電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末考試復(fù)習(xí)試題及答案

高等數(shù)學(xué)(1)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一)

第一章函數(shù)

1.理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)y=/(x)中符號人)的含義；了解函數(shù)的兩要素；

會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。

兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。

2.了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。

若對任意x,</(-%)=/(%),則/(x)稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于)，軸對

稱。

若對任意x,有/(-幻=-/(幻，則/(x)稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對

稱。

掌握奇偶函數(shù)的判別方法。

掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。

3.熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。

基本初等函數(shù)是指以下幾種類型：

①常數(shù)函數(shù)：y=c

②帚函數(shù)：y=xa(a為實(shí)數(shù))

■3指數(shù)函數(shù)：y=a*(a>0,aH1)

4對數(shù)函數(shù)：y=logx(a>O,a^l)

a

⑤三角函數(shù)：sinx,COSA:,tanx,cotx

6反三角函數(shù)：arcsinx,arccosx,arctanx

4.了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。

如函數(shù)

可以分解了=0","=V2,V=arctanw,卬=l+x。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基

本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和鬲函數(shù)的和。

5.會(huì)列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。

例題選解

一、填空題

1.設(shè)/(-)=x+Jl+X2(X>0),則/(x)=O

X---------------------

解：設(shè)貝心」，得

Xt

44r〃\]+J1+X2

故--------o

X

2.函數(shù)/(x)=--L—+、字九的定義域是。

ln(x-2)----------

解：對函數(shù)的第一項(xiàng)，要求x-2>0且ln(x-2)w0,即x>2且xH3；對函數(shù)的

第二項(xiàng)，要求5-xNO,即尤45。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?2,3)U(3,5]。

3.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0,1],則/(Inx)的定義域是0

解:要使/(Inx)有意義,必須使0<lnx<l,由此得/(Inx)定義域?yàn)閇l.e]。

4.函數(shù)>=正’的定義域?yàn)椤?/p>

x-3

解：要使丁="冗:9有意義，必須滿足X2-9N0且x—3〉0,即成立，解不

x-3[x>3

x>3或x<—3

等式方程組，得出",故得出函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-3]u(3,+8)。

x〉3

5.設(shè)"%)=竺(二，則函數(shù)的圖形關(guān)于對稱。

解：/(X)的定義域?yàn)?-8,+CO),且有

即/(x)是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于y軸對稱。

二、單項(xiàng)選擇題

1.下列各對函數(shù)中，()是相同的。

A..f(x)=y[x^,g(x)=x；B./(x)=lnx2,g(x)=21nx；

Y2—1

C.f(x)=ln%3,g(x)=31nx；D.f(x)=-~g(x)=x-l

x+1

解：A中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，石=|x|H尤，B,D三個(gè)選項(xiàng)中的每對函數(shù)的定

義域都不同，所以AB,D都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對

應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng)C正確。

2.設(shè)函數(shù)"X)的定義域?yàn)?-8,+8),則函數(shù)/(x)-/(-x)的圖形關(guān)于()對

稱。

二x；軸；軸；D.坐標(biāo)原點(diǎn)

解：設(shè)F(x)=f(x)-f(-x),則對任意x有

即F(x)是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。選項(xiàng)D正確。

3.設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)/(x)"(-》)是().

A.單調(diào)減函數(shù)；B.有界函數(shù)；

C.偶函數(shù)；D.周期函數(shù)

解：A,B,D三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。

設(shè)尸(x)=/(x)"(f),則對任意X有

即F(X)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)c正確。

ZJX—1

4.函數(shù)/(x)=x——-(a>Q,a1)()

ax+1

A.是奇函數(shù)；B.是偶函數(shù)；

C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是非奇非偶函數(shù)。

解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。

所以B正確。

5.若函數(shù)/(X+3=X2+_L,則/(X)=()

XX2

A.x2;B.x2-2；

C.(尤—1)2；D.％2—1o

角軍：因?yàn)閄2+=X2+2+——2=(X+—)2—2

X2X2X

所以/(%+3=(》+1)2-2

XX

貝U/(x)=x2-2,故選項(xiàng)B正確。

第二章極限與連續(xù)

1.知道數(shù)列極限的“￡-N”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。

2.理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知

道無窮小量的比較。

無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有：

①有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；

②有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量；

③無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。

3.熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定

因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方

法。

求極限有幾種典型的類型

/Y\「(JQ2+XA+?+。)1

(1)lim-----------------=lim----------------'--------------=—

x->oxkI。+只+a)2a

X2+QX+Z?(x-x)(x-x)

⑵lim=lim01=x-x

X~XX->.￥x-x01

f0o0

’0n<m

a+QXn-l+??+Qx+aa

⑶lim—Q_______1___________-----------il=J---------------U-=〈—Xkn=m

bXtn+bXm-\+??+bx+bb

0017?-lin0

00n>m

4.熟練掌握兩個(gè)重要極限：

lim(l+—)t=e(或lim(l+x);=e)

KT8%x->0

重要極限的一般形式：

lim(1+------)/*)=e(或lim(1+g(x))g(x)=e)

/(A)->QO/(X)g(.r)->0

利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為

重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，

如

5.理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)

間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。

間斷點(diǎn)的分類：

已知點(diǎn)X=X是的間斷點(diǎn)，

0

若/（X）在點(diǎn)X=X。的左、右極限都存在，則尤=X。稱為/（X）的第一類間斷點(diǎn)；

若/（X）在點(diǎn)X=X：的左、右極限有一個(gè)不存在，血X=X0稱為/（X）的第二類間

斷點(diǎn)。

6.理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函

數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。

典型例題解析

一、填空題

1

x2sin—

1.極限lim.苫=。

3）sinx-----------

1

X2sin-[1

解：lim------=lim（xsin..-）=limxsin—lim%=0x1=0

iosinxI。xsinx-（）xx-（）sinx

注意：limxsinl=O（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量）

x->0%

==一I—=1=1,其中Um把f=l是第一個(gè)重要極限。

Dsinx10sinx.sinx1工一。x

xiox

2.函數(shù)/（x）=<xsinj的間斷點(diǎn)是x=°

x+lA：>0

解：由/（X）是分段函數(shù)，％=0是/。）的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在x=0處的連續(xù)

性。

因?yàn)閘imxsin—=0lim（x+1）=1/（O）=1

x—>0"*A->0+

所以函數(shù)/（x）在X=0處是間斷的，

又“X）在（-8,0）和（0,+8）都是連續(xù)的，故函數(shù)/"（X）的間斷點(diǎn)是X=0。

3.4.5.6.設(shè)/（X）=X2-3X+2,則/"'（X）]=。

解：fXx）=2x-3,故

7.函數(shù)y=ln（l+m）的單調(diào)增加區(qū)間是。

二、單項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)在點(diǎn)處（）.

A.有定義且有極限；B.無定義但有極限；

C.有定義但無極限；D.無定義且無極限

解：在點(diǎn)處沒有定義，但

limxsinl=O（無窮小量x有界變量=無窮小量）

A->0X

故選項(xiàng)B正確。

2.下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量。

「sinx/、

A.ex,(x-8)；B.----,(x->oo)；

x

D.上+1I(x-?0)

C.ln(l+x),(x—>1)；

x

解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以

而A,C,D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為0,故選項(xiàng)B正確。

三、計(jì)算應(yīng)用題

1.計(jì)算下列極限：

⑴lim3X+2⑵limx(+3

XT2X2+4尤一12X->00%—1

(x-1)10(2%+3)5J]-x—1

(3)limlim

xtb12(x-2)15A->0sin3x

%2—3x+2(x—l)(x—2)x—\

解:⑴：

x2+4x-12(x-2)(x4-6)x+6

..—3x+2.x—11

lim-----------=lim-----=-

x-2X2+4-X—12*->2x+68

⑵Iim(x+3)T=lim(__LxCT1

.)A-=lim----—刀fee八________—

n—>ocX-]>ooX+3e3e4

…8(1+-lim[(l+lh]3

X〃->8尤

(3題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為

分母的最高次項(xiàng)為12xi5,由此得

(4)當(dāng)xf0時(shí)，分子、分母的極限均為0,所以不能用極限的除法法則。求解時(shí)

先有理化根式在利用除法法則和第一個(gè)重要極限計(jì)算。

一X1lim,3x-lim----!----=1x1=1

=lim

iosin3x(J1-。+1)3x~>osin3xJl—x+1326

2.設(shè)函數(shù)

問(1)凡。為何值時(shí)，在x=0處有極限存在？

(2)a,b為何值時(shí)，/*)在x=0處連續(xù)？

解：(1)要/")在x=0處有極限存在，即要lim/(x)=lim/(x)成立。

XTO-x->0+

因?yàn)閘imf(x)=lim(xsin—+Z?)=b

Xf0-K->0-X

「sinx{

limf(x)=lim----=1

x->0+XTO+X

所以，當(dāng)6=1時(shí)，有l(wèi)im/(x)=lim/(x)成立，即6=1時(shí)，函數(shù)在x=0處有極

X—>0-xf0+

限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí)?？梢?/p>

取任意值。

(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是

于是有b=l=f(0)=a,即a=/?=1時(shí)函數(shù)在x=0處連續(xù)。

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)：

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義

計(jì)算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

f(x)在點(diǎn)X=X。處可導(dǎo)是指極限

存在，且該點(diǎn)處的套數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限

函數(shù)/(X)在點(diǎn)X=%處的導(dǎo)數(shù)f\x)的幾何意義是曲線y=/(X)上點(diǎn)(X。，/(七))處

切線的斜率。

曲線V=/(x)在點(diǎn)@。，〃x。))處的切線方程為

函數(shù)V=/(x)在X。點(diǎn)可導(dǎo)，則在二點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)

連續(xù)，在七點(diǎn)不一定句導(dǎo)。

2.了殿微分的概念；知道一階微分形式不變性。

3.熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法

(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

(3)隱函數(shù)求導(dǎo)方法

(4)對數(shù)求導(dǎo)方法

(5)參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法

正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如

一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對數(shù)求導(dǎo)法，

例如函數(shù)y=",求y'。

在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，而且容易

出錯(cuò)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即

再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有

這樣計(jì)算不但簡單而且不易出錯(cuò)。

又例如函數(shù)y=半型，求V。

\lx-2

顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對數(shù)得

兩端求導(dǎo)得

整理后便可得

若函數(shù)由參數(shù)方程

的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式

能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)

算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)。

4.熟練掌握微分運(yùn)算法則

微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似

一階微分形式的不變性

微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的

微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。

6.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函

數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的邛介導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。

第三章導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解

一、填空題

1.設(shè)函數(shù)/(x)在x=0鄰近有定義，且"0)=0,/(0)=1,則

rf(x)

x->0X

解：11mxi=11mss=r(0)=1

x—>0%%-0X—°

故應(yīng)填lo

1

2.曲線y=在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率是O

解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,曲線/(X)在x=x°處切線的斜率是廣(%),即為函

11131

數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是y=--x-2,y(i)=--x-2

A=1

颯填-9

3.設(shè)“X)=X2一4X+5,貝IJ/"'(X)]=o

解:f'(x)=2x-4,故

故應(yīng)填4x2—24x+37

二、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)函數(shù)/(x)=x2,貝IJlim/(x)_1(2)=()0

XT2X-2

A.2x；；；D不存在

解：因?yàn)楸狻?[<2)=/，(2),且/。)=尤2,

所以八2)=2x|=4,即C正確。

x=2

2.設(shè)/d)=x,則/'(x)=()o

X

A1.R_1.C1,D_1

XXX2X2

解:先要求出/(x),再求fr(x)o

因?yàn)?(_L)=x=L，由此得/(x)=L,所以<(x)=(_L)'=-」

X1XXX2

X

即選項(xiàng)D正確。

3.設(shè)函數(shù)/(x)=(x+l)M%-1)(%-2),則/(0)=()

；D.-2

解：因?yàn)閒'(x)=x(x-1)(%一2)+(x+l)(x-l)(x-2)+(x+l)x(x-2)+(x+l)x(x-1),

其中的三項(xiàng)當(dāng)x=0時(shí)為0,所以

故選項(xiàng)C正確。

4.曲線y=x-e，在點(diǎn)()處的切線斜率等于0。

A.(0,l)；B.(l,0)；C.(0,-l)；D.(-l,0)

解：y=l-e1令y=0得x=0。而y(0)=-l,故選項(xiàng)c正確。

5.y=sinx2,貝【Jy=()o

A.COSX2;B.-cosx2;C.2XCOSX2;D.-2xcos尤2

解：y'=cos%2.(%2)f=2xcosX2

故選項(xiàng)C正確。

三、計(jì)算應(yīng)用題

1.設(shè)y=tan2x+2sinx,求dy|n

A=

2

解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

由此得

2.設(shè)y=/(ex)e,“),其中/(x)為可微函數(shù)，求

解y'="(e*)]'e/⑶+/(eOfe/wy

=/,(ex)[e.vJ,e/a)+/(e.v)e/w[/(x)J,

=/,(e*)e?e/(A)+/(e.?)e/wf'(x)

=efM[f'(ex)ex+f(ex)f'(x)]

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初

等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層開始，逐層使用

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡。

3.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程盯+e‘=InA確定，求中。

ydx

解：方法一：等式兩端對x求導(dǎo)得

整理得

方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得

左端=d(盯+e,v)=d(盯)+d(e,v)=ydx+xdy+e.'dy

右端=d(ln3=』d(f)=』.吧二型

y尤y式y(tǒng)2

由此得

整理得

4.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程

確定,求？。

dx

解：由參數(shù)求導(dǎo)法

5.設(shè)y=(1+工2)arctanx,求y”。

解yr=2xarctan^+(1+X2)-----=2xarctanx+1

1+X2

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題

一、填空題

1.函數(shù)y=31-m)的單調(diào)增加區(qū)間是.

解：當(dāng)x>0時(shí)y'<0.故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(-8,0).

1+X2

2.極限lira,1nx=

—1-冗

解：由洛必達(dá)法則

3.函數(shù)/(x)=l(e.v+e.V)的極小值點(diǎn)為。

解：/(x)=Je，—e-*),令/(x)=0,解得駐點(diǎn)％=0,又x<0時(shí)，/'(x)<0；

x>0時(shí)，:(x)>0,所以x=0是函數(shù)/(x)=；(ex+e-x)的極小值點(diǎn)。

二、單選題

1.函數(shù)y=x2+l在區(qū)間［-2,2］上是()

A)單調(diào)增加B)單調(diào)減少

C)先單調(diào)增加再單調(diào)減少D)先單調(diào)減少再單調(diào)增加

解：選擇D

y'=2x,當(dāng)x<0時(shí),/'(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，/(尤)>0；所以在區(qū)間［-2,2］上函

數(shù)y=X2+1先單調(diào)減少再單調(diào)增加。

2.若函數(shù)y=/(x)滿足條件()，則在(。力)內(nèi)至少存在一點(diǎn)1m<［<b),使得

成立。

A)在(。力)內(nèi)連續(xù)；B)在(。乃)內(nèi)可導(dǎo);

C)在力)內(nèi)連續(xù)，在3,6)內(nèi)可導(dǎo);D)在他，切內(nèi)連續(xù)，在3,6)內(nèi)可導(dǎo)。

解：選擇D。

由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)/a)在g，切內(nèi)連續(xù)，在3,。)內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正

確。

3.滿足方程f'(x)=0的點(diǎn)是函數(shù)y=/(x)的()o

A)極值點(diǎn)B)拐點(diǎn)

C)駐點(diǎn)D)間斷點(diǎn)

解：選擇Co

依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。

4.設(shè)函數(shù)f(x)在(。,8)內(nèi)連續(xù),xe(a,b),S.f'(x)=f(x)=0,則函數(shù)在

000

X=X0處°。

A)取得極大值B)取得極小值

C)一定有拐點(diǎn)(x"(x))D)可能有極值，也可能有拐點(diǎn)

00

解：選擇D

函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明X可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明

0

X可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇D。

0

三、解答題

1.計(jì)算題

求函數(shù)y=x-ln(l+x)的單調(diào)區(qū)間。

解：函數(shù)y=x-ln(l+x)的定義區(qū)間為(-1,+8),由于

令了=0,解得尤=0,這樣可以將定義區(qū)間分成(-1,0)和(0,+8)兩個(gè)區(qū)間來討論。

當(dāng)一l<x<0時(shí)，y'<0；當(dāng)0<x<+oo是，>0o

由此得出，函數(shù)y=x-ln(l+x)在(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加。

2.應(yīng)用題

欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材

料最??？

解：設(shè)底邊邊長為x,高為仙所用材料為y

1AQ

且尤2人=108,/?=

X2

令y=0得2(*-216)=0nx=6,

且因?yàn)閤>6,y'>0;x<6,y'<0,所以x=6,y=108為最小值.此時(shí)。=3。

于是以6米為底邊長，3米為高做長方體容器用料最省。

3.證明題：當(dāng)x〉l時(shí)，證明不等式

證設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,因?yàn)?(x)在(0,+8)上連續(xù)可導(dǎo)，所以/(元)在［1,劃上滿足

拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得

其中l(wèi)<c<x,即

又由于c>l,有1<1

C

故有Inx<x-1

兩邊同時(shí)取以e為底的指數(shù)，有einx<e,c-i

ex

即X(一

e

所以當(dāng)x〉l時(shí)，有不等式

成立.

第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(2)

典型例題解析

一、填空題

1.曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為2x,且曲線過點(diǎn)(2,5),則曲線方程

解：J2xdx=x2+c,即曲線方程為y=x2+c。將點(diǎn)(2,5)代入得c=1,所求曲

線方程為

2.已知函數(shù)/(x)的一個(gè)原函數(shù)是arctanxz,則/(x)=。

2x

解:f(x)=(arctan%2)'=-----

1+X4

3.已知F(x)是/(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么J/(ox+b)dx=

解：用湊微分法

二、半項(xiàng)選擇題

1.設(shè)〕/(x)dx=xlnx+c,貝lj/(x)=()o

A.Inx+1；B.lnx；

C.x；D.xlnx

解：因

故選項(xiàng)A正確.

2.設(shè)/(x)是〃x)的一個(gè)原函數(shù)，則等式()成立。

A.-(Jf(x)dx)=/(x)；BJF'(x)dx=f(x)+c；

dx

C.JF'(x)dx^F(x)；D..lJ/(x)dx)=/(x)

dx

解：正確的等式關(guān)系是

故選項(xiàng)D正確.

3.設(shè)尸(x)是"X)的一個(gè)原函數(shù)，貝Ijj4(l-X2)d_r=()。

A.尸(l-x2)+c；B.-F(1-%2)+c；

C.-2F"(l-x2)+c;D.F(x)+c

解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

故選項(xiàng)C正確.

三、計(jì)算題

1.計(jì)算下列積分：

(Df-^^dx⑵J由二上dx

Jl-X2X2

解：⑴利用第一換元法

⑵利用第二換元法，設(shè)方=$舊，dr=cosrdz

2.計(jì)算下列積分：

⑴Jarcsinxdr

⑵J小也

X2

解：(1兩用分部積分法

(2雨J用分部積分法

方博粼當(dāng)(1)第力章學(xué)司輔導(dǎo)

綜合練習(xí)題

(-)單項(xiàng)選擇題

(1).下列式子中，正確的是00

\2f[x}dx=0.J°f(x)dxbf(x)dx

']'3x2dx^i'3t2dt'

yx^-dx>xdx

0000

(2).下列式子中，正確的是()

costdt=cosx

=COSX

(3)下列廣義積分收斂的是()o

「"exdx卜81dx

a

(4)若/(?是上的連續(xù)偶函數(shù)，則Jf(x)dx=()o

J。f(x)dx.0

C.21。/(x)dxD.

-a0

(5)若/(x)與g(x)是句上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線

x=a,x=。所圍圖形的面積().

-gM\dxJ"(/(x)-g(x))dx

”(g(x)-/(x))dx.|g(x))dx|

容案：⑴A；(2)D；(3)D；(4)C；(5)Ao

解：(1)根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知A正確。

而jf(x)dx=-PfMclxB不正確0

ha

J1x2dx<\{xdxC不正確

在(0,1)區(qū)間內(nèi)X2<%o

00

根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的

選取無關(guān)。故D不正確。

(2)由變上限的定積分的概念知

,/(J'costdr)=cosx,(Jocostdr)=-cosx，A、C不正確。

由定積分定義知B不正確。

D正確。

ft

(3)vJ^evdr=11mje<cLr=.(e，>-e。)=+ooA不正確。

°g用°i

+xfc

\-dx=山門dx=i：mInx|=ijm(In-In1)=+°o.-.Bo不正確。

1XIXI

:>+oo+o。

J^cosxJx=|j1rlJ^COSJCdx=jjjp(sin/2-sin0)不存在。/.Co不正確。

00

bL->+?pL—>-HX>

D

D正確

(4)由課本344頁(1—2)和345頁(6——3)知C。正確。

(5)所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù).1.A正確。

(二)填空題

J*cost力

⑴lim-u-------=

x->0%

⑵設(shè)F(x)=f'e,dr,則尸(%)=.

*2

(3)在區(qū)間t),2兀］上，曲線y=sinx和x軸所圍圖形的面積為

(4)「yj4-X2dx=

0

(5)p=,無窮積分58匕左發(fā)散(a>0p>0)

aXP

答案：

f'coszdr

COSX

cos0=1

解:⑴lim-0——lim--J

x->0x->0

(2)F(x)=-\xletdt,Ff(x)=(一力，)'=-e^1(X2)r=-2x

ii

(2)所圍圖形的面積S=2』，sinxdx=-2cosx『=-2(cos兀一cosO)=4

o0

(3)由定積分的幾何意義知：定積分的值等于

丫=所密舅形的面積卜\h-x2dx=ln22=71

(5)pWl時(shí)無窮積分發(fā)散。

(三)計(jì)算下列定積分

(1)I4|2-A|JX

0

(2)J'7x(1+Jx)dx

0

l+lnx,

⑶e----dx

ix

()\lX2yj1~X2dx

0

[*2L.

(5)J2xsin2xdx

o

答案：

(1)J4|2-^|Jx=f2(2-x)dx+J4(x-2)dx-(2x--x2)|2+(_%2-2x)|4=4

oo22o22

(2)5產(chǎn)(l+?)dx=(3X2+L2)p=—

o32o6

(3)r1+ln^,dx=r(1+Inx)J(l+Inx)=1(1+Inx)2k=2

ixi2i2

)J*X2yll—X2dx

02L

(5))、§殿艮也而一尹皂奉24,+=—+J-sin2x|2=-

1

4404

皿=塞粼船燕%”U2sin22tdt-1a-1-COs4t.1z.a1sin4f

?2--------...dt=—(X2-

o4oJIo-T6

4(128'o4

求由曲線yx=1，及直線y=x,y=2所圍平面[包形的面積

y=x

3

-Iny)|2=--In2

題

(—)

i、若（）成立，則級數(shù)發(fā)散，其中s”表示此級數(shù)的部分和。

n〃

〃=1

A、lims。0；B、a單調(diào)上升；

nn

，—oo

C、lima=0D、lima不存在

nn

n—>xn—>QO

2、當(dāng)條件（）成立時(shí)，級數(shù)￡（a+b）一定發(fā)散。

nn

n=l

A、Sa發(fā)散且收斂；B、Ea發(fā)散；

nnn

n=\〃=1n=l

C、Eb發(fā)散；D、Ea和￡人都發(fā)散。

nnn

n=l?=1n=1

3、若正項(xiàng)級數(shù)Ea收斂，則（）收斂。

n

n=l

/>=!M=1

+C)2D、￡(a+c)

c、

〃=1W=1

若兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)Za、Eb滿足,

4、a(〃=1,2,…)則結(jié)論()是正確的。

nnnn

A、Ea發(fā)散則￡/?發(fā)散；B、收斂則Eb收斂；

nnitn

n=ln=ln=ln=l

發(fā)散則Zb收斂；D、Ea收斂則Eb發(fā)散。

C、Ea

nnnn

ZJ=1"=1?=1n=l

若f(x)=E”=()o

5、X"a

nn

n-0

(/(0))(?)/(?)(%)/(n)(0)1

A、-------D------、CrU、一

n!n!----------n!n!

答案：1、D2、A3、B4、A5、C

(-)填空題

1、當(dāng)網(wǎng)時(shí)，幾何級數(shù)收斂。

M=0

2、級數(shù)是___________級數(shù)。

5”n

H=1

3、若級數(shù)收斂，則級數(shù)o

n=0M=0

4、指數(shù)函數(shù)f(x)=e、展成x的鬲級數(shù)為o

5、若鬲級數(shù)戶的收斂區(qū)間為(一9,9),則鬲級數(shù)(X-3)2”的收斂區(qū)間

nn

答案：1、<12、發(fā)散3、收斂4、C(0,6)

n!

n=0

(三)計(jì)算題

1、判斷下列級數(shù)的收斂性

⑴⑵X*⑶>,(一。

n(n4-1)n，i

〃=1n=ln=l6

_L_<±

解：⑴此正項(xiàng)級數(shù)的通項(xiàng)滿足〃(〃+1)〃2n=2,3,-..

由于收斂，則由比較判別法可知收斂。

"2n[n+1)

n=ln=l

3”+i(/?+1)!

⑵△=limJ篇n33

limlim3(.)“=lim>1

3〃(九)!

〃T8a〃一>8?t—>00〃+1…(]+_7

n

則由比值判別法可知工把發(fā)散。

nn

n=\

⑶由于￡叁匕是交錯(cuò)級數(shù)，且4=」>_:=?！?1,2,…

JnnnM+1〃+L

n=lv

及l(fā)ima=lim!=O,由萊布尼茲判別法知級數(shù)Z=收斂。

rt->00n“->8〃y/n

2、求下列募級數(shù)的收斂半徑

⑴乂2)￡空也

n4〃幾

〃=】n=I

nM

解：⑴p=lim=lim-一-=1因此收斂半徑R=1,

w—>ooa?->oo〃+1

n

⑵令(x-l)2=y,得鬲級數(shù)￡；

n=l

可知1/的收斂半徑為

4,所p=lim=lim4〃"5+=勒——2——1“政原鬲級數(shù)的收斂半徑

n—>ao°M—>00/_______n—>oo4(71+1)4

〃/第

，、章綜合練習(xí)題及參考答案

(-)單項(xiàng)選擇題

1、下列階數(shù)最高的微分方程是()。

A、；防)3=sin(x+y)B、xyn-5yr-y5+6y=x3；

C、y"_6y=4x+2D、(yf)2-2yyr+x-