高中數學一輪復習 函數的單調性

第2.4章函數的概念與性質

2.4.4函數的單調性

鱉課程要求了修?求心中有敷

1通過已學過的函數特別是二次函數，理解這些函數的單調性、最大（?。┲导?/p>

高中要求其幾何意義；

2會用函數單調性的定義判斷函數的單調性；

11基石田知識夯實基礎，■立完整知識體系

1函數單調性的概念

（1）增函數和減函數

一般地，設函數y=/（x）的定義域為/,區(qū)間De/：

如果V/,久26。，當Xl<%2時，都有/（皿）<。（%2），那么就說/（X）在區(qū)間D上單調遞增（左圖）.特別地，當函

數/（久）在它定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數.

如果V光1，牝6。，當久1〈無2時，都有/'（%1）>/（%2），那么就說/'（X）在區(qū)間。上單調遞減（右圖）.特別地，當函

注①y=：在（0,+8）上單調遞減，但它不是減函數.

②尤1，乂2的三個特征一定要予以重視?函數單調性定義中的小，次有三個特征：一是任意性，即任意取光1，乂2,

“任意”二字絕對不能丟掉，證明單調性時更不可隨意以兩個特殊值替換；二是有大小，通常規(guī)定均<K2；

三是同屬一個單調區(qū)間，三者缺一不可.

⑵單調性

如果函數y=/（x）在區(qū)間。上是增函數或減函數，那么就說函數y=/（久）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性.區(qū)

間。叫做函數y=/（%）的單調區(qū)間.

注①這個區(qū)間可以是整個定義域也可以是定義域的一部分.

(1Y為有理涉

②有的函數無單調性.如函數y='：，，它的定義域是(-8,+8),但無單調性可言.

10,尤為無理數

2單調性概念的拓展

①若y=f(x)遞增，X2>X1，則f(K2)>

②若y=f(x)遞增,/(x2)>則N

y=/O)遞減，有類似結論！

3判斷函數單調性的方法

①定義法

解題步驟

(1)任取X1,久2e且久1<尤2；

(2)作差f(/)一/(冷)；

(3)變形(通常是因式分解和配方)；

(4)定號(即判斷差八支力一汽相)的正負)；

(5)下結論(指出函數人比)在給定的區(qū)間。上的單調性).

②數形結合

③性質法

增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數；

但增函數X增函數不一定是增函數，比如y=x,y=x—2均是增函數，而y=x(x—2)不是.

量經典例題從典例中見

【題型1】函數單調性的定義

【典題1】判斷/(嗎=刀+：在(0,2),(2,+8)的單調性.

解析設元設0VV%2，

作差則為72=(%1+~)~3+-)=(%1-%2)+4-怖)

變形=(%1-%2)+“犯F)=(%1_%2)(1——)(因式分解判斷yi-正負)

%1%2%1%2

定號

(1)假如0</<%2<2,則0<石％2<40—>1^1--<0,

X1%2Xi%2

又第i一冷v。，所以yi>o=yi>丫2，故函數單調遞減；

(2)假如2V%]<%2，則％1%2>4=--<1=1---->0,

又久1一支2<0，所以->2<0n71<72)故函數單調遞增；

下結論所以函數在(0,2)內單調遞減，在(2,+8)內單調遞增.

變式練習

1.函數“X)在R上是減函數，則有()

A./(-1)<f⑶B./(-1)<f(3)C./(-1)>f(3)D.f(3)

答案C

解析因為函數”嗎在R上是減函數，且一1<3,所以-1)>/(3).故選C.

2.下列函數中，在區(qū)間(0,2)上為增函數的是()

A.y=—%+1B.y=y/xC.y=—4x+5D.y=-

答案B

3.已知f(x)是定義在[0,+8)上單調遞增的函數，則滿足“2久一的x取值范圍是()

A.(1)|)B.(—8,?C.[1,|)D.(―8,|]

答案C

解析:"乃是定義在[0,+8)上單調遞增的函數，

.?.不等式/(2x-1)<f《)等價為0<2x-l<i,即拉光<I，

即不等式的解集為弓,|),

故選：C.

4.已知函數/(%)=%|%]—2%的單調增區(qū)間為.

答案(-8,-1)和(1,+8).

解析％20時，/(%)=/_2久，對稱軸％=1,開口向上，在(1,+8)遞增，

%<0時，f(x)=-%2-2%,對稱軸％=-1,開口向下，在(一8,-1)遞增，

???函數的遞增區(qū)間是(-00,-1)和(L+8).

5.試用函數單調性的定義判斷函數”久)==在區(qū)間(0,1)上的單調性.

2%2_2（犯一%1）

解析任取％i，%2€(。，1)，且久1<%2?則—/3）=懸

%2T（X1-1）（%2-1）

由于0<%1<%2<1，%1—1<0,第2一1<0，%2一%1>0,

故/（巧）一六支2）>0,即代勺）>/（X2）.

2y

所以，函數/(%)=占在(0,1)上是減函數.

6.已知函數/(x)=x+1

(1)用函數單調性的定義證明/(久)在區(qū)間［2,+8)上為增函數

(2)解不等式：/(x2-2%+4)</(7)

答案⑴略(2)［—1,3］

解析⑴證明:任取%1，%2e［2,+00),且工1<x2,

則/%)-佟)=3+9一上+3=⑶一加+課/=3尸，

因為2工％1<%2，所以％1-％2<。，％1第2>4,

所以/(%1)-/(%2)V。，即/(%1)<-

所以/"(%)=x+：在［2,+8)上為增函數.

(2)W：???x2-2x+4>2,

結合⑴得")在［2,+8)遞增，

所以d-2x+4<7,解得一1WxW3,

故不等式的解集是［-1,3］.

【題型2】參數問題

【典題1】若函數“久)=/-a久在區(qū)間［1,2］上是增函數，9(%)=篝：在區(qū)間［1,2］上是減函數，則實數a的

取值范圍是()

A,(—1,+8)B.(—8,——1)C.［2,+8)D.(—8,2］

解析根據題意，函數f(x)=/-ax為二次函數，其對稱軸為￥=會

a_

若/'(x)在區(qū)間［1,2］上是增函數，則解可得aW2,①；

g(x)=入IA.=-T人TIT-L+。，若g(x)在區(qū)間［L2］上是減函數，

必有a+lvo,解可得。<一1,②;

聯立①②可得：a<—1,

即a的取值范圍為(一8,—1)；

故選：B.

變式練習

1.已知函數/(￡)=仔1%?"NR是R上的增函數，則()

(.ax+b［x<0)

A.a<0,b>3B.a<0,h<3C.a>O,b>3D.a>0,b<3

答案0

解析???函數/(%)=產是R上的增函數，

(ax+b(x<0)

a>0,且0+320+b,故選：D.

2.函數/(%)=%2+(2a+l)x+l在區(qū)間［1,2］上是單調函數，則實數a的取值范圍是一

答案［—|,+°°)U(—oo,—1］

解析根據題意，函數/0)=/+(2。+1)%+1為二次函數，其對稱軸為x=—等，

若f(x)在區(qū)間［1,2］上是單調函數，則有—羅W1或-誓22,

解可得：aN-1?或aW-'，

即a的取值范圍為［一1+8)u(-8,-1］；

3.若函數/■(%)=|x-2K4)在區(qū)間(5a,4a+1)上單調遞減，則實數a的取值范圍是

答案號］

解析函數,=|x-2|(x-4)=信：煞］雄；2)

函數的增區(qū)間為(一8,2)和(3,+8),減區(qū)間是(2,3).

,?,在區(qū)間(5a,4a+1)上單調遞減，

???(5a,4a+l)U(2,3),得解之得|式aWg

故答案為：|<a<1

輕松訓練通過IS習，艱,施力

1.函數f(%)在(見力)和(c,d)都是增函數,若第1e(a,b),x26(c,d),且%i<冷那么()

A./(%1)</(%2)B.f(%i)>/(%2)C./(%1)=/(%2)D.無法確定

答案D

2.在區(qū)間(0,+8)上不是增函數的函數是()

A.y=2%+lB.y=3x2+1C.y=|D.y=2x2+%+1

答案C

3.函數f(%)=x\x-2|的遞減區(qū)間為()

A.(一8,1)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

答案C

解析當久之2時，/(%)=x(x—2)=x2—2x,對稱軸為久=1,此時/(%)為增函數,

當XV2時，/(%)=-x(x-2)=-x2+2x,對稱軸為％=1,

拋物線開口向下，當1V%<2時，/(切為減函數，

即函數/(久)的單調遞減區(qū)間為(1,2),故選：C.

4.設/(%)是(-8,+8)上的減函數，貝lj()

A./(a)>/(2a)B./(a2)<f(a)

C./(a2+a)</(a)D./(a2+1)</(a)

答案D

解析/(%)是(-8,+8)上的減函數，當a>0時，a<2a,/(a)>f(2a),

當aWO時,a>2a,/(a)</(2a),故4錯誤；

當a=0,則/=Q,貝!]/(次)=/(a),故8錯誤；

當a=0,a2+a=a,則/(/+a)=/(a),故c錯誤；

由4+1>。，則/(4+1)</(a).

故選：D.

5.函數y=1%-3|的單調遞減區(qū)間為.

答案(—00,3]

解析函數y=|x—3|的如右圖，從圖象可判斷單調減區(qū)間為(-8,3].

是R上的單調減函數，則實數a的取值范圍為

解析若/"(%)=\x'x-1是R上的單調減函數，

I—%+3a,x<1

fa>01

貝監(jiān)<-1+3優(yōu)解得a-2,

故答案為：弓,+8).

7.已知函數人支)=/+4：,%>0,若?2,42)>/⑷則實數a的取值范圍是

14%—xL,x<0

答案(-2,1)

解析由題知/(%)在R上是增函數,由題得2—a2>a,解得一2<a<1.

8.已知函數/(%)=：-X叫且/(4)=g

(1)求TH的值；

⑵判斷/(%)在(0,+8)上的單調性，并給予證明；

答案(l)m=1(2)減函數