中考數(shù)學(xué)專題講練-銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用三大模型

小專題5銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用三大模型背靠背型模型一通過在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊CD是解題的關(guān)鍵.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD為公共邊，AD+BD=AB.圖形演變及對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系如下：如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測得教學(xué)樓樓頂D的仰角為18°，教學(xué)樓底部B的俯角為20°，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距離AB=30m.(1)求∠BCD的度數(shù)；(2)求教學(xué)樓的高BD.(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)經(jīng)典母題［思維方法］(1)C觀測D的仰角應(yīng)為CD與水平面的較小的夾角，即∠DCE；C觀測B的俯角應(yīng)為CB與水平線的較小的夾角，即為∠BCE，不難得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；(2)易得CE=AB，則由直角三角形的銳角函數(shù)值即可分別求得BE和DE，求和即可.［解答］解：(1)過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，則∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.(2)由已知，得CE=AB=30m.在Rt△CBE中，BE=CE·tan20°≈30×0.36=10.8(m).在Rt△CDE中，DE=CE·tan18°≈30×0.32=9.6(m).∴BD=BE+DE≈10.8+9.6=20.4(m).答：教學(xué)樓的高約為20.4m.對應(yīng)訓(xùn)練母子型模型二通過在三角形外作高BC，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC為公共邊，AD+DC=AC.圖形演變及對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系如下：如圖，為了測得某建筑物的高度AB，在C處用高為1米的測角儀CF，測得該建筑物頂端A的仰角為45°，再向建筑物方向前進(jìn)40米，又測得該建筑物頂端A的仰角為60°.求該建筑物的高度AB.(結(jié)果保留根號)經(jīng)典母題［思維方法］設(shè)AM=x米，分別解△AFM和△AEM，在△AFM中根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出FM，在△AEM中利用正切的定義用x表示出EM，根據(jù)題意列方程，解方程得到答案.2.(2020·眉山)某數(shù)學(xué)興趣小組去測量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為20米的發(fā)射塔AB，如圖所示.在山腳平地上的D處測得塔底B的仰角為30°，向小山前進(jìn)80米到達(dá)點(diǎn)E處，測得塔頂A的仰角為60°，求小山BC的高度.對應(yīng)訓(xùn)練3.(2020·邵陽)2019年12月23日，湖南省政府批準(zhǔn)，全國“十三五”規(guī)劃重大水利工程——邵陽資水犬木塘水庫，將于2020年開工建設(shè)施工測繪中，飲水干渠需經(jīng)過一座險(xiǎn)峻的石山，如圖所示.AB，BC表示需鋪設(shè)的干渠引水管道，經(jīng)測量，A，B，C所處位置的海拔AA1，BB1，CC1分別為62m，100m，200m.若管道AB與水平線AA2的夾角為30°，管道BC與水平線BB2夾角為45°，求管道AB和BC的總長度(結(jié)果保留根號).擁抱型模型三分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.圖形演變及對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系如下：如圖，小瑩在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量，先測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，后站在M點(diǎn)處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°，已知居民樓CD的高度為16.6m，小瑩的觀測點(diǎn)N距地面1.6m.求居民樓AB的高度(精確到1m).(參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)經(jīng)典母題［思維方法］過點(diǎn)N作EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，構(gòu)造Rt△BEN、Rt△DNF和矩形AEFC，分別解兩個(gè)直角三角形可得DF、BE的長，進(jìn)而可得AB的高度..［解答］解：過點(diǎn)N作EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則AE=MN=CF=1.6，EF=AC=35，∠BEN=∠DFN=90°，EN=AM，NF=MC，則DF=DC-CF=16.6-1.6=15(m).在Rt△DFN中，∵∠DNF=45°，∴NF=DF=15，∴EN=EF-NF=35-15=20(m).在Rt△BEN中，∵tan∠BNE=BEEN，∴BE=