2024年安徽省合肥市廬江縣柯坦初級中學中考數學模擬試卷+

2024年安徽省合肥市廬江縣柯坦初級中學中考數學模擬試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的。1．（4分）下列四個數中，最小的是（）A．﹣3 B．﹣3.5 C．0 D．|﹣5|2．（4分）去年12月8日，2023世界新能源汽車大會“碳中和愿景下的全面電動化解決方案”論壇在我國海南國際會展中心隆重召開，隨后，中國汽車工業(yè)協會發(fā)布了《2024中國汽車市場整體預測報告》．預測2024年中國新能源汽車銷量將達1150萬輛左右，1150萬用科學記數法表示為（）A．115×104 B．115×105 C．1.15×106 D．1.15×1073．（4分）下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2?a3＝a6 C．a8÷a2＝a6 D．（﹣a2）3＝a64．（4分）下列四個幾何體中，其主視圖是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（4分）不等式組的解集在數軸上表示為（）A． B． C． D．6．（4分）如圖、AD，BE，CF分別是△ABC的中線、高和角平分線，∠ABC＝90°，CF交AD于點G，交BE于點H，則下列結論一定正確的是（）A．∠ABE＝∠FCB B．∠GAC＝∠GCA C．FG＝GC D．BF＝BH7．（4分）某超市銷售一種袋裝大米，在包裝袋上標有凈重：25±0.25（kg）．一次，主管部門對超市預銷售的500袋這種大米進行重量檢測，從中隨機抽取了10袋，測得他們的重量如下（單位：kg，包裝袋的重量已扣除）：25.1，25.4，24.9，25.2，25.2，25.2，25.0，24.7，25.1，25.2，在這個問題中，下列說法正確的是（）A．采用的調查方式是全面調查 B．總體中重量的達標率一定是80% C．樣本的中位數是25.2kg D．樣本的平均數是25.1kg8．（4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，D為優(yōu)弧BC上任意一點，若∠A＝28°，則∠D＝（）A．62° B．59° C．56° D．45°9．（4分）已知關于x的函數y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的圖象與坐標軸共有兩個不同的交點，則實數a的可能值有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個10．（4分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，E是AB邊上的動點，連接OE，DE，DE交AO于點F．若AB＝2BC＝4，∠DAB＝60°，則下列結論中錯誤的是（）A．DE的最小值是 B．∠DEO總小于60° C．當點E是AB的中點時，△EOF的面積是 D．△DOE周長的最小值是+3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．（5分）代數式有意義時，x應滿足的條件為．12．（5分）因式分解：a3﹣a＝．13．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB的邊AB∥x軸，OA＝AB，點B關于直線OA的對稱點B′的坐標為，若反比例函數的圖象經過點B．則k的值為．14．（5分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，點D為AC的中點，點M在BC邊上，且滿足，MP⊥BD，垂足為N，交AB于點P．（1）cos∠DBC的值為；（2）的值為．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．（8分）計算：．16．（8分）“金山銀山，不如綠水青山”．在今年植樹節(jié)期間，某地“青年志愿團”決定義務植樹120棵．開工后，附近居民主動參加到義務勞動中，使得植樹的速度比原計劃提高了50%，結果提前2小時完成了任務，求“青年志愿團”原計劃每小時植樹多少棵？四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（1）將△ABC沿y軸方向向上平移5個單位，畫出平移后得到的△A1B1C1；（2）請將△ABC繞點O順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△A2B2C2．18．（8分）如圖，在同一水平地面上有AB和CD兩棟樓，從樓AB頂部A點處測得樓CD的底部D點的俯角為45°，從樓CD頂部C點處測得樓AB的G點的俯角為33.5°，且BG＝1米，已知樓AB高25米，求樓CD的高度．（精確到1米，參考數據：sin33.5°≈0.55，cos33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．（10分）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……（1）請你按照上述等式規(guī)律寫出第5個等式；（2）根據上述等式規(guī)律寫出第n個等式；（3）證明（2）中你所寫等式的正確性．20．（10分）已知AB是半徑為r的⊙O的直徑，C，D分別為⊙O上的兩個動點（A，B兩點除外，且在直徑AB的同側），CE⊥AB于點E，F是CD的中點．（1）如圖1，若CD∥AB，求證：EF＝r；（2）如圖2，若CD不平行于AB，r＝5，求EF的長的最大值．六、（本題滿分12分）21．（12分）某校九年級舉行了“愛我中華，學習強國”黨史知識測試，并把成績分成A、B、C、D四個等級，學校決定對成績?yōu)镈等級的學生分批進行培訓．王老師隨機抽取了一個班的成績進行統計，并繪制了兩幅不完整的統計圖如圖：根據信息解答：（1）填空：該班共有名學生，扇形統計圖中，C等級對應扇形的圓心角的度數為；（2）若該校九年級一共有600名學生，估計該校九年級需要參加培訓的學生有多少名？（3）該班成績?yōu)镈等級的5名同學中，有2名是男生，3名是女生，從中任選兩名參加第一批培訓，請利用畫樹狀圖或列表法，求選中的兩名同學恰好都是男生的概率．七、（本題滿分12分）22．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中點，AO的延長線交BC于點E，∠CBD＝∠BAE．（1）求證：BC＝DC；（2）若AE⊥BC，求證：BD2＝4CD?BE．八、（本題滿分14分）23．（14分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與y軸相交于點A（0，﹣3），與x軸相交于點B（1，0）和點C（3，0），直線l：y＝kx+2k+3經過定點D．（1）求a和b的值及點D的坐標；（2）如圖1，當k＝﹣1時，位于直線l上方的拋物線上有一點P，過點P作PM∥y軸交直線l于點M，求PM的最大值；（3）如圖2，連接并延長AB，將射線AB繞點A順時針旋轉45°后，與拋物線相交于點E，求點E的坐標．

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的。1．（4分）下列四個數中，最小的是（）A．﹣3 B．﹣3.5 C．0 D．|﹣5|【分析】根據兩個負數比較，絕對值小的反而大，負數小于0，0小于正數，即可解答．【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣3.5|＝3.5，∴3.5＞3，∴﹣3.5＜﹣3，∵|﹣5|＝5，∴在﹣3，﹣3.5，0，|﹣5|這四個數中，﹣3.5＜﹣3＜0＜|﹣5|，∴最小的是﹣3.5，故選：B．【點評】本題考查了有理數大小比較，絕對值，熟練掌握兩個負數比較，絕對值小的反而大是解題的關鍵．2．（4分）去年12月8日，2023世界新能源汽車大會“碳中和愿景下的全面電動化解決方案”論壇在我國海南國際會展中心隆重召開，隨后，中國汽車工業(yè)協會發(fā)布了《2024中國汽車市場整體預測報告》．預測2024年中國新能源汽車銷量將達1150萬輛左右，1150萬用科學記數法表示為（）A．115×104 B．115×105 C．1.15×106 D．1.15×107【分析】用科學記數法表示數，一定要注意a的形式，以及指數n的確定方法．【解答】解：1150萬＝11500000，用科學記數法表示為1.15×107．故選：D．【點評】本題考查用科學記數法表示較大的數，掌握形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整數位數減去1來確定是關鍵．3．（4分）下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2?a3＝a6 C．a8÷a2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6【分析】根據同底數冪的乘除法法則、合并同類項和冪的乘方與積的乘方法則進行逐項判斷即可．【解答】解：A、a3與a2不是同類項，故不能進行合并，不符合題意；B、a3?a2＝a5，故該項不正確，不符合題意；C、a8÷a2＝a6，故該項正確，符合題意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故該項不正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查同底數冪的乘除法、合并同類項和冪的乘方與積的乘方，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．4．（4分）下列四個幾何體中，其主視圖是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據簡單幾何體的主視圖的性質結合軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義進行判斷即可．【解答】解：A．圓錐體的主視圖是等腰三角形，等腰三角形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，因此選項A符合題意；B．正方體的主視圖是正方形，正方形既是是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此選項B不符合題意；C．圓柱體的主視圖是長方形，長方形既是是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此選項C不符合題意；D．球體的主視圖是圓，圓既是是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此選項D不符合題意．故選：A．【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單幾何體主視圖的形狀以及中心對稱圖形、軸對稱圖形的定義是正確解答的關鍵．5．（4分）不等式組的解集在數軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：解①得：x＞﹣3，解②得：x≤2，故不等式的解集為：﹣3＜x≤2，在數軸上表示為：故選：C．【點評】此題考查了一元一次不等式組的解法，不等式組取解集的方法為：同大取大；同小取??；大小小大去中間；大大小小無解．6．（4分）如圖、AD，BE，CF分別是△ABC的中線、高和角平分線，∠ABC＝90°，CF交AD于點G，交BE于點H，則下列結論一定正確的是（）A．∠ABE＝∠FCB B．∠GAC＝∠GCA C．FG＝GC D．BF＝BH【分析】根據三角形的角平分線、中線和高的概念、直角三角形的性質、三角形中位線定理判斷即可．【解答】解：A、∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠ACB＞∠FCB，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、當△ABC為等腰直角三角形時，AB≠AC，∵AD是中線，∴AD不是角平分線，∴∠GAC≠∠GCA，故本選項說法錯誤，不符合題意；C、∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，當FG＝GC時，DG是△CBF的中位線，則GD∥BF，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、∵∠ACF＝∠BCF，∠BFC＝90°﹣∠BCF，∠BHF＝∠EHC＝90°﹣∠ACF，∴∠BFC＝∠BHF，∴BF＝BH，故本選項說法正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握三角形的角平分線、中線和高的概念是解題的關鍵．7．（4分）某超市銷售一種袋裝大米，在包裝袋上標有凈重：25±0.25（kg）．一次，主管部門對超市預銷售的500袋這種大米進行重量檢測，從中隨機抽取了10袋，測得他們的重量如下（單位：kg，包裝袋的重量已扣除）：25.1，25.4，24.9，25.2，25.2，25.2，25.0，24.7，25.1，25.2，在這個問題中，下列說法正確的是（）A．采用的調查方式是全面調查 B．總體中重量的達標率一定是80% C．樣本的中位數是25.2kg D．樣本的平均數是25.1kg【分析】根據全面調查與抽樣調查、樣本估計總體、中位數的概念、平均數的計算公式計算，判斷即可．【解答】解：A、采用的調查方式是抽樣調查，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、總體中重量的達標率大約是80%，而不是一定是80%，故本選項說法錯誤，不符合題意；C、樣本的中位數是25.15kg，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、樣本的平均數為：（25.1+25.4+24.9+25.2+25.2+25.2+25.0+24.7+25.1+25.2）＝25.1（kg），本選項說法正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是中位數、平均數、全面調查與抽樣調查以及樣本估計總體，掌握相關的概念是解題的關鍵．8．（4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，D為優(yōu)弧BC上任意一點，若∠A＝28°，則∠D＝（）A．62° B．59° C．56° D．45°【分析】連接OB，由切線的性質求得∠ABO＝90°，則∠BOC＝∠A+∠ABO＝118°，所以∠D＝∠BOC＝59°，于是得到問題的答案．【解答】解：連接OB，∵AB與⊙O相切于點B，∴AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝28°，∴∠BOC＝∠A+∠ABO＝28°+90°＝118°，∴∠D＝∠BOC＝×118°＝59°，故選：B．【點評】此題重點考查圓周角定理、切線的性質定理、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．9．（4分）已知關于x的函數y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的圖象與坐標軸共有兩個不同的交點，則實數a的可能值有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據函數的圖象與兩坐標軸共有兩個交點，可知該函數可能為一次函數，也可能為二次函數，然后分類討論即可求得a的值，本題得以解決．【解答】解：∵函數y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的圖象與坐標軸共有兩個不同的交點，∴當a＝0時，此時y＝﹣x﹣1與兩坐標軸兩個交點，當a≠0時，則或，解得，a＝或a＝1，由上可得，a的值是0，或1，共4個．故選：A．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、根的判別式、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和分類討論的思想解答．10．（4分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，E是AB邊上的動點，連接OE，DE，DE交AO于點F．若AB＝2BC＝4，∠DAB＝60°，則下列結論中錯誤的是（）A．DE的最小值是 B．∠DEO總小于60° C．當點E是AB的中點時，△EOF的面積是 D．△DOE周長的最小值是+3【分析】由題可證△ADB是直角三角形，A．當DE⊥AB時，DE取最小值，可得DE的最小值是3；B．如圖1，過點O作OG⊥BD交AB于G，連接DG，易知∠DGO＝60°．以DG為直徑畫⊙P交AB于點H，當E與G或H重合時，∠DEO＝60°，當點E在線段GH上（不含端點），∠DEO大于60°；C．易得?ABCD的面積為，當E是AB的中點時，△AOE的面積為，OE∥AD，則，可得△EOF的面積是為；D．如圖2，作D關于AB的對稱點D′，連接OD′，交AB于E，此時△DOE的周長取最小值，，∠ADD'＝∠AD'D＝30°，則∠ODD'＝60°，推出∠DOD'＝90°，OD'＝DD'?sin60°＝3，此時△DOE的周長＝．【解答】解：由題可知△ADB是直角三角形，，A．當DE⊥AB時，DE取最小值，可得DE的最小值是3；B．如圖1，過點O作OG⊥BD交AB于G，連接DG，則∠DGO＝60°．以DG為直徑畫⊙P交AB于點H，當E與G或H重合時，∠DEO＝60°，當點E在線段GH上（不含端點），∠DEO大于60°；C．易得?ABCD的面積為，當E是AB的中點時，△AOE的面積為，OE∥AD，∴，可得△EOF的面積是為；D．如圖2，作D關于AB的對稱點D′，連接OD′，交AB于E，此時△DOE的周長取最小值，，∠ADD'＝∠AD'D＝30°，∴∠ODD'＝60°，∴∠DOD'＝90°，OD'＝DD'?sin60°＝3，此時△DOE的周長＝．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，三角形的面積．平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．（5分）代數式有意義時，x應滿足的條件為x≥0且x≠1．【分析】根據二次根式有意義時被開方數為非負數，分式有意義時分母不為零可求解x的取值范圍．【解答】解：由題意得，解得：x≥0且x≠1．故答案為：x≥0且x≠1．【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件及分式有意義的條件，根據二次根式及分式有意義的條件求解是解題的關鍵．12．（5分）因式分解：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故答案為：a（a+1）（a﹣1）【點評】此題考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．13．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB的邊AB∥x軸，OA＝AB，點B關于直線OA的對稱點B′的坐標為，若反比例函數的圖象經過點B．則k的值為．【分析】過點B作x軸的垂線，根據軸對稱的性質求出點B的坐標即可解決問題．【解答】解：過點B作x軸的垂線，垂足為M，因為點B和點B′關于OA對稱，所以∠B′OA＝∠BOA，OB＝OB′．因為AO＝AB，所以∠AOB＝∠ABO，又因為AB∥x軸，所以∠ABO＝∠BOM，所以∠AOB＝∠BOM，所以∠B′OA＝∠AOB＝∠BOM＝30°．因為點B′的坐標為，所以OB＝OB′＝．在Rt△BOM中，sin30°＝，所以BM＝，所以OM＝，則點B的坐標為（3，）．將點B坐標代入y＝得，k＝．故答案為：．【點評】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征及坐標與圖形變化﹣對稱，熟知反比例函數的圖象和性質及軸對稱的性質是解題的關鍵．14．（5分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，點D為AC的中點，點M在BC邊上，且滿足，MP⊥BD，垂足為N，交AB于點P．（1）cos∠DBC的值為；（2）的值為．【分析】（1）設CM＝a，則BM＝5a，根據勾股定理求出BD＝3a，再根據余弦定義求解即可；（2）延長PM，交AC的延長線于點E，過點A作AF∥BC交MP的延長線于點F，結合直角三角形的性質求出∠DBC＝∠E，∠ECM＝∠BCD＝90°，則△EMC∽△BDC，根據相似三角形的性質得出＝，設CM＝a，則BM＝5a，CD＝3a，根據比例的性質求出CE＝2a，根據平行線的性質推出△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，根據相似三角形的性質等量代換求解即可．【解答】解：（1）設CM＝a，則BM＝5a，∴BC＝CM+BM＝6a，∵AC＝BC，∴AC＝6a，∵點D為AC的中點，∴CD＝3a，∵∠C＝90°，∴BD＝＝3a，∴cos∠DBC＝＝＝，故答案為：；（2）如圖，延長PM，交AC的延長線于點E，過點A作AF∥BC交MP的延長線于點F，∵∠ACB＝90°，MP⊥BD于N，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠E＝90°，∴∠DBC＝∠E，又∵∠ECM＝∠BCD＝90°，∴△EMC∽△BDC，∴＝，設CM＝a，則BM＝5a，CD＝3a，∴＝，∴CE＝2a，∵AF∥BC，∴△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，∴＝＝＝，＝，∴AF＝4a，∴＝＝，故答案為：．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，熟記相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．（8分）計算：．【分析】先計算二次根式、負整數指數冪和平方，再計算加減．【解答】解：＝﹣4+2+3＝1．【點評】此題考查了實數的混合運算能力，關鍵是能準確確定運算順序，并能進行正確地計算．16．（8分）“金山銀山，不如綠水青山”．在今年植樹節(jié)期間，某地“青年志愿團”決定義務植樹120棵．開工后，附近居民主動參加到義務勞動中，使得植樹的速度比原計劃提高了50%，結果提前2小時完成了任務，求“青年志愿團”原計劃每小時植樹多少棵？【分析】設“青年志愿團”原計劃每小時植樹x棵，根據開工后，附近居民主動參加到義務勞動中，使得植樹的速度比原計劃提高了50%，結果提前2小時完成了任務，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設“青年志愿團”原計劃每小時植樹x棵，由題意得：﹣＝2，解得：x＝20，經檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意，答：“青年志愿團”原計劃每小時植樹20棵．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（1）將△ABC沿y軸方向向上平移5個單位，畫出平移后得到的△A1B1C1；（2）請將△ABC繞點O順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△A2B2C2．【分析】（1）利用點平移的規(guī)律寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可得到△A1B1C1；（2）利用網格特點和旋轉的性質畫出點A2、B2、C2，從而得到△A2B2C2．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了平移變換．18．（8分）如圖，在同一水平地面上有AB和CD兩棟樓，從樓AB頂部A點處測得樓CD的底部D點的俯角為45°，從樓CD頂部C點處測得樓AB的G點的俯角為33.5°，且BG＝1米，已知樓AB高25米，求樓CD的高度．（精確到1米，參考數據：sin33.5°≈0.55，cos33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）【分析】過點C作CF⊥AB，垂足為F，根據題意可得：CD＝BF，CF＝BD，AB⊥BD，AE∥BD，從而可得∠EAD＝∠ADB＝45°，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義求出BD長，從而在Rt△CFG中，利用銳角三角函數的定義求出FG的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：如圖：過點C作CF⊥AB，垂足為F，由題意得：CD＝BF，CF＝BD，AB⊥BD，AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝45°，在Rt△ABD中，AB＝25米，∴BD＝＝25（米），∴CF＝BD＝25米，在Rt△CFG中，∠FCG＝33.5°，∴FG＝CF?tan33.5°≈25×0.66＝16.5（米），∵BG＝1米，∴CD＝BF＝BG+FG＝1+16.5≈18（米），∴樓CD的高度約為18米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．（10分）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……（1）請你按照上述等式規(guī)律寫出第5個等式；（2）根據上述等式規(guī)律寫出第n個等式；（3）證明（2）中你所寫等式的正確性．【分析】（1）根據前幾個等式，可得第5個等式：＝；（2）第n個等式：＝；（3）證明等式左邊等于等式右邊即可．【解答】解：（1）＝；（2）＝；（3）∵左邊＝＝＝＝＝右邊，∴等式成立．【點評】本題考查的是數字的變化規(guī)律，從題目中找出數字的變化規(guī)律是解題的關鍵．20．（10分）已知AB是半徑為r的⊙O的直徑，C，D分別為⊙O上的兩個動點（A，B兩點除外，且在直徑AB的同側），CE⊥AB于點E，F是CD的中點．（1）如圖1，若CD∥AB，求證：EF＝r；（2）如圖2，若CD不平行于AB，r＝5，求EF的長的最大值．【分析】（1）連接OF、OC，證明四邊形OECF是矩形即可解答；（2）延長CE交⊙O于點G，連接DG，首先證明點E是CG的中點，得出EF＝DG，進而在DG取得最大值時求出EF的最大值．【解答】（1）證明：如圖1，連接OF，OC，∵CE⊥AB，∴∠CEO＝90°，∵CD∥AB，∴∠ECD＝90°＝∠CEO，∵F是CD的中點，∴OF⊥CD，∴∠OFC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴EF＝OC＝r；（2）解：如圖2，延長CE交⊙O于點G，連接DG，∵AB是半徑為r的⊙O的直徑，AB⊥CG于點E，∴E是CG的中點，又∵F是CD的中點，∴EF＝DG，又∵DG的最大值為2r＝10，∴EF的長的最大值是5．【點評】本題考查圓周角定理，三角形的中位線定理，矩形的判定等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形的中位線解決問題，屬于中考?？碱}型．六、（本題滿分12分）21．（12分）某校九年級舉行了“愛我中華，學習強國”黨史知識測試，并把成績分成A、B、C、D四個等級，學校決定對成績?yōu)镈等級的學生分批進行培訓．王老師隨機抽取了一個班的成績進行統計，并繪制了兩幅不完整的統計圖如圖：根據信息解答：（1）填空：該班共有40名學生，扇形統計圖中，C等級對應扇形的圓心角的度數為99°；（2）若該校九年級一共有600名學生，估計該校九年級需要參加培訓的學生有多少名？（3）該班成績?yōu)镈等級的5名同學中，有2名是男生，3名是女生，從中任選兩名參加第一批培訓，請利用畫樹狀圖或列表法，求選中的兩名同學恰好都是男生的概率．【分析】（1）根據A等級的人數以及占比即可求出參加知識測試的總人數；先求出C等級的人數，然后根據C等級人數得占比即可求出對應的圓心角度數．（2）用總人數乘以樣本中D等級的人數占比即可求出答案．（3）畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）該班的學生數為：8÷20%＝40（名），C等級的人數為：40﹣8﹣16﹣5＝11（名），C等級對應扇形的圓心角的度數為：360°×＝99°．故答案為：40，99°；（2）600×＝75（名），估計該校九年級需要參加培訓的學生有75名；（3）根據題意畫圖如下：共有20種等可能的結果，被選中的兩名學生恰好都是男生的結果有2種，∴被選中的兩名學生恰好都是男生的概率為．【點評】本題考查概率與統計綜合，涉及扇形統計圖與條形統計圖數據關聯、補全條形統計圖、用樣本估計總體及列舉法求概率等知識．七、（本題滿分12分）22．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中點，AO的延長線交BC于點E，∠CBD＝∠BAE．（1）求證：BC＝DC；（2）若AE⊥BC，求證：BD2＝4CD?BE．【分析】（1）根據直角三角形的性質及等腰三角形的性質求出∠BAE＝∠OBA，等量代換得出∠CBD＝∠OBA，結合平行線的性質求出∠CDB＝∠CBD，根據等腰三角形的判定即可得解；（2）根據等腰三角形的性質得出∠COD＝90°，根據“兩角對應相等的兩個三角形相似”求出△COD∽△OEB，根據相似三角形的性質即可得解．【解答】證明：（