圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積（第二課時(shí)） 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積第二課時(shí)

球的表面積和體積設(shè)球的半徑為R，它的表面積由半徑R惟一確定，即它的表面積也是以R為自變量的函數(shù)。

如果用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面都是圓面.其中球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，球面被不過球心的平面截得的圓叫做小圓.你還記得球的截面的性質(zhì)嗎？（1）球的截面是一個(gè)圓面；（2）連心線(球心與小圓圓心連線)垂直截面；（3）球的半徑R、截面圓半徑r、連心線段d滿足：設(shè)球的半徑為R，則它的表面積為大圓面積的4倍第一步：分割O球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：設(shè)“小錐體”的體積為：O

思考：在小學(xué),我們學(xué)習(xí)了圓的面積公式，你還記得是如何推導(dǎo)的嗎？類比這種方法你能由球的表面積公式推導(dǎo)出球的體積公式?O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積

如果網(wǎng)格分的越細(xì),則:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。設(shè)球的半徑為R，則它的體積為

例1.如圖示，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.R設(shè)球的半徑為R，則解：O圓柱的底面半徑也為R，高h(yuǎn)=2R.即球與圓柱的體積之比為2:3.

思考：若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，那么圓錐、球、圓柱的體積之比是怎樣的？【診斷分析】1.判斷下列說法的正誤.（正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”）（1）

若球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，則它的表面積擴(kuò)大為原來的3倍.(

)

×

×

球的表面積與體積公式的應(yīng)用

課堂練習(xí)解：由S球=V球，得∴球的半徑等于3時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等.1.當(dāng)一個(gè)球的半徑滿足什么條件時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等？(教材P119練習(xí)第2題)2.一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為80cm，60cm，55cm的水槽中裝有

200000cm3的水，現(xiàn)放入一個(gè)直徑為50cm的木球.如果木球

的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會(huì)從水槽

中溢出.解：由題意知，木球浸在水中的體積為∴水不會(huì)從水槽中溢出.(教材P119練習(xí)第4題)例2已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且正方體的棱長(zhǎng)為a，求球O的表面積和體積.ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等?？臻g幾何體與球變題2.如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=找正方體的棱長(zhǎng)a與球半徑R之間的關(guān)系關(guān)鍵：變題3.如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O課堂練習(xí)3.將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球零件，求可能制作的

最大零件的體積.解：

由題意知，此時(shí)2R=6，即R=3.∴最大球零件的體積為(教材P119練習(xí)第3題)

正四面體和正方體之間有什么聯(lián)系？能否在正方體中切出正四面體？該三棱錐內(nèi)切球球的表面積為_____.例3（1）

若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球的體積之比為(

)

C

變式（1）

正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若正四棱錐的高為6，底面邊長(zhǎng)為4，則球的表面積為(

)

B

（2）[2023·重慶西南師大附中高一月考]

現(xiàn)有一個(gè)倒置的圓錐形容器，其軸截面為等邊三角形，在其內(nèi)放置兩個(gè)球，兩個(gè)球均與圓錐形容器的側(cè)面相切，且兩個(gè)球也相切，則小球的體積與大球的體積之比為_

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