重難點23 解三角形壓軸小題十一大題型匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題23解三角形壓軸小題十一大題型匯總

Osnii

題型1正余弦定理................................................................2

題型2取值范圍問題..............................................................6

?類型1轉(zhuǎn)化角度法........................................................7

?類型2正弦定理法.......................................................11

?類型3正弦定理+輔助角..................................................15

?類型4轉(zhuǎn)化正切法.......................................................20

?類型5余弦定理法.......................................................27

?類型6建系法............................................................32

?類型7轉(zhuǎn)化函數(shù).........................................................40

?類型8二次型取值范圍...................................................45

?類型9基本不等式.........................................................51

題型3中線問題.................................................................55

題型4角平分線問題.............................................................61

題型5高線問題.................................................................64

題型6四邊形問題...............................................................69

題型7多三角形問題.............................................................75

題型8與向■結(jié)合問題...........................................................80

題型9實際問題.................................................................88

題型10正余弦定理與立體幾何...................................................96

題型11正余弦定理與解析幾何..................................................108

題型1正余弦定理

上年

即出重點

正弦定理和余弦定理是解決三角形問題的重要工具，根據(jù)已知條件和所求未知量的不同，選

擇合適的方法可以更加高效地解決問題，通過運(yùn)用這兩個定理，可以幫助我們求解各種未知

邊長和角度，在解題過程中，我們還可以利用三角形內(nèi)角和為180度來輔助求解.

【例題11（多選）（2023?山西陽泉統(tǒng)考三模）設(shè)&ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

c.若sinA=cosB=tanC,則下列說法正確的是（）

A"+B=TB.24+C=：C,a>bD.Ob

【答案】BCD

【分析】由sinA=cosB,得到4+B=]或4+1-B=n,推出24+C=y,判斷AB;由

4>B得到C正確；由三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到D正確.

【詳解】因為△4BC中，sinA=cosB=sinQ-,所以4+B=]或4+^-B=n,

當(dāng)A+B=/時，C=：,由于tanC無意義，A錯誤；

當(dāng)4+時，4=]+B,

此時C=U-A-B=T1-A-（A-^=^--2A,故24+C=y,B正確；

因為4=]+8,所以4>B,由大角對大邊，得a>b,C正確；

因為C=^-2B,所以cosB=tanC=tan售-28）=竺,

§P2sinBcos2B=cos2B=>2sin3B—2sin2B—2sinB+1=0,

令t=sinB6（0,1）,/（t）=2t3-2t2-2t+l,tG（0,1）,

則/Q)=6t2-4t-2=2(3t+l)(t-l)<0,所以/(t)單調(diào)遞減,

又fC)=H-1+1<0,f(sinB)=0,所以sinB<|,

所以B<=X<?,C>7,所以c>b,故D正確.

故選：BCD.

【變式1-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))在aABC中,/.CAB=90。，4B=3,AC=4,

P為A力BC內(nèi)一點，若4PBA-Z.PCB-Z.PAC-a,貝(jtana-.

【答案】g

【詳解】設(shè)P4=x,PB=y,PC=z，在△P4B中，由余弦定理得cosa=:z卓xjx了y=空b亭y日,

又S@P4B=JX3Xyxsina,所以sina=2,易知cosa*0,

所以tana=肅片z,即(9+y2-x2)tana=4sAp.，①

同理可得，(25+z2-y2)tana=4s4PBe,②

(16+x2-z2)tana=4sApc4③

①②③相加，得50tana=+ShPBC+S^PCA),

又SAPAB+S^PBC+SHPCA=SAABC=6,所以tana=—.

【變式1-1】2.(2023?全國?高三專題練習(xí)NABC的內(nèi)角的對邊分別為a,hc,若a+

b=8,cosC=|,fiAABC的面積為3遍,則c=.

【答案】2V7

【分析】根據(jù)平方關(guān)系求出sinC，由余弦定理得320-5c2=12ab①，由叉.。=3聲求出ab

代入①可得答案.

【詳解】因為0<C<TT,cosC=i,所以0<C<5,

所以sinC=V1—cos2C=Jl—蚩=筌,

由余弦定理得cosC=f=嚶-轡芷=i,

即320-5c2=12ab①,

由SMBC=^absinC=2x平=3V6,

得ab=15代入①可得c=-2V7(舍去)，c=2V7.

故答案為：2V7.

【變式1-1]3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知△ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin2A+

sin(j4—B+C)=sin(C—A—B)+；,△ABC的面積S滿足1<S<2，記a,b,C分別為A,

B,C所對的邊，則下列不等式一定成立的是()

A.ab^a+Z?)>16&B.bc(b+c)>8

C.6<abc<12D.12<abc<24

【答案】B

【分析】根據(jù)三角恒等變換公式得到sinAsinBsinC=\，確定產(chǎn)=4s，根據(jù)面積范圍得到2<

O

R工2或，得到8<abc<16V2,再依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】sin24+sin(4-8+C)=sin(C-A-8)+；,

貝！]sin24+sin(TT-2B)=sin(2C-7T)4-1,即sin24+sin2B+sin2C=|,

故sin2A+sin[(B+C)+(B—C)]+sin[(8+C)—(8—C)]=[

2sin/lcos/l+2sin(B+C)cos(F-C)=|,

即2sirM(cos(B—C)—cos(8+C))=|f2sin4?(2sin^sinC)=]

整理得至llsinAsinBsinC=

8

設(shè)外接圓的半徑為R,由正弦定理可得：合=七=三=2R,

sin/ls\nBsinC

S=^absinC,故sin/sinBsinC=+=:,即R2=4s,

1<S<2,故/(%)=i4sin(cox+w),即2<R<2\[2,

abc=sinAsinBsinC-8R3=R3,則8<abc<16V2,

對選項A：ab(a+b)>abc>8,即ab(a+b)>8,但ab(Q+b)>16近不一定正確；

對選項B:bc(b+c)>abc>8,即bc(b+c)>8,正確；

對選項C：8<abc<16V2,不一定正確；

對選項D：8<abc<16-/2,不一定正確；

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了三角恒等變換，三角形面積公式，正弦定理，以此考查學(xué)生

的計算能力轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用三角恒等變換公式將條件轉(zhuǎn)化為8<abc<

16立是解題的關(guān)鍵.

【變式1-U4.(2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長

分別為a,b,C，已知△ABC的面積S滿足(b+c)2=(4V3+8)S+a2則角A的值為.

【答案】=

o

【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式化簡已知條件，得cosA+1=(V3+2)sin4

求解cosA可得角A的值.

【詳解】由已知得/+c2-a2+2bc=(4V3+8)S,

根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，

得2bccosA+2be=(V3+2)-2bcsin4,

化簡為cosA+1=(V3+2)sinA,

由于4G(0,Tl),所以cos4+1=(>/3+2)V1—cos2/l,

化簡得(4+2V3)cos2/l+cosA-(3+2⑹=0,

即[(4+2g)cosA-(3+2V5)](COSA+1)=0,

解得cos4=y,或cos4=-1(舍)，

由于4G(0,n),所以4=

故答案為：=

o

【變式1-1]5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在Rt△4BC中,斜邊為4B，點。在邊上,若

tanz-BAD=—,sinzylDC-sinB=-,則"一”?=

【答案】等1

【分析】由tan484。=乎,結(jié)合同角關(guān)系求出sin/BAD,cos^BAD,結(jié)合三角形面積公式

4

證明BD=AC,ABAD=3BD2,再根據(jù)余弦定理列關(guān)系式求票若即可.

ABAD

【詳解】因為tan乙BAD=4，所以=T,又（siM8AD）2+（cos血。產(chǎn)=1,

/.BADG（0,；）,所以sin4B/D=|,COSZ.BAD=手，

△480的面積S=-AB-ADsinz.BAD=-AB-AD,

26

△4BD的面積S=加。?AC,所以38。-AC=AB-AD,

因為Sin/ADC?Sins=-,所以生■—=-,故34c-AC=AB-AD,

3ADAB3

所以BDAC=AC-AC,故BD=AC,所以4B-AD=3AC-AC=3BD2

由余弦定理可得COS/BAD=3或:B,又C0S4B40=乎,

er-p|2V2_毋+心_BD?_二”+心_1

班人3-2ABAD2ABAD~2ABAD6'

r-i\iAB2+AD2472+1

所C以=

故答案為：嚕.

題型2取值范圍問題

C，*

劃重點

解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問

題，或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，

或其他的限制，通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

?類型1轉(zhuǎn)化角度法

【例題2-1】(2023?全國?高三專題練習(xí))△4BC中，角A,B,C滿足cos2A-cos2B=

2sinC(sinB-sinC),則由+2的最小值為

tanBtanc--------

【答案】爭|百

【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得4,利用三角函數(shù)的最值的求法求得

7^7+7^7的最小值.

tanBtanC

【詳解】依題意/cos2A—cos2B=2sinC(sinB—sinC),

1—2sin12/l—(1—2sin2^)=2sinCsin^—2sin2c,

sin2B+sin2C—sin2/l=sinBsinC,由正弦定理得爐+c2—a2=bc,

所以cos4=號*=；>0,所以4為銳角，且A=9

2bc23

11cosBcosCsinFcosC+cosFsinC

-----1-----=------1-----=--------------------

tanFtanCsinBsinCsinFsinC

_sin(B+C)_sinA_V3

'sinBsinC.sinBsin,+4廠2sinBsin(B+9

=__________V3__________V3

c.D.D,百\sin2B+V3sinficosB

2sinBI2sinB+-g-cosBD1

_V3_V3

1-cos2B.V3.V3.1,1

----y----H—sinzD-y-sin2OoD-5cos2O8D+5

乙------乙乙乙乙

=/再…,由于0<B<生且B*-,

sin(2B-S)+13a2

所以-'<28-/且2B-沖,

所以-i<sin(2B-2)<1,0<sin(2B-9TI,

所以.A?RIN誓，當(dāng)2B-,8=3C=提等號成立.

Sin(2B--J+-36233

所以2+方的最小值為尊

tanstancs

故答案為:竽

【點睛】利用正弦定理或余弦定理來求角時，要注意角的范圍，如sin4=J,則4可能是7或

26

U?求解含角的表達(dá)式的最值或范圍時，首先將表達(dá)轉(zhuǎn)化為一個角的形式，如轉(zhuǎn)化為丫=

O

i4sin(o)x+3)+B等形式,取艮據(jù)3%+@的范圍求彳導(dǎo)y=71sin(cox+9)+B的范圍.

【變式2-1]1.(2023秋?重慶?高三重慶一中?？奸_學(xué)考試)在中，若sinA=

2cosBcosC,則COS2B+cos2c的最大值為

【答案】空

【分析】先由題證明得cos?%+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=1,再化簡得COS2B+

COS2c=?4sin(2A+?,再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值.

【詳解】首先證明：在^ABC中,有COS224+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=1,

在^ABC中，由余弦定理得a?4-62—c2—2abcosC=0,

由正弦定理得sinA?+sin^2-sinC2—2sinAsinBcosC=0,

令cos??!+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=M,

上述兩式相加得M=2+cos2C—sin2C+2(cosAcosB-sin4sin8)cosC

=24-cos2C-sin2C+2cos(/I+B)cosC

=2+cos2C—sin2c—2cos2c=2—(cos2C+sin2C)=1

所以COS2B+COS2C=1—cos2y4—2cosAcosBcosC

l+cos27l11

=1-----------sinAcosA=---(sin24+cos2A)

=i-^sin(24+5<^i,

當(dāng)sin(24+》=-1即4=：11時取等.

故答案為：害.

【變式2-1】2.(2023秋?重慶?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知銳角AABC中,內(nèi)角人B、C的

對邊分別為a、b、c,a2=b2+be,若cos(C-B)+AcosA存在最大值,則實數(shù)A的取值范

圍是()

A.(O,V5)B.(1,V3)C.(0,2)D.(2,4)

【答案】C

【分析】利用余弦定理結(jié)合正弦定理化簡可得出4=28,根據(jù)AHBC為銳角三角形可求得

角B的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡得出cos。-B)+AcosA=-2COS22F+

Mos2B+1，求出cos2B的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實數(shù)力的不等式，

解之即可.

【詳解】由余弦定理可得a?=b2+c2—2bccosA=b2+be,則c—2bcosA=b,

由正弦定理可得sin8=sinC-2sinBcosA=sin(A+B)—2cos4sinB

=sinAcosB+cosAsinB—2cosAsinB=sinAcosB—cosAsinB=sin(A—B),

因為△ABC為銳角三角形，則。<4<,0<B</所以，-六4-B</

又因為函數(shù)y=sinx在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，4一B=B,可得4=2B,

nroVn

-<-

0VA<22

nnn

即o2B<

-<<-<<-

0<B<224

nn

<n<

-一-

0<C<2I3B2

cos(C—B)+AcosA=cos(IT-148)4-Xcos2B=4cos28—cos4B

=-2cos22F+Acos2^+1,

因為T<2B<T,則0<cos2B<|,

因為一2cos228+因os2B+1存在最大值，則0<4<'解得0<2<2.

42

故選：C.

【點睛】方法點睛：三角函數(shù)最值的不同求法：

①利用sinx和cosx的最值直接求；

②把形如y=asinx+bcosx的三角函數(shù)化為y=Asin(a)x+s)的形式求最值；

③利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；

④形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.

【變式2-1]3.（多選）（2023秋?河南?高三鄭州一中校聯(lián)考階段練習(xí)）用長為3的鐵絲

圍成△ABC,記aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=60。，則（）

A.存在△ABC滿足a,b,c成公差不為0的等差數(shù)列

B.存在△力BC滿足a,b,c成等比數(shù)列

C.△ABC的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為￡

D.可以完全覆蓋△ABC的最小圓的半徑為產(chǎn)

【答案】BCD

【分析】利用余弦定理及等差中項結(jié)合條件可判斷A,利用等比中項的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷

B,利用余弦定理及三角形面積公式可得三角形內(nèi)切圓半徑的最大值進(jìn)而判斷C,利用正弦

定理及三角函數(shù)的性質(zhì)可得三角形外接圓半徑的最小值判斷D.

【詳解】依題意知Q+b+c=3,由余弦定理，得。2=a2+c2-2acC0SB=a24-c2-ac.

對A,若a,b,c成等差數(shù)列，貝!12b=a+c,所以缺殳=a2+c2-ac,

所以（a-c）2=0,a=b=CMb,c為常數(shù)列，故A錯誤;

對B,若a,b,c成等比數(shù)列，貝（IF=ac,所以ac=a2+c2-ac,即（a-c）2=0,a=b=c,

所以當(dāng)△ABC為等邊三角形時a,瓦c成等比數(shù)列，故B正確；

對C,由。2=@2+=（3—Q-c）2,得ac=2（a4-c）—3>4y/ac—3,解得ac<1或

ac29（舍），

所以△4BC的面積S=iacsinB<手,△ABC的內(nèi)切圓半徑為二3,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=

24a+b+c6

b=1時取等號，

所以△4BC的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為手,故C正確；

O

對D,由正弦定理可得：2R=ba+b+c3其

o=~r^

sin60°sin4sinCsin60+sin,-4+sinC-y+sinX+sin(120o-i4)

中R為△4BC外接圓半徑,

因為sirL4+sin(120°-4)=sinA+sinl20°cos4—cosl20°sin4=|sinA+4cos4=

gsin(4+30°)<V3,當(dāng)且僅當(dāng)4=B=C=60。時，等號成立，

所以2R所以可以完全覆蓋△ABC的最小圓的半徑為口，故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的CD項較難，關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的內(nèi)切圓半徑及外

接圓半徑，然后利用基本不等式及三角形的有關(guān)知識即得.

?類型2正弦定理法

【例題2-2](2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí))△48c中，sing-B)=cos24，則若的

取值范圍是()

A?(T,3B?(13C.(：,|)D.G,§

【答案】B

【分析】化簡得到cosB=cos2A,從而得到24=B，得到C=n-34，4C(0(),利用正

弦定理得到鬻=-2―,從而得到任浮的取值范圍.

AB2cos4+1AB

【詳解】sin(；—B)=cosB=cos2A,

在44BC中，A,Be(0,n),故2A=B或24+B=2n,

當(dāng)2A+8=2n時，4+g=TT,故4+B>n,不合要求，舍去，

所以2A=B,C=1X-A-B=TX-A-2A=TX-3A,

因為A,B6(o,n),所以24e(o,n),即46(0彳),

因為C=n-3Ae(O,TT),所以A6(0,§,

由正弦定理得當(dāng)=等=與，

AC-BCsinB-sinAsin24—sin42sin4cos4-sim4

故

ABsinCsin(n-34)sin(2X+i4)蓋鬻鵬因為9),所以

sinAH0,

故若2C0S4-12cos4-12cos4-l

2COS2A+COS2A4cos2i4-l(2cos4-l)(2cosi4+l)

因為4W(0,1),所以2cos4—1>0,

故竺*=」.

AB2cos4+l

因為4e(0o,,5,所以cosAeg,1)；2cosyl6(1,2),2cosA+1€(2,3),

故的C-BC--e

AB2cos4+1I-D

故選：B

【變式2-2]1.(2022秋?安徽馬鞍山?高三馬鞍山二中校考期中)在銳角44BC中,A=2B,

則靜勺取值范圍是

A.(-1,3)B.(1,3)

C.(V2,V3)D.(1,2)

【答案】D

【分析】根據(jù)在銳角4ABC中，每個角都是銳角確定B的范圍，利用正弦定理以及三倍角的

正弦公式，化簡表達(dá)式，求出范圍即可.

【詳解】在銳角中,

n

0<2/.B<-

n

{0<ZB<-

n

0<7T-3LB<-

可彳黑一B</

COSB￡(y,y),COS2B€(|,^),

所以由正弦定理可知*=;=sinCsin3B3sinB-4sin^B

ACbsinBsinBsinB

=3-4sin2B=4cos2B-1G(1,2),故選D.

【點睛】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三倍角的正弦公式，屬于中檔題.正弦定

理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種:（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一

邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對

邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.

【變式2-2]2.（2023?全國高三專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分

別為a,b,C,已知acOSB-bcosA=b,則3的取值范圍是（）

a+c

A.停用B.（2-V3,l）

C.（2—y/3,y/2—1）D.（y/2+1,y/3+2）

【答案】C

【分析】由正弦定理邊化角得到4=2B，由銳角三角形求出？<B<%然后將H的取值范

64a+c

圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解即可.

【詳解】因為aCOSB—bcosA=b,所以由正弦定理得：sinAcosB—sinBcos4=sinB,

即sin（A-B）=sinB,所以一8=8,即A=28,又4+B+C=Tl,所以C=n-3S.

(TI

’0<4Vn0<2B<-

22

n

因為銳角三角形ABC，所以<0<B<即<0<B，解缺<B<?

264

0<C<n0<n—3B<—

I2I2

bsinBsinBsinB

a+csinA+sinCsin2S+sin(TT--38)sin2S+sin3F

_sinB_1_1

sin2B+sin2BcosB+cos2BsinB2cosfi+2cos20+2cos2i5-l4cos2fi+2cosfi-l

令cosB=t,因為?<B<：,所以t6(當(dāng)，?),

則京=小國e仔多單調(diào)遞減，

所以W€(2-V3,V2—1).

故選：C.

【變式2-2】3.（2023河南校聯(lián)考模擬預(yù)測）在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,

若cosQ4+2C)=sin2c-cosA,C,則“孚-+13的值可為()

2

A.4V3B.6A/2C.8>/3D.16夜

【答案】D

【分析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合條件可得B=?+C,然后利用正弦定理可得空手+13=

2

12sin2C+-^-,再通過換元法，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而即得.

smzC

【詳解】由題知cosQ4+C+C)=sin2c—cos(A+C—C),

則cosQ4+C)cosC—sin(/I+C)sinC=sin2C—[cos(?+C)cosC+sin(A+C)sinC],

即2cosc4+C)cosC=sin2C=2sinCcosC,

因為。H1,所以COSC工0,則cos(A+C)=sinC,

所以sinC=-cosB=sin(8-，則8=]+C,8為鈍角，C為銳角，

3sin2g—2C)+cos2C

+13=siMC+：sin2c

3cos22c+COS2c

sin2C

3(l-2sin2C)2+l-sin2C+13=12sin2C+-^-,

因為B=2+C,則A=n-B-C=N-2C>0,則0<C<N,則0<sin2c<-,

2242

令t-sin2ct貝[|12sin2c4—.2=12t4—；令/(t)=12t4—,0vtv-t

sinctt2

則廣⑴=12-卷=七<0,

所以f（t）在（o,3上單調(diào)遞減，又fG）=14,則吆式+13>14,

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過三角恒等變換得到B=]+。，然后利用邊角互化

及換元法把問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值，再利用導(dǎo)數(shù)即得.

【變式2-2]4.（2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預(yù)測）在銳角必江中，角4B,C所對

的邊分別為a,b,c,若cos4=竽,則二的取值范圍是（）

A.(|,l)B,g,l)

C.(l,+°o)D.&+°°)

【答案】A

【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得sin(4-C)=sinC,進(jìn)而有

A=2C,再把胃化為確定C的范圍，應(yīng)用余弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.

c+b2cos4c

【詳解】由cos/=—=sin"sinc則sinB—sinC=2sinCcos/l,

2c2sinC

所以sin(A+C)-sinC=sin/lcosC+cosAsinC—sinC=2sinCcosA,

則sinAcosC-cosylsinC=sin(4-C)=sinC,

所以4一C=CgJU—C+C=A=TT(舍)，故A=2C,

好上—=2sinc=2sinc=2sinC且sinC>0

'c+bsinC+sinBsinC+sin(i4+C)sinC+sin3C1

所以主=-------------------,

c+bsinC+sin2CcosC+cos2CsinC

_2sinC_1

sinC+2sinCcos2C+(2cos2C-l)sinC2cos2c'

1<A+C=3C<n

0<A=2C<^,可缺<c<；,則當(dāng)<cosC<亨，

{°<C<I

所以2cos2ce(1,|),故篇e(|,1).

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：將條件由邊化角求角的關(guān)系，即4=2C，再把目標(biāo)式，由邊化角得名

c+b

求范圍.

2cos2c

?類型3正弦定理+輔助角

【例題2-3】(2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))在銳角△ABC

中，角481的對邊分別為(1,仇J5為448。的面積，<1=2，且2S=a2-(b-c)2，則AABC

的周長的取值范圍是（）

A.(4,6]B.(4,2V5+2]

C.(6,2A/5+2]D.(4,75+2]

【答案】C

【分析】利用面積公式和余弦定理可得tanT=1,tan/l=g,然后根據(jù)正弦定理及三角變換可

得b+c=|(sinB+sinC)=2V5sin(fi+(p),再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到B的范圍，

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問題.

【詳解】2S=a2—(b—c)2=a2—b2—c24-2bc=2bc—2bccosA,

???S=he-bccosA=-besinA,

2

..1—cos-4=gsin4,即ZsiM=singcos~1A為銳角,

.A1.14..4.3-r—j日

..tan-=-/tan?!=—=-zsin/l=-fcosA=-,乂a=2,

4

由正弦定理可得’4=號=95

sin/lsinBsine2

所以b4-c=|(sinB+sinC)=j[sinB+sin(4+B)]

5/34\

=-\sinB+-sinF+-cosB]=4sinS+2cosB

=2V5sin(B+(p),其中tang=1=^,

因為△ABC為銳角三角形，

所以]-A<B<^,貝吟-A+<p<B-i-(p<^+(p,

即：+3〈巴+C,

22*22'

所以cosg<sin(F+(p)<l,又cos?=專,

.*.4<2\/5sin(B+w)4275,即b+c€(4,2\/5|,

故^ABC的周長的取值范圍是(6,2遙+2].

故選：C.

【變式2-3]1.(2022秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？计谥?在

△ABC中,BC=MAC,LBAC=g，點。與點B分別在直線AC的兩側(cè),S.AD=1,DC=V3,

則BD的長度的最大值是()

A.V3B.3V3C.3D.-

2

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件可以判斷△ABC是直角三角形，且隨著乙4DC的變化△4BC三條邊的

長度也會隨著發(fā)生改變，因此先根據(jù)余弦定理和正弦定理確定乙4DC與邊的變化關(guān)系，再構(gòu)

造一個關(guān)于邊的三角形，根據(jù)乙4DC與邊的關(guān)系在新構(gòu)造的三角形中解出BD的表達(dá)式，

找出最大值.

【詳解】由8c=y/3AC=>—=V3=tanzlBAC可知，△ABC^ABC=-,^ACB=2的直

AC62

角三角形，如圖所示:

A

設(shè)4c=x,BC=,乙ADC=6,則由余弦定理

2

彳導(dǎo)AC?=AD2+CD2_2AD.CD-cos。,SPx=1+3-26cos。=4-2V3cos0

由正弦定理得‘g,所以xsin乙4CD=sind.

sinz.ACDsin。

連接BD,在^BCD中,由余弦定理，得BO?=BC2+CD2-2BC-CD?cos乙BCD

BD2=3x2+3—2\/3xV3xcos(g+ZJ1CO)

=3x2+3+6xsinz.i4CD

=3x2+3+6sin0

=3(4—2A/3COS0)+3+6sin0

=15+6sin0—675cos。

=15+12sin(9-9<27

當(dāng)。=1g=當(dāng)時，BD的長度取得最大值，為36

故選:B

【點睛】思路點睛：

可變動圖形與某一變量的變化關(guān)系引出的求邊求角類問題(以本題為例)：

①確定變動圖形的變化規(guī)律：如上題AABC的變化是角度不變，邊長可等比例變化

②確定圖形變化與某個變量的聯(lián)系：N4DC變化T4c發(fā)生變化T△ABC整體變化

③找到有直接聯(lián)系的兩個變量的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后推廣到整體變化上：此處最為困難，需要學(xué)

生根據(jù)已知條件活用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識.

【變式2-3]2.(2022秋?四川綿陽?高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí))在銳角中，若

遮sin/1(詈^+=sinBsinC,且遮sinC+cost7=2,則a+b的取值范圍是()

A.(2V3,4]B.(2,2網(wǎng)C.(0,4]D.(2,4]

【答案】A

【分析】由百sinC+cosC=2,可得C=”再結(jié)合正弦定理將百sin4(管+等)=

sinBsinC中的角化邊，化簡整理后可求得號=3=白=竽；根據(jù)銳角4A8C和C=g,

sin/lsmfismC33

可推出4eG,勺，再根據(jù)正弦定理可得a+b=容⑶必+sinB),最后結(jié)合正弦的兩角差

oL3

公式、輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.

【詳解】由bsinC+cosC=2sin(C+乙)=2,得C+囚=工+，k€Z,

662

__TT、cn_4_B3；cos/l,cosCsinBsinCr+n-T-?t±nTE占cosA,cosC

???C€(0,0，??,C=]由題丁+丁=0r，由正弦定理有丁+丁=溫=五，故

=bgPcos?l-sinC+sinA?cosC=,故sin(4+C)=sinB=—,

sin4sinC2sin4'24''4'

即號=竽，由正弦定理有白=W3=竽，故a=殍sinA,b=竽sinB,又銳角

s\nB3sin4sinBsine333

AABC,且C=:二4€(0*),8=?-4C(0,勺，解得4€弓，勺，；.a+b=竽(sinA+

JNSNoZ5

sinB)=#[sin/4+sin(與-A)]=#(sin/+cosA+|sinA)=4sin(4+：),

?，E(『力，"+96(9爭，sin(4+6(y,1]r

???a+b的取值范圍為(2g,4].

故選：A.

【變式2-3］3.（2022秋?廣東廣州?高三中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥泄蒦ABC的面積為S,

Z.BAC=e,已知四-AC=4,2<S<2>/3,則函數(shù)/（。）=V3sin2+;）+cos?。的值域

為.

【答案】［萼，野］

【分析】由向量數(shù)量積公式和三角形面積公式得到1<tan。<V3,求出。Gg,2］,三角恒

等變換化簡得到/X。）=sin（20+］+萼，結(jié)合9的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象求出值域.

【詳解】由題意荏-AC=\AB\-|祠COS。=4,2<i|^4B|?|屬sin。<2G,

所以］Mtan6<V3,所以86［：圖,f（0）=V3sin2（。+：）+cos20=y［1-cos（20+

TT^j+1+COS2g

=-sin204--cos20+匕巨=sin（2d+?）+上星,

222\6721

因為9e噲%所以2。+上巳羽,

L45JOLooJ

所以當(dāng)2。+合務(wù)即"泗，/⑹取得最小值，最小值為等；

當(dāng)28+：=g,即"即寸，f⑹取得最大值，最大值為一；

故/⑹6［萼,管］.

故答案為：鋁竽

【變式2-3］4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在44BC中，角力，B,C所對的邊為a,b,c,

若嚶警=等+等，且448。的面積，謝=1（。2+/一?2）,則令的取值范圍

DSln/iCLC4u+D

是,

【答案】［pl）

【分析】由面積公式及余弦定理求出c,再由正、余弦定理將角化邊，即可求出C,再由正

弦定理及三角恒等變換公式將三轉(zhuǎn)化為關(guān)于4的三角函數(shù)，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)計算可

得；

【詳解】解：由SMBC=?（小+非-C?）,.??^absinC=?（小+垓一/）,

又M+爐—2abcosC,所以gabsinC=，-2abcosC,

，tanC=V3,v0<C<7TzAC=60°,

V3.

sinBsinC1—s\nBDcosA

-X-----

3sin43sinAa

y/3bb2+c2-a2,a2+b2-c22b2b

—X-=---------+--------------=—：?c=2>/3,

6a2abc2abc2abcac

由正弦定理得2R=^=第=4,

所以a+b=4sin4+4sinF=4sinA+4sin售—A)

27r271

=4sinZ+4sin—cos/4—4cos—sin/l

33

=6sin/l+2百cos/=4^3(/sinA+|cos/lj=4V3sin(i4+?),

因為。<4<g,所以汴4+汴高所以sinb+m”,

4V3sin(4+J)6(2百,4網(wǎng),

._￡__2」