴2n+1﹣2n＝2n×（2﹣1）＝2n，故答案為：2n×（2﹣1），2n；（2）①2100﹣299＝299×（2﹣1）＝299；故答案為：299；②210+210﹣211＝211﹣211＝0；故答案為：0；（3）21+22+…+21000＝（22﹣2）+（23﹣22）+（24﹣23）+......+（21001﹣21000）＝21001﹣2．21．（2022春?成武縣期末）著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探索問(wèn)題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請(qǐng)先觀察下列等式找出規(guī)律，并解答問(wèn)題．①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；（1）等式⑤是13+23+33+43+53＝152．（2）應(yīng)用規(guī)律探究：63+73+83+93+103的值．【思路點(diǎn)撥】（1）由所給的式子，可得第5個(gè)式子為13+23+33+43+53＝152；（2）由63+73+83+93+103＝（13+23+33+43+53+63+73+83+93+103）﹣（13+23+33+43+53），求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）∵①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；∴⑤13+23+33+43+53＝152；故答案為：13+23+33+43+53＝152；（2）由題意可得13+23+33+43+53+63+73+83+93+103＝552，∵13+23+33+43+53＝152，∴63+73+83+93+103＝（13+23+33+43+53+63+73+83+93+103）﹣（13+23+33+43+53）＝552﹣152＝70×40＝2800．22．（2021秋?廣饒縣期末）請(qǐng)先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問(wèn)題．因?yàn)椋?1×2=1?12，12×3所以：11×2+12×3+13×4+?+19×10=（1?12化簡(jiǎn)下列各式并求值：（1）11×2（2）11×3【思路點(diǎn)撥】（1）仿照所給的解答方式進(jìn)行求解即可；（2）仿照所給的解答方式進(jìn)行求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）1＝1?＝1?=2021（2）1=12×（1?13）+12×（13=12×=12×=1=101023．（2022?淮北一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1第2個(gè)等式：a2第3個(gè)等式：a3…請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5＝117×21＝14（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an＝1(4n?3)(4n+1)＝14(1（3）求a1+a2+a3+……+a2022的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式進(jìn)行總結(jié)即可；（3）利用（2）中的規(guī)律求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）第5個(gè)等式為：a5=1故答案為：117×21；1（2）∵第1個(gè)等式：a1第2個(gè)等式：a2第3個(gè)等式：a3…∴第n個(gè)等式為：an=1故答案為：1(4n?3)(4n+1)；1（3）原式==1=1=1=202224．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：把無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，可以按如下方法進(jìn)行：以0.3?為例，設(shè)0.3?由0.3?=0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3+x，解得x=1（1）請(qǐng)把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.7?化為分?jǐn)?shù)是79（2）請(qǐng)把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.7?（3）將0.2?16?與0.5?【思路點(diǎn)撥】（1）令0.7?=x，則10x＝7.77…，由10x＝7+（2）令x＝0.7?5?，則100x＝75.7575…，由100x（3）分別求出0.2?16?與0.【解題過(guò)程】解：（1）令0.7?=x，則10∴10x＝7+x，∴x=7故答案為：79（2）令x＝0.7?5?∴100x＝75+x，∴x=25（3）令x＝0.2?16?，則1000∴1000x＝216+x，∴x=8令y＝0.5?，則10y∴10y＝y(tǒng)+5，∴y=5∴837∵999÷3＝333，∴小數(shù)點(diǎn)后第999位數(shù)字是0，故答案為：0．25．（2022春?萊蕪區(qū)月考）如圖，從左到右，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．9&#x﹣62…（1）可求得x＝9，第2009個(gè)格子中的數(shù)為﹣6；（2）判斷：前m個(gè)格子中所填整數(shù)之和是否可能為2018？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如果a，b為前三個(gè)格子中的任意兩個(gè)數(shù)，那么所有的|a﹣b|的和可以通過(guò)計(jì)算|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b為前19個(gè)格子中的任意兩個(gè)數(shù)，則所有的|a﹣b|的和為2424．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)“任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等”可知此表是由三個(gè)整數(shù)重復(fù)排列而成，便求得x與&的值，此時(shí)再觀察這組數(shù)，可發(fā)現(xiàn)每三個(gè)數(shù)循環(huán)一次，則2009÷3＝669…2，得第2009個(gè)格子中的數(shù)．（2）可先計(jì)算出這三個(gè)數(shù)的和，再照規(guī)律計(jì)算．（3）由于是三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，因此可用前三個(gè)數(shù)的重復(fù)多次計(jì)算出結(jié)果．【解題過(guò)程】解：（1）∵任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，∴9+&+#＝&+#+x＝#+x+（﹣6），∴x＝9，&＝﹣6，由格子中后面有個(gè)數(shù)字2，可知#＝2，故這個(gè)表格中的數(shù)據(jù)以9，﹣6，2循環(huán)出現(xiàn)，∵2009÷3＝669…2，∴第2009個(gè)格子中的數(shù)為﹣6，故答案為：9，﹣6；（2）前m個(gè)格子中所填整數(shù)之和可能為2018，∵9﹣6+2＝5，2018÷5＝403…3，且9﹣6＝3，403×3+2＝1211，∴前1211個(gè)格子中所填整數(shù)之和可能為2018；（3）由于是三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，那么前19個(gè)格子中，這三個(gè)數(shù)中，9出現(xiàn)了七次，﹣6和2都出現(xiàn)了6次．故代入式子可得：（|9+6|×6+|9﹣2|×6）×7+（|﹣6﹣9|×7+|﹣6﹣2|×6）×6+（|2﹣9|×7+|2+6|×6）×6＝2424．故答案為：2424．26．（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7…按圖①中的方式排成一個(gè)數(shù)表，用一個(gè)十字框框住5個(gè)數(shù)，這樣框出的任意5個(gè)數(shù)（如圖②）分別用a，b，c，d，x表示．（1）若x＝17，則a+b+c+d＝68；（2）用含x的式子分別表示數(shù)a，b，c，d；（3）直接寫(xiě)出a，b，c，d，x這5個(gè)數(shù)之間的一個(gè)等量關(guān)系：a+b+c+d＝4x；（4）設(shè)M＝a+b+c+d+x，判斷M的值能否等于2020，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由x＝17可找出a、b、c、d的值，將其相加即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖形即可得出a、b、c、d與x之間的關(guān)系；（3）由（2）的結(jié)論，將a、b、c、d相加即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)M＝5x，代入2020求出x的值，根據(jù)x的奇偶性即可得出M的值不能等于2020．【解題過(guò)程】解：（1）∵x＝17，∴a＝x﹣12＝5，d＝x+12＝29，b＝x﹣2＝15，c＝x+2＝19，∴a+b+c+d＝5+15+19+29＝68．故答案為：68．（2）根據(jù)數(shù)的排列結(jié)合十字框的框法，即可得出：a＝x﹣12，b＝x﹣2，c＝x+2，d＝x+12．（3）∵a+d＝x﹣12+x+12＝2x，b+