高一數(shù)學(xué) 余弦定理 課時(shí)同步練習(xí)題（解析版）

第口章解三角形

★★

11.1余弦定理

班級(jí)：姓名：

一、單選題

1.（2021?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）在.ABC中，角48,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,^a2=b2-c2+42ac

則角B的大小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【分析】

由/=/一^+及斯利用余弦定理可得^^⑶二注，結(jié)合3的范圍，即可得5的值.

2

【詳解】

一ABC中,/+y[2ac?

可得：a2+c2-b1=\[lac?

???由余弦定理可得：

a2+c2-h2yflac>/2

cosB=----------=-----=——，

2aclac2

8?（）,乃），

.?.8=45，

故選：A.

2.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在EL48c中，若（a+c）（a-c）=b（b-c）,則A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

【答案】B

【分析】

根據(jù)余弦定理，結(jié)合特殊角的余弦函數(shù)值進(jìn)行求解即可.

【詳解】

卜2?JI_〃2i

因?yàn)椋╝+G（a—c）=b（b—c）,所以6?+/—/=阮，所以cosA=--------.

2bc2

因?yàn)锳三角形的內(nèi)角，所以4=60。.

故選：B

3.（2021?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）已知MBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=10,b=15,C=60",

則cosB=（）

A.也B.也C?一也D.一蛀

14141414

【答案】A

【分析】

先根據(jù)余弦定理算出c，再根據(jù)余弦定理可計(jì)算cos8.

【詳解】

由余弦定理得=a2+〃—2aZ?cosC=100+225—2x10x15x^=175,

2

故c=5#i，

山2Ca2+c2-b2100+175-225不

所以COS8=----------=----------r=-=——■

2ac2x10x5,714

故選：A.

4.（2021?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）在M8C中，若B=60。，b2=ac,則MBC的形狀是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】

利用余弦定理計(jì)算可得；

【詳解】

解：B=-.

3

把y=叱代入余弦定理求得/+/一碇=砒，即3-。尸=0,因此。=。，從而A=C,

.?.ABC為等邊三角形.

故選：

113

5.（2021?上海高一）已知AABC的三邊。、b、c滿足---=--一，則E8為（）

a+hh+c〃+Z?+c

A.30°B.45°

C.60°D.120°

【答案】C

【分析】

113

將等式---=—7—變形得〃=Q2+C2—a。，再利用余弦定理即可求出.

a+bb+ca+b+c

【詳解】

113

由-----------=----；----可得，=儲(chǔ)+。2一

a+bb+ca+b+c

22r2i

即有cos5J+c—一，，又0。<B<180°,所以B=60°.

lac2

故選：C.

6.（2021?上海高一）若。,。+1,。+2是銳角三角形的三邊長(zhǎng)，則a的取值范圍是（）

A.l<a<3B.a>l

C.a>3D.0<?<l

【答案】c

【分析】

根據(jù)大邊對(duì)大角，只需邊長(zhǎng)a+2對(duì)應(yīng)的角為銳角，由余弦定理即可求出.

【詳解】

因?yàn)槿切问卿J角三角形,所以最大邊長(zhǎng)a+2對(duì)應(yīng)的角為銳角，設(shè)該角為區(qū)

所以cos8="+（”+：）——.2）>0,即一2“一3>0,解得a>3或avT（舍去）.

2a（a+1）

故選：C.

7.（2021?廣東東莞市?高二期末）2020年5月，《東莞市生活垃圾分類三年行動(dòng)方案》出臺(tái).根據(jù)該方案，小

明家所在小區(qū)設(shè)置了兩個(gè)垃圾回收點(diǎn)A,B,他從自家樓下出發(fā)，向正北方向走80米，到達(dá)回收點(diǎn)4再

向南偏東60。方向走30米，到達(dá)回收點(diǎn)B,則他從回收點(diǎn)B回到自家樓下至少還需走（）

A.50米B.57米C.64米D.70米

【答案】D

【分析】

畫(huà)出圖形，利用余弦定理，即可求解.

【詳解】

由題意，可知李華的行走路線，如圖所示，

由余弦定理可得OB=VOA2+AB2-2OA-OBcos6()

=^900+6400-2x30x80x1=70,

即他從回收點(diǎn)B回到自家樓下至少還需要走70米.

故選：D.

O

8.(2021?江西新余一中高二其他模擬(理))在A6C中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC

的面積為S,a=2,4S=/+c2-4,則oABC外接圓的面積為()

A.4乃B.8乃C.冗D.2%

【答案】D

【分析】

由余弦定理及三角形面積公式得〃+C2=3ccosA和S=^-bcsinA,結(jié)合條件4S="+c?-4，可

2

得sinA=cosA,求得角A,再由正弦定理即求得結(jié)果.

【詳解】

由余弦定理得，/?2+c2-a2=2Z?ccosA?a=2

所以〃+/-4=2bccosA，

又S=—besinA,4S=b2+c2-4,

2

所以有4x-/?csinA=2bccosA,即sinA=COSA,

2

又Ae(0,〃)，所以A=(,

—=2R

由正弦定理得，sin.兀-，得R=&

sin-Y

4

所以ABC外接圓的面積為S=萬(wàn)（J5）=2兀.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：

解三角形問(wèn)題多為邊角求值的問(wèn)題，這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理結(jié)合己知條件，靈活選擇，它的作

用除了直接求邊角或邊角互化之外，它還是構(gòu)造方程（組）的重要依據(jù)，把正、余弦定理，三角形的面積

結(jié)合條件形成某個(gè)邊或角的方程組，通過(guò)解方程組達(dá)到求解的目標(biāo)，這也是一種常用的思路.

二、多選題

9.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2,c=26,cosA

=二，則b=（）

2

A.2B.3C.4D.2\/2

【答案】AC

【分析】

利用余弦定理即可求解.

【詳解】

由余弦定理，

得a2=b2+c2—2bccosA,

04=b2+12-6b,

即b2-6b+8=0,

朋=2或b=4.

故選：AC.

10.（2021?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）某人向正東方向走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150。，然后沿新方向走了3k〃，結(jié)

果離出發(fā)點(diǎn)恰好6切2,則x的值為（）

A.6B.26C.2D.3

【答案】AB

【分析】

根據(jù)余弦定理列出方程，即可求解.

【詳解】

如圖所示，在4ABe中，A3=X,5C=3,AC=G,NA3C=3（）,

由余弦定理得，AC2=X2+32-2XX3COS30.

整理得/一3GX+6=0，解得X=2百或X=6.

故選：AB

11.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在,ABC中，a,。，C分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，、須=2csinA,

TT

且0＜。＜一，b=4,則以下說(shuō)法正確的是（）

2

A.C=-

3

71

B.若c=—,則cosB=—

27

C.若sinA=2cosBsinC,貝！JABC是等邊三角形

D.若二A6c的面積是26,則該三角形外接圓半徑為4

【答案】AC

【分析】

對(duì)于A,利用正弦定理可將條件轉(zhuǎn)化得到J5sinA=2sinCsinA，即可求出C；

對(duì)于8，利用正弦定理可求得sin8,進(jìn)而可得cosB；

對(duì)于C,利用正弦定理?xiàng)l件可轉(zhuǎn)化為c=2ccosB,結(jié)合原題干條件可得5,進(jìn)而求得A=B=C：

對(duì)于。，根據(jù)三角形面積公式求得。，利用余弦定理求得。，進(jìn)而由正弦定理求得R.

【詳解】

解：由正弦定理可將條件瓜=2csinA轉(zhuǎn)化為百sinA=2sinCsinA，

因?yàn)閟inAwO,故sinC=——，

2

yrjr

因?yàn)镃G（O,—）,則。=一，故A正確；

23

7?卜.b.4>/34-

若C=Z,則由正弦定理可知上~=上，則即8=；；即0=亍'5=亍，

2smCsinB-

因?yàn)锽G（O,乃），則cosB=土Jl-si/B=土J1-竺=土L故3錯(cuò)誤；

V497

若sinA=2cos3sinC，根據(jù)正弦定理可得a=2ccosB,

又因?yàn)?a=2csinA,即an^^csinA,即有2^csinA=2ccosB,所以sinA=6cos3，

因?yàn)锳+B=TT—C=,則A=------B,故sin（------B）=V3cosB,

333

整理得由cosB+'sin8=GeosB，BP—sinB=^-cosB，

2222

解得tanB=6,故6=工，則人=工，

33

TT

即A=3=C=§,所以AABC是等邊三角形，故C正確；

若,,A6c的面積是2石，即;a6sinC=2g,解得。=2，

由余弦定理可得c?=a2+Z>2-2aZ?cosC=4+16-2x2x4x^=12,即c=25/5

設(shè)三角形的外接圓半徑是A，

27?=—^—=^1=4

由正弦定理可得sinC拈，則該三角形外接圓半徑為2,故D錯(cuò)誤，

T

故選：AC.

【點(diǎn)睛】

本題考查正余弦定理的應(yīng)用及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的三角公式，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，

屬于中檔題.

12.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為

圖2中的正八邊形ABCDE尸G”,其中。4=1,則以下結(jié)論正確的是（）.

FE

D

A.HDBF=OB.OAOD=~—

2

D.k”—叫=也一血

C.OB+OH=-O0E

【答案】ABC

【分析】

結(jié)合向量知識(shí)判斷，即可得出答案.

【詳解】

對(duì)A,因八卦圖為正八邊形，故中心角為45。，ZFOD=90°,

團(tuán)印入8尸=0，故A對(duì);

由上得4。。=135°=亨，OAOD^\0A\?|0D|COS^=-y-.B對(duì)；

對(duì)C,08與?！钡膴A角為90。，又因［。,=口"卜根據(jù)平行四邊形法則。8+?！?及。4=一及OE，C

對(duì)；

對(duì)D,|4"-口|=”+"網(wǎng)=同|,ZAOF=^-,A40R中，由余弦定理可得

\AFf=|0A|2+\OFf-2\OA\-\OF\cos^=2+>/2,明=）2+血，D錯(cuò)；

故選:ABC

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的基礎(chǔ)知識(shí)，向量線性運(yùn)算的基本法則，余弦定理解三角形，屬于中檔題.

三、填空題

3

13.（2021?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和3,它們夾角的余弦值是一二，則三角形的

另一邊長(zhǎng)是.

【答案】2屈

【分析】

利用余弦定理列出關(guān)系式，把兩邊長(zhǎng)與夾角的余弦值代入求出另一邊長(zhǎng)即可.

【詳解】

解：設(shè)。=5,b=3,cosC=--^,

由余弦定理得：?="+從一加力cosC=25+9+18=52,

貝|Jc=2713.

故答案為：2岳

14.（2021?上海高一）在A5C中，a=6力=7,c=8,AB邊上的中線長(zhǎng)為.

【答案】華

【分析】

取AB中點(diǎn)M，由余弦定理得cosA及CM?可得答案.

【詳解】

如圖取A3中點(diǎn)連接CM,且AM=1A8=4,

2

"—a?64+49-36_Il

由余弦定理得cosA=

2hc11216

1153

CM2=AC2+AM2-2AC?ACcosA49+16-2倉(cāng)!j74?—=—

162

所以也半

15.（2021?江蘇常州市?高三期末）在A5C中，已知AC=1,NA的平分線交3C于。，且仞=1,

BD=6，則ABC的面積為.

【答案】迎

8

【分析】

設(shè)N84。=NCAZ)==6,AB=x>將SasAc+S^cAo=S“BC利用三角形面積公式表示出來(lái)，

X_1_1Y~_i_1O

可得cos6>=——，在AABD中，利用余弦定理可得cos0=，解得x=2,即可求出cos6，sin8,

2x2x

進(jìn)而可得sin/BAC的值，再利用二角形面枳公式即可求解.

【詳解】

因?yàn)锳D平分/R4C,所以/區(qū)4。=/。4。=4/84。，

2

設(shè)Za4D=e,則NC4￡>=e，/BAC=26,

因?yàn)镾MAD+S叢CAD=S協(xié)BC，設(shè)AB=X?

所以工xsine+」sine=Lxsin20,

222

所以，xsin8+sin6=2xsinOcos。，

尤+]

因?yàn)閟in6w0,所以x+l=2xcos6，Bpcos0=----,

2x

/A4r?r\lc廠+l—2t-r-IX~-IX+\

在△ABD中，cos0—---------?所以H------=----,

2x2x2x

可得/一1一2=0,解得：工=2,

3

所以cosNBA。=cos。=—,

4

所以sinABAD=Jl—cos?NBA。=—，

4

sinZB71C=2sin6>cos6?=2x—xi=^,

448

所以S=-AC-ABsinZBAC=—

ARC28

故答案為：迎

8

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是將SaBAD+SaaouS4BC用面積公式表示出來(lái)可得邊角之間的關(guān)系，再結(jié)

合余弦定理即求出邊和角即可求面積.

16.（2021?上海高一）ABC中，設(shè)5C=a,AB=c,ZABC為銳角且滿足Iga-lgc=IgsinB=-lgVI,

則一A6C的形狀是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】

由Iga-lgc=lgsin5=—lg挺得3=（,c-y/2a-再結(jié)合余弦定理即可得結(jié)果.

【詳解】

由Iga-lgc=lgsinB=-lg得，Ig^=lgsin8=電（女）

所以色=sin8=也又NABC為銳角，則6=工，。=缶

c24

22222

+4小、訓(xùn)組Dcr+c-ba+2a-b72,

由余弦定理得cosB=----------=------產(chǎn)---=——得a=b

2ac2ayj2a2

TTTT

所以8=A=—,C=一,則ABC的形狀是等腰直角三角形.

42

故答案為：等腰直角三角形

四、解答題

17.（2021?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）已知在朋8c中，砸6配=2回巡回（6+1）,求角A的大小.

【答案】4=45°

【分析】

利用余弦定理可求A的大小.

【詳解】

由題設(shè)可設(shè)a=2k,b="女,。=（百+1）%（Z>0）,

222

b+c-a6/+（2肉4）公-4公正

由余弦定理得‘cosA=2-=2x病x（6+l快=石'

而A為三角形內(nèi)角，故A=45。.

18.（2021?上海高一）在MBC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程%2-2Gx+2=0的兩根，2cos（A+3）=1.

（1）求角C的度數(shù)；

（2）求A3的長(zhǎng).

27r

【答案】（1）C=—；（2）

【分析】

（1）利用誘導(dǎo)公式可得角C的余弦值，從而可求C的大小.

（2）利用余弦定理和韋達(dá)定理可求AB的長(zhǎng).

【詳解】

（1）由題設(shè)可得COS（乃一。）=；即8§。=

2

27r

而。為三角形內(nèi)角，故。=—.

3

（2）由韋達(dá)定理可得a+b=2G,ab=2,

由余弦定理可得AB2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab=（a+by"-ab=\Q,

故A8=J15.

19.（2021?上海高一）在M8C中，所示，A/W是財(cái)BC邊BC上的中線，求證：AM宗2伊+c2M

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】

uua1,uiBiuuE\

先利用向量表示AM=5（A8+AC）,再計(jì)算模長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理化角為邊，即得結(jié)論.

【詳解】

uuur1ziiunuum

解：AM是（2ABC邊BC上的中線，故AM=5（AB+AC

.2，2

而A3=C2,AC=b2,2AB-AC=2c/?cosABAC=b2+c2-a2^

故AM=gyjc2+b-+（c2+b2-a2）=g^2（c2+Z?2）-a2.

20.（2021?山東威海市?高三期末）在①SABC=￥，②力sine—J^sinB—百ccos8=c；③

sin3=2sinC這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并做答.

TT

問(wèn)題:已知ABC的內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=-,c=\,,角B的平分線交AC于點(diǎn)。,

求BD的長(zhǎng).

（注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）

【答案】60="二".

2

【分析】

若選①，根據(jù)三角形的面積公式即可求出6=2,再利用余弦定理得a=百，再根據(jù)勾股定理，可知8=^：

方法一：根據(jù)3。為知平分線，可知NAD5="，再在△A3。中，由正弦定理即可求出結(jié)果；方法二：

12

TT

根據(jù)BD為角平分線，可知NA5O=NC8r>=—,再山S^S+S底。和面積公式即可求出結(jié)果；

4ABCABD

若選②，根據(jù)正弦定理可得sinB-6cos5=l，進(jìn)而求出8=1,其他同①過(guò)程，即得結(jié)果；若選條件

③，由sinB=2sinC,可得匕=2c=2,再根據(jù)余弦定理可求出a=百，再根據(jù)勾股定理，可知5=^,

其他同①過(guò)程，即得結(jié)果.

【詳解】

若選條件①：由S.c=*，可得;》csinA=*

TT

因?yàn)锳=—,c=l,

3

所以b=2,

在/ABC中，由a?=Z?24-c2-IbccosA=4+l-2x2xlx—=3

2

所以〃2=/+。2,

71

所以3=—

2

（法一）因?yàn)锽D為角平分線,

71

所以乙43。=乙，

4

71715萬(wàn)

故一一

3

L出+且x變=縣"

22224

BD1

在△ABO中,.57

sin——

12

可得皿管

（法二）因?yàn)?。為角平分線,

TT

所以NABD=NCBD=一,

4

因?yàn)镾A8C一心ABD丁o.CBD

rq11

所以^-=-*lxBDxsin450+-xgxBDxsin45。，

222

3V2-V6

解得BD

2

若選條件②：由bsinC-百ccosB=c，

可得sinBsinC-V3sinCcos5=sinC>

因?yàn)閟inCw0,

所以sin3-Gcos8=1，

可得sin（8-1）=g,

2〃

因?yàn)?<B<5，

JT4兀

所以一々<6—

333

,,7171

故8——=—,

36

兀

可得8=彳.

2

(下同條件①)

若選條件③:由sinB=2sinC，可得b=2c=2,

在，,A8C中，由/=b2+c2-2/?ccosA=4+l-2x2xlx—=3,

2

所以〃=/+。2,