湖南省衡陽市2021年中考數(shù)學(xué)模擬試題

湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的.）

1.（3分）一反的絕對值是（）

3344

A.-4B.-C,-3D.-

2.（3分）如果分式」；在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.xW-1B.x>-1C.全體實數(shù)D.x=-1

3.（3分）2018年6月140,探月工程嫦娥四號任務(wù)“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控

制，進入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日丄2點，a/o使命軌道，成為世界首顆運

行在地月L2點Halo軌道的衛(wèi)星，用科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為（）公里.

A.X105B.65X103C.X104D.X105

4.（3分）卜列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

6.（3分）如圖，已知4B〃CD,4F交CD于點E,且BE丄4F,NBED=40°,則//的

度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.80°D.90°

7.（3分）某校5名同學(xué)在“國學(xué)經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,

90,88,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.97B.90C.95D.88

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A.〃邊形（心3）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

C.相等的角是對頂角

D.矩形的對角線互相平分且相等

2%>3x

的整數(shù)解是（）

{x+4>2

A.0B.-1C.-2D.1

10.（3分）國家實施“精準扶貧”政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2016

年底有貧困人口9萬人,通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人.設(shè)2016

年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意列方程得（）

A.9（1-2x）=1B.9（1-x）2=1C.9（l+2x）=1D.9（1+x）2=1

11.（3分）如圖，一次函數(shù)yi=Ax+6（左￥0）的圖象與反比例函數(shù)/=￡（"?為常數(shù)且根

￥0）的圖象都經(jīng)過力（-1,2）,8（2,-1）,結(jié)合圖象，則不等式Ax+b>段的解集是

（）

A.x<-1B.-l<x<0

C.x<-l或0<x<2D.-l<x<0或x>2

12.（3分）如圖，在直角三角形/6C中，ZC=90°,AC=BC,E是Z8的中點，過點E

作ZC和8c的垂線，垂足分別為點。和點R四邊形8"1沿著C4方向勻速運動，點

C與點/重合時停止運動，設(shè)運動時間為3運動過程中四邊形。E尸與厶工8。的重疊

部分面積為5.則S關(guān)于，的函數(shù)圖象大致為（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）因式分解：2a2-8=.

14.（3分）在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和。個黃球，這些球除顏色不同其

1

它沒有任何區(qū)別.若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為5，則。等

于.

15.（3分）V27-V3=.

X1

⑹（3分）計算：—+—=

17.（3分）已知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長是.

18.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=y的圖象如圖所示.已知/點坐標(biāo)為（1,1）,

過點力作44i〃x軸交拋物線于點4，過點小作小血〃04交拋物線于點心，過點血

作Z》3〃X軸交拋物線于點/3,過點出作小/4〃0/交拋物線于點/4……，依次進行下

去，則點力2019的坐標(biāo)為.

三、解答題（本大題共8個小題，1920題每題6分，2124題每題8分，25題10分，26題

12分，滿分66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.（6分）-3+|V3-2|+tan600-（-2019）°

20.（6分）某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，開展了“第二課堂”的活動，推出了以下四種

選修課程：A.繪畫；8.唱歌；C.演講；D.十字繡.學(xué)校規(guī)定：每個學(xué)生都必須報名

且只能選擇其中的一個課程.學(xué)校隨機抽查了部分學(xué)生，對他們選擇的課程情況進行了

統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：

（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是;

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）如果該校共有1000名學(xué)生，請你估計該校報。的學(xué)生約有多少人？

21.（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+%=0有實數(shù)根.

（1）求左的取值范圍；

（2）如果先是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0與方程，

-3x+左=0有一個相同的根，求此時加的值.

22.（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的髙度，先在坡面。處測得

樓房頂部”的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米

到達E處，測得樓房頂部/的仰角為60°.已知坡面C〃=10米，山坡的坡度i=l：V3

（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房Z8高度.（結(jié)果精確到米）（參

考數(shù)據(jù)：V3A/2?）

23.（8分）如圖，點厶B、C在半徑為8的O。上，過點8作8￡>〃/C,交。1延長線于

點。.連接8C,且N3C4=NO/C=30°.

（1）求證：80是。。的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積.

24.（8分）某商店購進工、8兩種商品，購買1個/商品比購買1個8商品多花10元，并

且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等.

（1）求購買一個4商品和一個8商品各需要多少元；

（2）商店準備購買“、8兩種商品共80個，若/商品的數(shù)量不少于8商品數(shù)量的4倍，

并且購買/、8商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有N那幾種購買方

案？

25.（10分）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點/（-1,0）和點B（3,0）,

與y軸交于點N,以N8為邊在x軸上方作正方形/8C。，點P是x軸上一動點，連接

CP,過點P作CP的垂線與夕軸交于點￡.

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；

（2）當(dāng)點尸在線段。8（點尸不與。、8重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大

值？并求出這個最大值；

（3）在第四象限的拋物線上任取一點“，連接物V、MB.請問：的面積是否存

在最大值？若存在，求出此時點"的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

26.（12分）如圖，在等邊△N8C中，AB=6cm,動點P從點工出發(fā)以/cm/s的速度沿49

勻速運動.動點。同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿8c的延長線方向勻速運動，當(dāng)點P

到達點8時，點P、。同時停止運動.設(shè)運動時間為以f（s）.過點P作PE丄4c于E,

連接尸。交/C邊于。.以CQ、CE為邊作平行四邊形C0尸E.

（1）當(dāng),為何值時，ABPQ為直角三角形;

（2）是否存在某一時刻厶使點尸在NN8C的平分線上？若存在，求出，的值，若不存

在，請說明理由；

（3）求。E的長；

（4）取線段3c的中點"，連接尸將48尸朋■沿直線尸〃翻折，得△8,尸"，連接力夕，

當(dāng)f為何值時，49的值最小？并求出最小值.

湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的.）

3

)hX

-(J

(34X

AI.

3344

c

-一--

4?43D.3

3

答

解

故

出

-以

4

1

2.（3分）如果分式一;在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.x#-1B.x>-1C.全體實數(shù)D.x=-1

【解答】解：由題意可知：x+l￥O,

xr-1>

故選：A.

3.（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務(wù)“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控

制，進入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日丄2點“出。使命軌道，成為世界首顆運

行在地月L2點Halo軌道的衛(wèi)星，用科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為（）公里.

A.X105B.65X103C.X104D.X105

【解答】解：科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為XIO4公里.

故選：C.

【解答】解：A,是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

8、不是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤：

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形,故此選項錯誤;

。、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形,故此選項正確.

故選：D.

5.（3分）下列各式中，計算正確的是（）

A.8a-3b=5abB.(a2)3=a5C.a84-a4=a2D.a1*a=ai

【解答】解：A,8a與"不是同類項，故不能合并，故選項/不合題意；

B、（/）3=小，故選項8不合題意；

C、a^a4=a4,故選項C不符合題意；

D、a2-a=a\故選項。符合題意.

故選：D.

6.（3分）如圖，已知48〃CD,4F交CD于點E,且BE丄4F,NBED=40°,則//的

度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.80°D.90°

【解答】解：:BEL4F,NBED=40：

；.NFED=50°,

■:AB〃CD,

：.ZA=ZFED=50°.

故選:B.

7.（3分）某校5名同學(xué)在“國學(xué)經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,

90,88,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.97B.90C.95D.88

【解答】解：將小明所在小組的5個同學(xué)的成績重新排列為：86、88、90、95、97,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90分，

故選:B.

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A.〃邊形（〃23）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

C.相等的角是對頂角

D.矩形的對角線互相平分且相等

【解答】解：/、〃邊形（〃23）的外角和是360°,是真命題；

8、線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，是真命題；

C、相等的角不一定是對頂角，是假命題；

。、矩形的對角線互相平分且相等，是真命題；

故選：C.

(2x>3x

9.(3分)不等式組的整數(shù)解是()

U+4>2

B.-1C.-2

'2x>3x?

【解答】解:

,x+4>2@

解不等式①得：x<0,

解不等式②得：x>-2,

...不等式組的解集為-2Vx<0,

2'>3x

的整數(shù)解是-1,

{x+4>2

故選：B.

10.(3分)國家實施“精準扶貧”政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2016

年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人.設(shè)2016

年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意列方程得()

A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2%)=1D.9(1+x)2=1

【解答】解：設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意得：

9(1-x)2=1,

故選：B.

11.(3分)如圖，一次函數(shù)(%W0)的圖象與反比例函數(shù)及=/(機為常數(shù)且加

W0)的圖象都經(jīng)過/(-1,2),B(2,-1),結(jié)合圖象，則不等式履+b>気的解集是

()

A.x<-1B.-l<x<0

C.x<-1或0<x<2D.-l<x<0或x>2

【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)戸=厶+6(4/0)的圖象在反比例函數(shù)"=￡

(，"為常數(shù)且加W0)的圖象上方時，x的取值范圍是：x<-l或0<xV2,

不等式履+6>f的解集是x<-1或0<x<2

故選：C.

12.(3分)如圖，在直角三角形/8C中，ZC=90°,AC=BC,E是的中點，過點￡

作/C和8c的垂線，垂足分別為點。和點凡四邊形8E尸沿著。方向勻速運動，點

C與點/重合時停止運動，設(shè)運動時間為/,運動過程中四邊形CDEF與△N8C的重疊

部分面積為S.則S關(guān)于f的函數(shù)圖象大致為()

【解答】解：?.?在直角三角形/8C中，/C=90°,AC=BC,

.?.△/8C是等腰直角三角形，

■:EFLBC,EDrAC,

四邊形EEC。是矩形，

,:E是AB的中點，

：.EF=^AC,DE=^BC,

：.EF=ED,

：.四邊形EFCD是正方形，

設(shè)正方形的邊長為a,

如圖1當(dāng)移動的距離時.，5=正方形的面積-△EE'〃的面積=.2—與2；

當(dāng)移動的距離時，如圖2,S=SA40*42=|z2-2at+2a2,

：.S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為C選項，

故選：C.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.)

13.(3分)因式分解：2a2-8=2(a+2)(a-2).

【解答】解:2a2-8=2(a2-4)=2(a+2)(a-2).

故答案為：2(a+2)(a-2).

14.(3分)在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和。個黃球，這些球除顏色不同其

它沒有任何區(qū)別.若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為g,則。等于

5.

【解答】解：根據(jù)題意知二"

3+2+Q2

解得a—5,

經(jīng)檢驗：a=5是原分式方程的解,

故答案為：5.

15.（3分）歷一辰=.

【解答】解：原式=36一百=2次.

故答案為：2次.

X[

16.（3分）計算：7+=_L

x-11-x

【解答】解：原式=言一吉

X-1X-1

X—1

=x-1

=1.

故答案為：1.

17.（3分）己知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長是」疸_.

【解答】解：如圖，圓半徑為6,求長.

403=360°+3=120°

連接04,OB,作0c丄48于點C,

'：OA^OB,

：.AB=2AC,ZAOC=60°,

，4C=O/Xsin60。=6'*=3存

：.AB=2AC=6y/3,

故答案為：65/3.

18.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=F的圖象如圖所示.已知力點坐標(biāo)為（1,1）,

過點力作441〃X軸交拋物線于點小，過點4作交拋物線于點念，過點42

作ZM3〃x軸交拋物線于點月3,過點“3作出4〃04交拋物線于點4……，依次進行下

去，則點的坐標(biāo)為（-1010,10102）.

【解答】解：?.1點坐標(biāo)為(1,1),

直線OA為y=x,Ai(-1,1),

"：A\Ai//OA,

...直線/弘2為y=x+2,

叱方2喉;或口

：.A2(2,4),

：.A3(-2,4),

??134I〃04

**?直線A3A4為y=x+6,

解仁？6得仁；2或仁;,

：.A4(3,9),

：.A5(-3,9)

??,,

AJ2019(-1010,10102),

故答案為(-1010,10102).

三、解答題(本大題共8個小題，1920題每題6分，2124題每題8分，25題10分，26題

12分，滿分66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

1

19.(6分)(-)-3+|V3-2|+tan600-(-2019)°

【解答】解：原式=8+2——1

=9.

20.(6分)某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，開展了“第二課堂”的活動，推出了以下四種

選修課程：A.繪畫；8.唱歌；C.演講；D.十字繡.學(xué)校規(guī)定：每個學(xué)生都必須報名

且只能選擇其中的一個課程.學(xué)校隨機抽查了部分學(xué)生，對他們選擇的課程情況進行了

統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：

(1)這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是人：

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)如果該校共有1000名學(xué)生，請你估計該校報。的學(xué)生約有多少人？

【解答】解：(1)這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是124-30%=40(人)，

故答案為：40人；

（2）C項目的人數(shù)為40-12-14-4=10（人）

條形統(tǒng)計圖補充為：

（3）估計全校報名軍事競技的學(xué)生有1000X^=100（人）.

21.（8分）關(guān)于x的一元二次方程--3x+A=0有實數(shù)根.

（1）求％的取值范圍；

（2）如果％是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（〃L1）、2+x+m-3=0與方程/

-3x+Ar=0有一個相同的根，求此時m的值.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得△=（-3）2-4人20,

解得k<~

（2）%的最大整數(shù)為2,

方程f-3x+攵=0變形為，-3X+2=0,解得XI=1,X2=2,

;一元二次方程（陽-1）/+工+加-3=0與方程/-3x+左=0有一個相同的根，

，當(dāng)x=l時，m-1+1-+-/77-3=0,解得加=1；

當(dāng)x=2時，4（〃？-1）+2+〃z-3=0,解得加=1,

而加-1r0,

3

?*.m的值為

22.（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面。處測得

樓房頂部4的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳。處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米

到達E處，測得樓房頂部/的仰角為60°,已知坡面CQ=10米，山坡的坡度i=l：V3

（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房高度.（結(jié)果精確到米）（參

考數(shù)據(jù)：V3V2?）

【解答】解：過。作。G丄3C于G,DH1AB于H,交4E于R作尸尸丄5c于P,如圖

所示：

則。DF=GP,

???坡面CZ）=10米，山坡的坡度i=l：V3,

/.ZZ）CG=30°,

：.FP=DG=1C￡>=5,

：.CG=y/3DG=5y/3,

?:NFEP=60°,

：.FP=V3￡P(guān)=5,

?ZTD5-/3

??EP=~―，

.?.。尸=6尸=56+10+季=^^+10,

；N4EB=6Q°,

：.ZEAB=3O0,

VZADH=3O0,

.,./￡)/〃=60°,

.?./￡%尸=30°=NADF,

：.AF=DF=^^-+\0,

哈5,

：.FH=

：.AH=V3F/7=10+5V3,

：.AB=AH+BH=\0+5>/3+5=15+5V3?15+5X?^(米),

答：樓房高度約為米.

23.(8分)如圖，點AB、C在半徑為8的。。上，過點8作BO〃/C,交O/延長線于

點。.連接8C,且N8C4=NO4c=30°.

(1)求證：8。是。。的切線；

(2)求圖中陰影部分的面積.

【解答】(1)證明：連接08,交C4于E,

VZC=30°,ZC=^ZBOA,

：.ZBOA=60°,

,：ZBCA=ZOAC=30°,

AZAEO=90°,

即08丄NC,

'JBD//AC,

.'.ZDBE=ZAEO=90°,

...8。是O。的切線：

(2)解：'：AC//BD,NOG4=90°,二NZ)=NC/O=30°,

'：ZOBD=90°,。8=8,

：.BD=60B=8?

AOB。蕊

???S陰影=SM。。-S^=1x8X8V3-682=32^_

24.(8分)某商店購進4、8兩種商品，購買1個/商品比購買1個8商品多花10元，并

且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等.

(1)求購買一個《商品和一個8商品各需要多少元；

(2)商店準備購買/、8兩種商品共80個，若工商品的數(shù)量不少于8商品數(shù)量的4倍,

并且購買Z、8商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方

案？

【解答】解：(1)設(shè)購買一個8商品需要x元，則購買一個工商品需要(x+10)元，

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，x=5是原方程的解，且符合題意,

/.x+10=15.

答：購買一個“商品需要15元，購買一個8商品需要5元.

(2)設(shè)購買3商品，〃個，則購買/商品(80-加)個，

80—m>4m

依題意，得：15(80—m)+57n21000,

.15(80-m)+5m<1050

解得：15Wn?W16.

?.加為整數(shù)，

：.m=15或16.

...商店有2種購買方案，方案①：購進力商品65個、8商品15個；方案②：購進4商

品64個、8商品16個.

25.(10分)如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點4(-1,0)和點8(3,0),

與y軸交于點N,以為邊在x軸上方作正方形/8C￡>,點P是x軸上一動點，連接

CP,過點P作CP的垂線與y軸交于點E.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；

(2)當(dāng)點尸在線段(點尸不與。、8重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大

值？并求出這個最大值；

(3)在第四象限的拋物線上任取一點M,連接MN、"8.請問：△M8N的面積是否存

在最大值？若存在，求出此時點”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：⑴)?.?拋物線y=f+6x+c經(jīng)過/(-1,0),B(3,0),

把4、8兩點坐標(biāo)代入上式，=

(9+3b+c=0

解得:F=U，

lc=-3

故拋物線函數(shù)關(guān)系表達式為y=/-2x-3；

(2)VJ(-1,0),點B(3,0),

???初=。4+。8=1+3=4,

???正方形Z8CQ中，ZABC=90°,PCI.BE,

：,/OPE+NCPB=90°,

ZCPB+ZPCB=9Q°,

：.ZOPE=ZPCBf

又?：NEOP=/PBC=90°,

:APOESACBP,

?_B_COP

?.—t

PBOE

設(shè)。尸=x,則P8=3-x,

._4____x

-

.*.O￡=1(-x2+3%)=-1(x-f)2+為

V0<x<3,

=麺，線段OE長有最大值，最大值為厶

216

即。尸=|時，線段OE有最大值.最大值是看.

(3)存在.

如圖，過點M作軸交于點〃，

??,拋物